1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：数学归纳法基础 【例 1】已知n为正偶数，用数学归纳法证明 1111111 12() 2341242nnnn 时，若已假设2( kkn为偶数） 时命题为真，则还需要用归纳假设再证（） A1 kn时等式成立B 2 kn时等式成立 C22 kn时等式成立D )2(2kn时等式成立 【例 2】已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k（2k且为偶数）时命 题为真， ，则还需证明（ ） A.n=k+1 时命题成立B. n=k+2 时命题成立 C. n=2k+2 时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立 【例 3】某个命题与正整数 n 有关，如果
2、当)( Nkkn时命题成立，那么可推得当 1 kn时命题也成立. 现已知当7n时该命题不成立，那么可推得 （） A当 n=6 时该命题不成立B当 n=6 时该命题成立 C当 n=8 时该命题不成立D当 n=8 时该命题成立 【例 4】利用数学归纳法证明 “ * ),12(312)()2)(1(Nnnnnnn n ”时，从“kn ” 变到“1 kn”时，左边应增乘的因式是（） A12 kB 1 12 k k C 1 )22)(12( k kk D 1 32 k k 【例 5】用数学归纳法证明), 1( 1 1 1 2 2 Nna a a aaa n n ， 在验证n=1时， 板块三.数学归纳法
3、【学而思高中数学讲义】 左边计算所得的式子是（ ） A. 1B.a1C. 2 1aa D. 42 1aaa 【例 6】用数学归纳法证明 n nnnn2)()2)(1()(12(31 Nnn， 从 “k 到 k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1B.) 12(2kC. 1 12 k k D. 1 32 k k 【例 7】用数学归纳法证明：1+ 2 1 + 3 1 +) 1,( , 12 1 nNnn n 时，在第二步证明 从 n=k 到 n=k+1 成立时，左边增加的项数是（ ） A. k 2B.12 k C. 1 2 k D.12 k 【例 8】设) 1()2() 1 ()(nfffn
4、nf， 用 数 学 归 纳 法 证 明 “)() 1()2() 1 (nnfnfffn”时，第一步要证的等式是 【例 9】用数学归纳法证明“) 12(212)()2)(1(nnnnn n ” （ Nn） 时，从 “nk到1nk”时，左边应增添的式子是_ _。 【例 10】用数学归纳法证明不等式 24 131 2 1 1 1 nnnn 的过程中，由 k 推导 到 k+1 时，不等式左边增加的式子是 【例 11】是否存在常数cba,是等式 2222242 1 (1)2 (2 )()nnnnnanbnc 对一切) * Nn成立？证明你的结论。 题型二：证明整除问题 【例 12】若存在正整数m，使得)
5、(93)72()( Nnnnf n 能被m整除，则m= 【例 13】证明：)( ,)3(1 Nnx n 能被2x整除 【学而思高中数学讲义】 【例 14】已知数列 n a满足 12 01aa，当*nN时， 21nnn aaa 求证：数列 n a的第41(*)mmN项能被 3 整除 【例 15】 用数学归纳法证明：731(*) n nnN能被 9 整除 【例 16】设n是任意正整数，求证： 3 5nn能被 6 整除 【例 17】用数学归纳法证明：对于一切正整数n， 22 7433 nn 能被 264 整除 【例 18】 2 n(n4 且 nN*)个正数排成一个 n 行 n 列的数阵： 第 1 列
6、第 2 列第 3 列第n列 第 1 行11 a 12 a 13 a 1n a 第 2 行21 a 22 a 23 a 2n a 第 n 行1n a 2n a 3n a nn a 其中ik a (1in，1kn，且 i，kN)表示该数阵中位于第 i 行第 k 列的 数.已知该数阵每一行的数成等差数列， 每一列的数成公比为2的等比数列， 且23 a =8，34 a =20. ()求11 a 和ik a ； ()设12(1)3(2)1nnnnn Aaaaa ，证明：当 n 为 3 的倍数时，(n An )能被 21 整除. 题型三：证明恒等式与不等式 【例 19】证明不等式 111 1 23212
7、n n （nN ） 【学而思高中数学讲义】 【例 20】用数学归纳法证明： *nN ， 222 1113 1. 2321 n nn . 【例 21】证明： * nN ， 11111111 1. 234212122nnnnn . 【例 22】用数学归纳法证明： 22 1111 tantantancotcot(*) 22222222 nnnn mmn ZN， 【例 23】是否存在常数 a、b、c，使等式 )( 12 ) 1( ) 1(3221 2222 cbnan nn nn 对一切正整数 n 都成立？ 证明你的结论 【例 24】在数列 n a中， n n n a a axa 1 1 ,tan 1
8、1 ， （1）写出, 21 aa 3 a； （2）求数列 n a的通项公式 【例 25】用数学归纳法证明： 222 111 arctanarctanarctanarctan(*) 2 12 221 n n nn N 【例 26】用数学归纳法证明： （） ) 12(2 ) 1( ) 12)(12(53 2 31 1 222 n nn nn n ； （）n n 12 1 4 1 3 1 2 1 1； 【例 27】对于2n的自然数，证明： 1 212 nn n 【例 28】已知01a，求证：对任意大于 1 的自然数n， 2 1 () 1 n n a an aa 题型四：数列中的数学归纳法 【学而思高
9、中数学讲义】 【例 29】设 12 ,. n a aa均为正数，且 12 .1 n aaa，求证：当 n2 的时候， 222 12 . n aaa 1 n 【例 30】已知数列 n a中， 1 1,0 2 n nn n a Sa a ，求数列 n a的通项公式. 【例 31】在数列 (*) n anN中， 1 1a ， n S是它的前n项和，当2n时， 1 2 nnn aSS ， ， 成等比数列，求数列的通项公式 【例 32】设整数数列 n a满足 1 1a ， 2 12a ， 3 20a ，且 321 22 nnnn aaaa 证明： 任意正整数n， 1 14 nn a a 是一个整数的平方
10、 【例 33】由正实数组成的数列 n a满足： 2 1 1 2 nnn aaan ， ，证明：对任意 *nN，都有 1 n a n 【例 34】实数数列 n a定义如下 11 4(1)1 2 nnn ataaant R， ，已知 2009 0a 证明：对任意*nN，01 n a； 问有多少个不同的t，使得 2009 0a 【例 35】两个实数数列 n x、 n y满足： 11 tan 3 xy ， 2 11 2 11 2 11 n nnnn n x xyyyn x ， ， 证明：1n 时，23 nn x y 【例 36】在数列 n a中，若它的前n项和1(*) nn Sna n N 计算 12
11、34 aaaa， ， ，的值； 【学而思高中数学讲义】 猜想 n a的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 【例 37】已知函数 3 ( )(1) 1 x f xx x ， 设数列 n a满足 1 1a ， 1 () nn af a ， 数列 n b满 足3 nn ba，n N用数学归纳法证明 1 ( 31) 2 n n n b 【例 38】设数列 1 a， 2 a， n a中的每一项都不为0证明： n a为等差数列的充分必 要条件是：对任何nN，都有 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 题型五：其他类型题 【例 39】已知函数)( * Nnnf，满足条件：2)2(f；
12、)()()(yfxfyxf； * )(Nnf；当yx 时，有)()(yfxf. (1) 求) 1 (f，)3(f的值； (2) 由) 1 (f，)2(f，)3(f的值，猜想)(nf的解析式； (3) 证明你猜想的)(nf的解析式的正确性. 【例 40】数列 n a， 2 11 1,23 () nn aaann nN （） 是否存在常数，使得数列 2 n ann是等比数列， 若存在求、 的值，若不存在，说明理由。 （）设 1 1 2 n n n b an ， 123nn Sbbbb求证：2n 时， 65 (1)(21)3 n n S nn 【例 41】已知数列 n a满足： 1 0a ， 2 1 2 21, 1 2, 2 n n n n a n n a a 为偶数 为奇数 ，2 , 3 , 4 ,n （）求 567 ,aaa的值； 【学而思高中数学讲义】 （）设 21 2 n n n a b ，试求数列 n b的通项公式； （）对于任意的正整数n，试讨论 n a与 1n a 的大小关系
