1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一 求函数值 【例 1】若函数( )f x满足(21)1fxx，则(1)f 【例 2】（2006 年安徽高考） 函 数( )f x对 于 任 意 实 数x满 足 条 件 1 (2) ( ) f x f x ， 若(1)5f ， 则 ( (5)f f 【例 3】若函数 2 (21)2fxxx，则(3)f= 【例 4】已知函数 2 2 ( ), 1 x f xxR x . （1） 求 1 ( )( )f xf x 的值； （2） 计算： 111 (1)(2)(3)(4)( )( )( ) 234 fffffff. 【例 5】已知, a b为常数，若 22 (
2、)43,()1024,f xxxf axbxx求5ab的值 【例 6】若函数 2 ( )f xx，则对任意实数 12 ,x x，下列不等式总成立的是（） A 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x B 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x 板块二.函数的表示法 【学而思高中数学讲义】 C 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x D 12 () 2 xx f 12 ()() 2 f xf x 【例 7】（2006台湾） 将正整数18分解成两个正整数的乘积有：1 18，29，3 6三种，又3 6是 这三种分解中两数的差最小的，我们称3
3、6为18的最佳分解当pq()pq 是正整数n的最佳分解时，我们规定函数( ) p F n q ，例如 31 (18) 62 F，下列 有关函数( )F n的叙述，正确的序号为（把你认为正确的序号都写上） (4)1F； 3 (24) 8 F； 1 (27) 3 F； 若n是一个质数，则( )F n 1 n ；若n是一个完全平方数，则( )1F n 【例 8】设函数 3(100) ( ),(89). (5)(100) xx f xf f f xx 求 【例 9】（2001 上海理，1）设函数 f（x） 81 2 ,(,1 log ,(1,) x x x ，则满足 f（x）= 1 4 的 x 值 为
4、。 【例 10】（2006 山东 文 2）设 1 2 3 2,2 ( )( (2) log (1)2. x ex f xf f xx ， 则的值为 ， （） A0B1C2D3 题型二 求函数解析式 一、定义法：一、定义法： 【例 11】设23) 1( 2 xxxf，求)(xf. 【学而思高中数学讲义】 【例 12】设函数( )23, (2)( )f xxg xf x，则( )g x的表达式是（） A21x B21x C23x D27x 【例 13】设 2 1 )( x x xff，求)(xf. 【例 14】设 3 3 2 2 1 ) 1 (, 1 ) 1 ( x x x xg x x x xf
5、，求)(xgf. 【例 15】设)(sin,17cos)(cosxfxxf求. 二、待定系数法：二、待定系数法： 【例 16】如果反比例函数的图象经过点(1,2)，那么这个反比例函数的解析式为 【例 17】在反比例函数 k y x 的图象上有一点P，它的横坐标m与纵坐标n是方程 2 420tt的两个根，则k 【例 18】已知1392)2( 2 xxxf，求)(xf. 三、换元（或代换）法：三、换元（或代换）法： 【学而思高中数学讲义】 【例 19】已知函数 1 () 1 x fx x . 求： （1）(2)f的值； （2）( )f x的表达式 【例 20】（1）已知(1)2fxxx，求( )f
6、 x及 2 ()f x； （2）已知 ( )3 ()21f xfxx ，求 ( )f x. 【例 21】已知 2 2 111 (), xx f xxx 求( )f x 【例 22】设xxf 2 cos) 1(cos，求)(xf. 【例 23】设( )f x满足 1 ( )( )af xbfcx x （其中,abc均不为0，且ab ） ，求( )f x 四、反解函数法：四、反解函数法： 【例 24】已知2)( 21 xaf x ，求)(xf. 五、特殊值法：五、特殊值法： 【例 25】设)(xf是定义在 N 上的函数，满足1) 1 (f，对于任意正整数yx,，均有 【学而思高中数学讲义】 xyy
7、xfyfxf)()()(，求)(xf. 六、累差法：六、累差法： 【例 26】若 a f 1 lg) 1 (， 且当), 0(,lg)() 1(,2 1 Nxaaxfxfx x 满足时， 求)(xf. 七、归纳法：七、归纳法： 【例 27】已知afNxxfxf) 1 ()(),( 2 1 2) 1(且，求)(xf. 八、微积分法：八、微积分法： 【例 28】设2) 1 (,cos)(sin 22 fxxf，求)(xf. 九、其他综合问题九、其他综合问题 【例 29】（1）已知 3 3 11 ()f xx xx ，求( )f x； （2）已知 2 (1)lgfx x ，求( )f x； （3）已
8、知( )f x是一次函数，且满足3 (1)2 (1)217f xf xx，求( )f x； （4）已知( )f x满足 1 2 ( )( )3f xfx x ，求( )f x。 【学而思高中数学讲义】 【例 30】（2006 重庆理 21）已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)x2+x)=f(x)x2+x。 （）若 f(2)=3,求 f(1)；又若 f(0)=a,求 f(a)； （）设有且仅有一个实数 x0，使得 f(x0)= x0。求函数 f(x)的解析表达式。 【例 31】已知函数( )yf x的图象关于直线1x 对称， 且当(0,)x时， 有 1 ( ),f x x 则当(
9、, 2)x 时，( )f x的解析式为（） A 1 x B 1 2x C 1 2x D 1 2x 【例 32】（05 全国卷 I）已知二次函数( )f x的二次项系数为 a，且不等式( )2f xx 的 解集为(1,3) 方程( )60f xa有两个相等的根，求( )f x的解析式； 若( )f x的最大值为正数，求a的取值范围 题型三 分段函数 【例 33】画出下列函数的图象： （1）|2|yx； （2）|1|24|yxx. 【例 34】函数( ) f xx的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如 3.54 ，2.12， 当( 2.5,3x 时，写出( )f x的解析式，并作出函数的图象.
10、【学而思高中数学讲义】 【例 35】画出下列函数的图象 （1）yx 22，xZ 且x 2； （2）y2 2 x3x，x（0，2 ； （3）yx2x；（4） 32 322 32 x yxx x ， 【例 36】已知函数 2 2 ( ) 2 x f xx x (1) ( 12) (2) x x x ， 求( )f； （2） 若( )3f a ，求a； 作出此函数的图象 【例 37】作出函数( ) |2|1|f xxx的图象 【例 38】已知 1,0 ( ) 1,0 x f x x ，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 【学而思高中数学讲义】 【例 39】函数 x yx x 的图象是（） 【例
11、 40】设 2,(10) ( ) (6),(10) xx f x f f xx ，则(5)f的值为（） A10B11C12D13 【例 41】设 函 数 1 1(0), 2 ( ) 1 (0). xx f x x x ， 若( )f aa， 则 实 数a的 取 值 范 围 是 【例 42】若函数 2 34(0) ( )(0) 0(0) xx f xx x ，则( (0)f f= 【例 43】已知函数 2 1 (0) ( ) 2(0) xx f x xx ，若( )10f x ，则x 【例 44】由函数的解析式，求函数值 已知函数 2 ( )352f xxx，求(1)f， 1 f a ，(1)f
12、 x ； 已知 1(0) ( )(0) 0(0) xx f xx x ，求 ( 1)ff f ； 已知( )f x的定义域为0 x x ，且()( )( )f xyf xf y，若(9)8f，求(3)f 【学而思高中数学讲义】 【例 45】已知 f(x)= 33 33 22xx xx (,1) (1,) x x ，求 ff(0)的值. 题型三 实际应用问题 【例 46】经市场调查，某商品在近 100 天内，其销售量和价格均是时间 t 的函数，且销 售量近似地满足关系（t）1 3 t 109 3 （tN*，0t100)，在前 40 天 内价格为 f（t）1 4 t22（tN*，0t40） ，在后
13、 60 天内价格为 f（t） 1 2 t52（tN*，40t100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到 1 元). 【例 47】某中学高一年级学生李鹏， 对某蔬菜基地的收益作了调查， 该蔬菜基地种植西 红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上 市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用 图二的抛物线段表示，试解答下列问题. (1)写出图一表示的市场售价间接函数关系 Pf（t）.写出图二表示的种植成本与时 间的函数关系式 Qg（t） ； (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? 【学而思高中数学讲义】
14、(注：市场售价和种植成本的单位：元102kg，时间单位：天) 【例 48】季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为 10 元，并且每周(7 天)涨价 2 元，5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售；10 周后 当季节即将过去时，平均每周削价 2 元，直到 16 周末，该服装已不再销售. (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式. (2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q0.125（t8）212，t0， 16，tN*试问该服装第几周每件销售利润 L 最大? 【例 49】如图， 有一块边长为 a 的正方形铁皮， 将其四个角各截去一个边长为 x 的
15、小正 方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_， 【学而思高中数学讲义】 这个函数的定义域为_ 【例 50】某商场做活动，某款玩具小熊的单价是5元，买x（x 1, 2, 3, 4, 5）个玩具 小熊需要y元试用函数的三种表示法表示函数( )yf x 【例 51】如图， 在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P， 从点B开始， 沿折线BCD 向点A运动设点P移动的距离为x，ABP的面积为y，求函数( )yf x及其 定义域，并根据所求函数画出函数图象 ? x ? y ? P ? A ? B ? C ? D 【例 52】如右图所示，在平行四边形ABCD中，60DA
16、B，5AB ，3BC ，点P从 起点D出发，沿DC，CB向终点B匀速运动，设点P所走过的路程为x，点P 所经过的线段与线段AD、AP所围成的图形的面积为y，y随x变化而变化， 在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（） 【学而思高中数学讲义】 【例 53】如图，铁路线上AB长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米现打 算从AB上某 一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨每千米的运费与公路每吨每千米的运 费之比为3:5为了使原料从供应站B到工厂C的运费最少，D点应选在何 处？ ? D ? C ? B ? A 【例 54】如图，动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始，顺次经 C
17、、D 绕边界一周， 当 x 表示点 P 的行程，y 表示 PA 之长时，求 y 关于 x 的解析式，并求 f( 5 2 )的 值 【例 55】（2003北京春， 理文21） 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000 元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加 一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多 少？ 【例 56】（2006 湖南 理 20） 对 1 个单位质量的含污
18、物体进行清洗， 清洗前其清洁度(含 污物体的清洁度定义为：1 污物质量 ） 物体质量（含污物） 为0.8，要求清洗完后的清洁 度为0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。 该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为(13)aa。设用x单位 【学而思高中数学讲义】 质量的水初次清洗后的清洁度是 0.8 1 x x (1)xa， 用y单位质量的水第二次清 洗后的清洁度是 yac ya ，其中c (0.80.99)c是该物体初次清洗后的清洁度。 ()分别求出方案甲以及0.95c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量 较少； ()若采用方案乙, 当a为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量， 使总用水量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
