1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型三：函数的极值 【例 1】设函数 32 ( )1f xxaxbx，若当1x 时，有极值为1，则函数 32 ( )g xxaxbx的单调递 减区间为 【例 2】函数 32 ( )39f xxaxx，已知( )f x在3x 时取得极值，则a （） A2B3C4D5 【例 3】设aR，若函数 x yeaxxR，有大于零的极值点，则（） A1a B10a C 1 0a e D e a 1 【例 4】函数 2 ( )(1)f xxx的极大值与极小值分别是_ 【例 5】函数 3 1 ( )44 3 f xxx的极大值是；极小值是 【例 6】函数 3 ( )4f xax
2、bx在 1 2x 有极大值 28 3 ， 在 2 2x 有极小值是 4 3 ， 则a ；b 【例 7】曲线 32 23yxx共有_个极值 【例 8】求函数 43 ( )4f xxx的单调区间与极值点 【例 9】函数 3 1 ( )4 3 f xxax有极大值又有极小值，则a的取值范围是 【例 10】函数 3 ( )3(0)f xxaxb a的极大值为6，极小值为2，则( )f x的单调递减区间 是 板块三.导数的应用 【学而思高中数学讲义】 【例 11】若函数 32 ( )33 (2)1f xxaxax有极大值又有极小值，则a的取值范围是_ 【例 12】若函数 32 2yxxmx，当 1 3
3、x 时，函数取得极大值，则m的值为（） A3B2C1 D 2 3 【例 13】若函数 3 ( )63f xxbxb在(0 1)，内有极小值，则实数b的取值范围是（） A(0 1)，B(1)，C(0) ，D 1 0 2 ， 【例 14】有下列命题： 0 x 是函数 3 yx的极值点； 三次函数 32 ( )f xaxbxcxd有极值点的充要条件是 2 30bac； 奇函数 32 ( )(1)48(2)f xmxmxmxn在区间( 4,4)上是单调减函数 其中假命题的序号是 【例 15】已知函数 32 ( )f xxpxqx的图象与x轴切于非原点的一点，且( )4f x 极小 ，那么 p ，q 【
4、例 16】求函数 3 ( )3f xxx的单调区间与极值 【例 17】求函数 32 ( )32f xxx的单调区间与极值 【例 18】求函数 42 ( )23f xxx的单调区间与极值 【例 19】用导数法求函数( )(0) b f xxb x 的单调区间与极值 【例 20】已知函数 32 ( )393f xxxx ， 求( )f x的单调递减区间与极小值； 求( )f x过点(1 8)，的切线方程 【例 21】求函数 22 ( )(0100) 1 ab f xxab xx ，的单调区间与极小值 【学而思高中数学讲义】 【例 22】已知函数 2 2 21 ( )() 1 axa f xx x
5、R，其中aR 当1a 时，求曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程； 当0a 时，求函数( )f x的单调区间与极值 【例 23】已知函数 22 23 x f xxaxaa e（xR） ，其中aR 当0a 时，求曲线 yf x在点 11f，处的切线的斜率； 当 2 3 a 时，求函数 f x的单调区间与极值 【例 24】设函数 32 ( )23(1)1f xxax，其中1a 求( )f x的单调区间；讨论( )f x的极值 【例 25】设函数 3 ( )3(0)f xxaxb a 若曲线 yf x在点 22f，处与直线8y 相切，求ab，的值； 求函数 f x的单调区间与极值点 【例
6、 26】已知函数 32 ( )31(0)f xkxxk 求函数( )f x的单调区间；若函数( )f x的极小值大于0，求k的取值范围 【例 27】已知函数( )6ln (0)f xx x和 2 ( )8g xaxx（a为常数）的图象在3x 处有平行切线 求a的值； 求函数( )( )( )F xf xg x的极大值和极小值 【例 28】已知函数 32 ( )f xaxbxcx在点 0 x处取得极大值5，其导函数( )yfx的图象经过点 (1 0)，(2 0)，如图所示，求 0 x的值；a b c， ，的值 【学而思高中数学讲义】 【例 29】已知函数 322 1 ( )23(0) 3 f x
7、xaxa xb a， 当( )yf x的极小值为1时，求b的值； 若( )f x在区间1 2，上是减函数，求a的范围 【例 30】设函数 32 yxaxbxc的图象如图所示，且与0y 在原点相切，若函数的极小值为 4， 求a b c， ，的值；求函数的递减区间 【例 31】已知函数 32 ( )cf xxbxxd的图象过点(0 2)P，且在点( 1( 1)Mf，处的切线方程 为670 xy 求函数( )yf x的解析式求( )f x的单调递减区间与极小值 【例 32】设1x 和2x 是函数 53 ( )1f xxaxbx的两个极值点 求ab、的值；求( )f x的单调区间 【例 33】已知2a
8、 ，函数 2 ( )()e x f xxaxa 当1a 时，求( )f x的单调递增区间； 若( )f x的极大值是 2 6 e，求a的值 【例 34】设函数 322 ( )31( ,)f xaxbxa xab R在 1 xx， 2 xx处取得极值，且 12 2xx 若1a ，求b的值，并求( )f x的单调区间；若0a ，求b的取值范围 【学而思高中数学讲义】 【例 35】已知函数 2 ( ) ax f x xb ，在1x 处取得极值2 求函数( )f x的解析式； 若函数( )f x在区间(21)mm ，上为增函数，求实数m的取值范围； 若 00 ()P xy，为 2 ( ) ax f x
9、 xb 图象上的任意一点，直线l与 2 ( ) ax f x xb 的图象相切于点P， 求直线l的斜率的取值范围 【例 36】已知函数 32 ( )22f xxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx 求函数( )f x的解析式； 设函数 1 ( )( ) 3 g xf xmx， 若( )g x的极值存在， 求实数m的取值范围以及函数( )g x取得极 值时对应的自变量x的值 【例 37】设函数 2 ( )lnf xaxbx，其中0ab 求证：当0ab 时，函数( )f x没有极值点； 当12ab ，时，求( )f x的极值 求证：当0ab 时，函数( )f x有且只有一个极值点，并
10、求出极值 【例 38】设函数 2 ( )ln()f xxax， 若当1x 时，( )f x取得极值，求a的值，并讨论( )f x的单调性； 证明：当2a 时，( )f x没有极值 若( )f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 e ln 2 【例 39】已知函数 32 1 ( )3 3 f xaxbxx，其中0a 当a，b满足什么条件时，( )f x取得极值? 已知0a ，且( )f x在区间(01，上单调递增，试用a表示出b的取值范围 【例 40】已知函数 32 ( )f xxbxcx的导函数的图象关于直线2x 对称 求b的值； 若( )f x在xt处取得极小值，记此极小值为
11、( )gt，求( )gt的定义域和值域 【学而思高中数学讲义】 【例 41】已知函数( )f x在R上有定义，对任何实数0a 和任何实数x，都有 f axaf x 证明 00f； 证明 f x 0 0 kxx hxx ， ， ，其中k和h均为常数； 当中的0k 时， 设 1 (0)g xf xx f x ， 讨论 g x在0 ，内的单调性并求极值 【例 42】已知函数 2 ( )2 e , (,) x f xxaxxa R 当0a 时，求函数 f x的图象在点 1 ,1Af处的切线方程； 若 f x在R上单调，求a的取值范围； 当 5 2 a 时，求函数 f x的极小值 【例 43】已知函数
12、2 ( )(2)eaxf xaxx，其中a为常数，且0a 若1a ，求函数( )f x的极值点； 若函数( )f x在区间( 2, 2)上单调递减，求实数a的取值范围 【例 44】设函数 1 ( )(2)ln()2f xaxax x （aR） 当0a 时，求( )f x的极值； 当0a 时，求( )f x的单调区间 【例 45】已知函数( )(1)exf xax，aR， 当1a 时，求函数( )f x的极值； 若函数( )f x在区间(0, 1)上是单调增函数，求实数a的取值范围 【例 46】已知函数 1 ln1 x f xx xa ，其中实数1a 若2a ，求曲线 yf x在点 00f，处的切线方程； 若 f x在1x 处取得极值，试讨论 f x的单调性 【例 47】设 32 3 ( )131 2 f xxaxax 【学而思高中数学讲义】 若函数( )f x在区间1 , 4内单调递减，求a的取值范围； 若函数( )f x在xa处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间1 , 4内函数( )f x的单调 性 【例 48】已知函数 2 ( )1f xx与函数( )ln (0)g xax a 若( )f x，( )g x的图象在点1 , 0处有公共的切线，求实数a的值； 设( )( )2 ( )F xf xg x，求函数( )F x的极值
