1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 版块一：古典概型 1古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： 有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的 称这样的试验为古典概型 2概率的古典定义： 随机事件A的概率定义为( )P A A事件 包含的基本事件数 试验的基本事件总数 版块二：几何概型 几何概型 事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或 体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型 几何概型中，事件A的概率定义为( ) A P A ，其中表示区域的几何度量， A 表示 区域
2、A的几何度量 典例分析 题型一 基础题型 【例 1】在第1 3 6 8 16， ， ， ，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽 车） ，有一位乘客等候第6路或第16路汽车假定当时各路汽车首先到站的可 能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于_ 【例 2】 （20102010 崇文崇文一模一模） 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为 _ 【例 3】 （2010 上海卷高考） 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张， ，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 板块一.古典概型 【学而思高中数学讲义】 为“抽得为黑桃”，则
3、概率()P AB （结果用最简分数表示） 【例 4】 （2010 湖北高考） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向 上的点数是 3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 3 4 【例 5】甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 【例 6】甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班 的概率是（） A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【例 7】今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率
4、为多少？ 【例 8】某学生做两道选择题， 已知每道题均有4个选项， 其中有且只有一个正确答案， 该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 【例 9】现有8名奥运会志愿者， 其中志愿者 123 ,AAA通晓日语， 123 ,BBB通晓俄语， 12 ,CC通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个 小组 求 1 A被选中的概率； 求 1 B和 1 C全被选中的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 10】（2009 江西 10） 甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现 任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相 遇的概率
5、为（） A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【例 11】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这 些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求： 有一面涂有色彩的概率；有两面涂有色彩的概率；有三面涂有色彩的概 率 题型二 中档题的常见载体模型 扔骰子硬币 【例 12】将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？ 【例 13】将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？ 【例 14】先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12 11 10， ，的概率依次是 123 PPP， ，则（） A 123 PPPB 123 PPP C 123 PPP
6、D 123 PPP 【学而思高中数学讲义】 【例 15】（08 江苏） 若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率 为 【例 16】（05广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 1 2 3 4 5 6， ， ， ， ，） ，骰子朝上的面的点数分别为XY，则 2 log1 XY 的概率为 （） A 1 6 B 5 36 C 1 12 D 1 2 【例 17】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在 圆 22 16xy内的概率是 【例 18】同时抛掷两枚骰子， 求得到的两个点数成两倍关系的概率； 求点数之和为8的概率； 求至少出
7、现一个5点或6点的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 19】某中学高一年级有12个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于 某种原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班有人提议用如下 的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？ 并说明理由 摸球 【例 20】（2009 重庆 6） 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的 外部特征完全相同从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概 率为（） A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 【例 21】口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一
8、次摸出两 个球， 写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？ 摸出来的两只球都是白球的概率是多少？ 摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？ 【例 22】（20102010 朝朝阳阳一模一模） 【学而思高中数学讲义】 袋子中装有编号为, a b的 2 个黑球和编号为, ,c d e的 3 个红球，从中任意摸出 2 个 球 写出所有不同的结果； 求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率； 求至少摸出 1 个黑球的概率 【例 23】盒中有 6 只灯泡，其中有 2 只是次品，4 只是正品从中任取 2 只，试求 下列事件的概率 取到的 2 只都是次品；取到的 2 只中恰有一只次品 【例 24】有4个红球
9、，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中 任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？ 【例 25】袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽 取3次，求：3只全是红球的概率，3只颜色全相同的概率， 3只颜色不全相同的概率，3只颜色全不相同的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 26】袋里装有 30 个球，每个球上都记有 1 到 30 的一个号码， 设号码为n的球 的重量为 2 44 4 33 n n（克） 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响） 从袋里取出 如果任意取出 1 球，求其号码是 3 的倍数的概率 如果任意取出 1 球，求重量不大于号其码的
10、概率； 如果同时任意取出 2 球， 试求它们重量相同的概率 【例 27】在 10 个球中有 6 个红球，4 个白球（各不相同），不放回的依次摸出 2 个 球，在第 1 次摸出红球的条件下，第 2 次也摸出红球的概率是（） A 3 5 B 2 3 C 5 9 D 1 3 【例 28】一个袋子中装有m个红球和n个白球（4mn） ，它们除颜色不同外， 其余都相同，现从中任取两个球 若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m 必为奇数； 若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足 【学而思高中数学讲义】 20mn的所有数组()m n， 【例 29】（2006
11、 年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个 红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球由甲，乙两袋中各任取2个球 若3n ，求取到的4个球全是红球的概率； 若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 3 4 ，求n 数字计算 【例 30】用 2、3、4 组成无重复数字的三位数，这些数被 4 整除的概率是（） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 【例 31】任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（） A 10 27 B 1 3 C 1 6 D 7 54 【例 32】（08 辽宁） 4张卡片上分别写有数字1 2 3 4， ， ， 从这4张卡片中随机抽取
12、2张， 则取出的2 【学而思高中数学讲义】 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【例 33】（2006 年北京卷理） 在12345， ， ， ，这五个数字组成的没有重复数字的三 位数中，各位数字之和为奇数的共有（） A36个B24个C18个D6个 【例 34】（2007 年上海卷文）在五个数字12345， ， ， ，中，若随机取出三个数字， 则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示） 【例 35】（04全国）从数字1 2 3 4 5， ， ， ，中，随机抽取3个数字（允许重复） ，组成 一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（） A 1
13、3 125 B 16 125 C 18 125 D 19 125 【例 36】从0 2 4 6 8， ， ， ，这五个数字中任取2个偶数，从1 3 5 7 9， ， ， ，这五个数字中 任取1个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率 【例 37】电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组 成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为（） A 1 180 B 1 288 C 1 360 D 1 480 【学而思高中数学讲义】 【例 38】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1 218， ， ，的 18 名火炬手若从 中任选 3 人， 则选出
14、的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为 （ ） A 1 51 B 1 68 C 1 306 D 1 408 【例 39】（2009 浙江 17） 有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，1k ，其中 0, 1, 2, 19k 从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各 位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字 之和为91010 ）不小于14”为A，则( )P A _ 【例 40】在900张奖券（奖券号是100999）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖 的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？ 【例 41】某城市开展体育彩票有
15、奖销售活动，号码从000001到999999，购买时揭号 对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为 偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比 【例 42】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则 总面值超过1角的概率是（） A 1 15 B 2 15 C 13 15 D 14 15 【学而思高中数学讲义】 【例 43】（2009 江苏） 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9， 若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 _ 【例 44】任取一正整数，求该数的平方的末
16、位数是1的概率 【例 45】摇奖器摇出的一组中奖号码为8 2 5 3 7 1， ， ， ， ，对奖票上的六个数字是从 0 1 29， ， ，这十个数字中任意选出六个不同数字组成的如果对奖票上的六 个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中 奖的概率为（） A 1 7 B 1 30 C 4 35 D 5 42 【例 46】甲乙两人各有相同的小球10个， 在每人的10个小球中都有5个标有数字1， 3个标有数字2，2个标有数字3两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个， 规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的 概率 【例 47】（20102010
17、 西城西城一模一模） 一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4现 【学而思高中数学讲义】 从盒子中随机抽取卡片 若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； 若第一次抽1张卡片， 放回后再抽取1张卡片， 求两次抽取中至少一次抽到数字3 的概率 排列组合相关 【例 48】一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘若每敲1次在屏幕 上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现 单词“monkey”的概率为_ 【例 49】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每 组4支求： A、B两组中有一组恰有两
18、支弱队的概率； A组中至少有两支弱队的概率 【例 50】某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加校数 学竞赛，求： 恰有一名参赛学生是男生的概率； 至少有一名参赛学生是男生的概率； 至多有一名参赛学生是男生的概率 【例 51】（2009 上海文） 【学而思高中数学讲义】 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者， 则选出 的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示） 【例 52】有十张卡片，分别写有A、B、C、D、E和a、b、c、d、e， 从中任意抽取一张， 求抽出的一张是大写字母的概率；求抽出的一张是A或a的概率； 若从中抽出两张， 求
19、抽出的两张都是大写字母的概率；求抽出的两张不是同一个字母的概 率； 【例 53】某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成 现 从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率 为 （结果用分数表示） 【例 54】（06 江西）将 7 个人（含甲、乙）分成三个组，一组 3 人，另两组 2 人， 不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则ap，的值分别为（） A 5 105 21 ap，B 4 105 21 ap，C 5 210 21 ap，D 4 210 21 ap， 【例 55】（2009 江西 10） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精
20、美卡片，每袋食品随机装 入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 【学而思高中数学讲义】 （） A 31 81 B 33 81 C 48 81 D 50 81 【例 56】（2006 上海） 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本将它们 任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_（结果用分 数表示） 【例 57】（2008 四川延 8） 在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（） A 1 5 B 1 2 C 2 3 D 4 5 【例 58】停车场有10个排成
21、一排的车位，当有7辆车随意停放好后，恰好剩下三个 空位连在一起的概率为_； 【例 59】6个人坐到9个座位的一排位置上， 则3个空位互不相邻的概率为 【例 60】右图中有一个信号源和五个接收器接收器与信号源在同一个串联线路中 时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号若将图中左端的六个接线点随 机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六 组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率 是（） 【学而思高中数学讲义】 A 4 45 B 1 36 C 4 15 D 8 15 【例 61】（2009 四川文） 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总
22、量为2000万张的熊猫优惠卡， 向省外人士发行的是熊猫金卡 （简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡 （简 称银卡） ， 某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游， 其中 3 4 是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有 1 3 持金卡，在省内游客中有 2 3 持银卡 在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率； 在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率 【例 62】（08 湖南）对有(4)n n个元素的总体1 2n， ， ，进行抽样，先将总体分 成两个子总1 2m， ， ，和12mmn， ，（m是给定的正整数，且 22mn ） ，再从每个子总体中各
23、随机抽取 2 个元素组成样本用 ij P表示 元素i和j同时出现在样本中的概率，则 1n P=；所有(1) ij Pijn 的和等于 【学而思高中数学讲义】 题型三 结合其他知识的综合题及杂题 【例 63】已知ABC的三边是10以内 （不包含10） 的三个连续的正整数， 求ABC是 锐角三角形的概率 【例 64】（07 湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量()m n，a =与 向量(11)，b的夹角为，则(0 2 ，的概率是（） A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 5 6 【例 65】考虑一元二次方程 2 0 xmxn， 其中m n，的取值分别等于将一枚骰子连 掷两次先后出
24、现的点数，试求方程有实根的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 66】（07 四川） 已知一组抛物线 2 1 1 2 yaxbx，其中a为2 4 6 8， ， ，中任取的一个数，b为 1 3 5 7， ， ，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x 交点处的切线相互平行的概率是（） A 1 12 B 7 60 C 6 25 D 5 16 【例 67】（2009 安徽） 考察正方体6个面的中心， 甲从这6个点中任意选两个点连成直线， 乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等 于（） A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75
25、【例 68】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平 行的概率为_ 杂题 【学而思高中数学讲义】 【例 69】某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车某 天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道 发车顺序为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果 第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆 共有多少个基本事件？ 小曹能乘上上等车的概率为多少？ 【例 70】李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开， 李明恰在第三次打开房门的概率是多大？ 李明三次内打开房门的概率是多大？ 【例 71】张三和李四玩
26、“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡， 鸡吃虫子，虫蛀棒子） ，他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相 邻的两个（比如出现老虎与虫子） ，则算平局，求出现平局的概率；张三 赢的概率 【例 72】某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、 乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车假 设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率： 该车在某停车点停车；停车的次数不少于2次；恰好停车2次 【学而思高中数学讲义】 【例 73】（20102010 石景山石景山一模一模） 为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标其中A企业 来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省此 项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同 企业E中标的概率是多少？ 在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？
