1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1二项式定理 二项式定理 011222 . n nnnnn nnnn abC aC abC abC bn N 这个公式表示的定理叫做二项式定理 二项式系数、二项式的通项 011222 . nnnnn nnnn C aC abC abC b 叫做 n ab的二项展开式，其中的系数 0, 1, 2, ., r n Crn叫做二项式系数，式中的 rn rr n C ab 叫做二项展开式的通项，用 1r T 表示， 即通项为展开式的第1r 项： 1 rn rr rn TC ab 二项式展开式的各项幂指数 二项式 n ab的展开式项数为1n 项，各项的幂指数状况是 各项
2、的次数都等于二项式的幂指数n 字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减 1 直到零，字母b按升幂排列，从 第一项起，次数由零逐项增 1 直到n 几点注意 通项 1 rn rr rn TC ab 是 n ab的展开式的第1r 项，这里0, 1, 2, .,rn 二项式 n ab的1r 项和 n ba的展开式的第1r 项 rn rr n C ba 是有区别的， 应用二项式 定理时，其中的a和b是不能随便交换的 注意二项式系数（ r n C）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负 赋值求某些项系数的和与差 【学而思高中数学讲义】 通项公式是 n ab这个
3、标准形式下而言的，如 n ab的二项展开式的通项公式是 1 1 r rn rr rn TC ab （只须把b看成b代入二项式定理）这与 1 rn rr rn TC ab 是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是 r n C，但项的系数一个是1 r r n C，一个是 r n C，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念 设1,abx，则得公式： 122 11. n rrn nnn xC xC xC xx 通项是 1r T rn rr n C ab 0, 1, 2, .,rn中含有 1, , r Ta b n r 五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素 当n不是很大，x比较小时可
4、以用展开式的前几项求(1)nx的近似值 2二项式系数的性质 杨辉三角形： 对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算 杨辉三角有如下规律： “左、 右两边斜行各数都是 1 其余各数都等于它肩上两个数字的和 ” 二项式系数的性质： n ab展开式的二项式系数是： 012 , ., n nnnn CCCC，从函数的角度看 r n C可以看成是r为自 变量的函数 f r，其定义域是：0, 1, 2, 3, ., n 当6n 时， f r的图象为下图： 这样我们利用 “杨辉三角” 和6n 时 f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质
5、对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 【学而思高中数学讲义】 事实上，这一性质可直接由公式 mn m nn CC 得到 增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大 由于展开式各项的二项式系数顺次是 012 1 1, 11 2 nnn n nn CCC ， 3 12 1 2 3 n n nn C ， 1 12 .2 1 2 3 .1 k n n nnnk C k ， 12 .21 1 2 3.1 k n n nnnknk C kk ， 1 n n C 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的
6、分子乘以逐次减小 1 的数（如 ,1,2, .n nn），分母是乘以逐次增大的数（如 1，2，3，）因为，一个自然数乘以 一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，从而当k依次取 1，2，3，等值 时， r n C的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等， 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间 当n是偶数时，1n 是奇数，展开式共有1n 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的 二项式系数最大，最大为 2 n n C 当n是奇数时，1n 是偶数，展开式共有1n 项，所以有中间两项 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为
7、11 22 nn nn CC 二项式系数的和为2n，即 012 .2 rnn nnnnn CCCCC 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 0241351 .2n nnnnnn CCCCCC 常见题型有： 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题 典例分析 二项展开式 3 赋值求某些项系数的和与差 【例 1】 5 2 3 1 x x 的展开式中常数项为_；各项系数之和为_ （用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 2】 若 1 ()nx x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为_（用数字 作答） 【例 3】 8 2x展开式
8、中不含 4 x的项的系数和为 A1B 9 2C 10 2D 15 2 【例 4】 若 2 3 1 n x x 展开式的各项系数之和为32，则n _，其展开式中的常数项为 _ （用数字作答） 【例 5】 626 0126 (1) xaa xa xa x，则 0 a 126 aaa_ 【例 6】 在二项式 4 1 2 n x x 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有 理项 【学而思高中数学讲义】 【例 7】 5 2 2 x x 的展开式中 2 x的系数是_；其展开式中各项系数之和为 _ （用数字作答） 【例 8】 若 4234 01234 (23)xaa xa xa xa x， 则
9、 22 02413 ()()aaaaa的 值 为 _（用数字作答） 【例 9】 设 5 n xx的展开式的各项系数之和为M， 二项式系数之和为N，若 240MN， 则展开式中 3 x的系数为（） A150B150C500D500 【例 10】若 n x)2( 展 开 式 的 二 项 式 系 数 之 和 等 于64， 则 第 三 项 是 【例 11】若 1 n x x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项 为 【学而思高中数学讲义】 【例 12】在二项式 3 3 1 2 n x x 的展开式中， 前三项系数的绝对值成等差 数列 求展开式的第四项；求展开式的常数项；求展开式的各项系数的
10、和 【例 13】若 100 23100 0123100 23xaa xa xa xax， 求 22 02410013599 aaaaaaaa的值 【例 14】若 2 01 (1)(1)(1)(1)(1) nn n xxxaa xax， 则 01n aaa 【学而思高中数学讲义】 【例 15】若 4234 01234 (23)xaa xa xa xa x，则 22 02413 ()()aaaaa的值为_（用数字作答） 【例 16】若 52345 012345 (2)xaa xa xa xa xa x， 则 12345 aaaaa_ 【例 17】已知 727 0127 (12 ) xaa xa x
11、a x，求 017 |aaa 【例 18】若 7 234567 01234567 12xaaa xa xa xa xa xa x， 求 0246 aaaa的值 【例 19】若 4234 01234 (23)xaa xa xa xa x，则 22 02413 ()()aaaaa的值为（） A1B1C0D2 【学而思高中数学讲义】 【例 20】若 1002100 012100 (12 )(1)(1)(1)xaa xaxax，则 13599 aaaa（） A 100 1 (31) 2 B 100 1 (31) 2 C 100 1 (51) 2 D 100 1 (51) 2 【例 21】已知 7 7
12、0127 12xaa xa xa x，求： 1237 aaaa； 1357 aaaa； 0246 aaaa 【例 22】若 100 23100 0123100 23xaa xa xa xax， 求 22 02410013599 aaaaaaaa的值 【例 23】若 55432 543210 (2)xa xa xa xa xa xa， 则 12345 aaaaa_ （用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 24】若 2 01 (1)(1)(1)(1)(1) nn n xxxaa xax， 则 01n aaa 【例 25】若 2009 2009 012009 12xaa xax，则 20091
13、2 22009 222 aaa 的值 为（） A0B2C1D2 【例 26】已知 23* 0123 (1)(1)(1)(1)(1) (2,) nn n xaa xaxa xaxnn N 当5n 时，求 012345 aaaaaa的值； 设 2 234 3 , 2 nnn n a bTbbbb 试用数学归纳法证明：当2n时， (1)(1) 3 n n nn T 【例 27】请 先 阅 读 ： 在 等 式 2 cos22cos1()xxxR的 两 边 求 导 得 2 (cos2 )(2cos1)xx， 由求导法则得( sin2 ) 24cos( sin )xxx ，化简得sin22sin cosx
14、xx 利用上述想法（或其他方法） ，结合等式 【学而思高中数学讲义】 012211 (1)CCCCC nnnnn nnnnn xxxxx （xR， 整数2n） ， 证明 ： 11 2 (1)1C n nkk n k nxkx ； 对于整数3n，求证： 1 ( 1)C0 n kk n k k 对于整数3n，求证 2 1 ( 1)C0 n kk n k k ； 1 0 121 C 11 n n k n k kn 【例 28】证明： 22 0 C(1)2 n kn n k kn n 【例 29】证明： n n k n k n kknn 2 0 123 C (1)(2)(1)(2) 【例 30】求证：
15、 121 C2CC2 nn nnn nn 【例 31】求 5 1 x x 的二项展开式 【学而思高中数学讲义】 【例 32】设 5432 ( )5101051f xxxxxx，则 1( ) fx 等于（） A 5 1xB 5 12xC 5 12xD 5 1x 【例 33】设2ai，求 1121212 121212 1AC aC aC a 【例 34】已知数列 0123 aaaa， ， ， ，（0 0 a）满足： 【学而思高中数学讲义】 11 2 (1 2 3) iii aaa i ， ， ， 求证：对于任意正整数n， 01111 011 ( )(1)(1)(1)CCCC nnnnnn nnnnnn f xaxaxxaxxax 是一次多项式或零次多项式 【例 35】若 0 ( )C n ii n i f mm ，则 2 2 log(3) log(1) f f 等于（） A2B 1 2 C1D3
