1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：数量积运算 【例 1】已知向量(11)a , ，(2)b , n ，若|aba b ，则n （） A3B1C1D3 【例 2】已知7a ，2b ，a 与b 的夹角为60，求(3 )(5 )ab ab ； 【例 3】已知向量a 与b 的夹角为120，且4ab ，那么(2)bab 的值为 【例 4】若a 、b 、c 为任意向量，mR，则下列等式不一定 成立的是（） A()()abcabc B()abca cb c C()m abmamb D()()a bcb c a 【例 5】等边ABC的边长为4，则AB BC 【例 6】设a bc ， ，是单位向量，且0
2、a b ，则() ()acbc 的最小值为（） A2B2 22C1D12 【例 7】如图，在ABC中，12021BACABAC ，D是BC边上一点， 2DCBD，则AD BC 等于（） 板块三.平面的数量积 【学而思高中数学讲义】 A 8 3 B 8 3 C 2 3 D 2 3 D C B A 【例 8】在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（） D A B C A 2 ACAC AB B 2 BCBA BC C 2 ABAC CD D 2 2 ()()AC ABBA BC CD AB 【例 9】若向量a ,b 满足1ab ，a 与b 的夹角为60，则a aa b （） A
3、 1 2 B 3 2 C. 3 1 2 D2 【例 10】直角坐标平面上三点(1 2)A ，、(32)B，、(9 7)C，若EF、为线段BC的 三等分点，则AE AF 题型二：向量求模 【例 11】已知4a ，3b ，且6a b 求a b ，的值；求ab 的值 【例 12】在ABC中，已知3AB ，4BC ，60ABC ，求AC 【学而思高中数学讲义】 【例 13】已知2a ，3b ，a 与b 的夹角为 120，求： a b ； 22 ab 23abab ；ab 【例 14】已知向量(1),( 1)an bn ，若2ab 与b 垂直，则a 【例 15】已知向量(1),( 1)an bn ，若2
4、ab 与b 垂直，则a （） A1B2C2D4 【例 16】已知向量(2 1)10 | 5 2aa bab ， ，则|b （） A5B10C5 D25 【例 17】已知2,1,ab a 与b 的夹角为 3 ，那么4ab 等于（） A2B2 3C6D12 【例 18】设ABC是边长为 1 的正三角形, 则CBCA=. 【例 19】已知212ba，4a，a和b的夹角为135，则b为（） A12B3C6 D33 【例 20】已 知 平 面 向 量(2, 4)a ，( 1, 2)b 若()caa b b ， 则 |c _ 【例 21】已知a ，b 是非零向量，且a ，b 夹角为 3 ，则向量 ab p
5、 ab 的模 为 【学而思高中数学讲义】 【例 22】已 知a ，b 是 平 面 内 两 个 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 若 向 量c 满 足 ()()0ac bc ，则c 的最大值是() A.1B.2C.2D. 2 2 【例 23】在ABC 中，已知1,AB AC 2AB BC (1)求 AB 边的长度； (2)证明：tan2tanAB； (3)若| 2AC ,求|BC 题型三：向量求夹角与向量垂直 【例 24】已知两单位向量a 与b 的夹角为120，若23cabdba ，试求c 与d 的夹角 【例 25】1a ，2b ，cab ，且ca ，则向量a 与b 的夹角为（） A30B
6、60C120D150 【例 26】设非零向量a=xx 2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，求x的取值 范围 【例 27】已知)2 ,( a，)2 ,3( b,如果 a与 b的夹角为锐角,则的取值范 围。 【学而思高中数学讲义】 【例 28】给出命题： 在平行四边形ABCD中，ABADAC . 在ABC中，若0AB AC ，则ABC是钝角三角形. abab ，则0a b 以上命题中，正确的命题序号是 【例 29】已知,a b 都是非零向量，且3ab 与75ab 垂直，4ab 与72ab 垂直， 求a 与b 的夹角 【例 30】已知(3, 4)a ，(1)bt ，且()aba ，则t 【例
7、31】在Rt ABC中，(2, 3)AB ，(1,)ACk ，求k值 【例 32】（2006 重庆）与向量 71 22 a ， 17 22 b ，的夹角相等，且模长为1的 向量是（） A 43 55 ，B 43 55 ，或 43 55 ， C 2 21 33 ，D 2 21 33 ，或 2 21 33 ， 【例 33】已知(4, 2)a ，则与a 垂直的单位向量的坐标为； 【例 34】已知1a ，2b ，且ab 与a 垂直，求a 与b 的夹角。 【学而思高中数学讲义】 【例 35】若非零向量 、 满足 ，证明: 【例 36】在ABC 中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且ABC 的一个
8、内角为直角，求 k 值 【例 37】已 知abc， ，为ABC的 三 个 内 角ABC， ，的 对 边 ， 向 量 ( 31)(cossin)AA， ，mn若mn，且coscossinaBbAcC， 则角AB，的大小分别为（） A 6 3 ，B 2 36 ，C 3 6 ，D 3 , 3 【例 38】已知向量 a =（x，1） ，b =（3，6） ，ab ，则实数x的值为 A 1 2 B2C2 D 2 1 【例 39】在ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边，设向量 mbcca ，nbca ，若mn ,则角 A 的大小为（） A. 6 B. 3 C. 2 D. 3 2 【例
9、 40】已知a (1, 3)，b (2, 1)， 若(ka b )(a 2b )， 则 k 【例 41】ABC内有一点O,满足0OAOBOC ,且OA OBOB OC .则 ABC一定是（） A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形 【学而思高中数学讲义】 【例 42】已知点(1 2)A ，和(41)B，试推断能否在y轴上找到一点C，使 90ACB？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由 【例 43】设(0 0)O，(1 0)A ，(0 1)B， 点P上线段AB上的一个动点，APAB 若 OP ABPA PB ，则实数的取值范围是（） A 1 1 2 B 2 11 2 C
10、 12 1 22 D 22 11 22 【例 44】设平面内的向量(1,7)OA ，(5,1)OB ，(2,1)OM ，点P是直线OM上的 一个动点，且8PA PB ，求OP 的坐标及APB的余弦值. 【例 45】设平面上向量 13 (cos ,sin)(02 ),(,), 22 aba 与b 不共线， （1）证明向量ab 与ab 垂直 （2）当两个向量3ab 与3ab 的模相等，求角 【例 46】已知| 2| 0ab ,且关于x的方程 2 |0 xa xa b 有实根,则a 与b 的 夹角的取值范围是 () 【学而思高中数学讲义】 A.0, 6 B., 3 C. 2 , 33 D., 6 【例 47】,a b 为非零向量，当atb ()tR的长度取最小值时 求t的值； 求证：b 与atb 垂直 【例 48】己知向量(cos ,sin),(cos,sin)ab，a与b的夹角为 60，直线 cossin0 xy与圆 22 1 (cos)(sin) 2 xy的位置关系是 （） A相切B相交C相离D随, 的值而定 【例 49】设 1 F、 2 F分别是椭圆1 4 2 2 y x 的左、右焦点.若P是该椭圆上的一个动 点，求 1 PF 2 PF 的最大值和最小值;
