1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：求周期问题 【例 1】已 知( )f x是 定 义 在R上 的 函 数 ，(10)(10)fxfx且 (20)(20)fxfx ，则( )f x 是（） A.周期为 20 的奇函数B. 周期为 20 的偶函数 C.周期为 40 的奇函数D. 周期为 40 的偶函数 【例 2】求函数tancoty的最小正周期 【例 3】定义在R上的函数( )f x满足(3)( )0f xf x，且函数 3 2 fx 为奇函数给 出以下 3 个命题： 函数( )f x的周期是 6； 函数( )f x的图象关于点 3 0 2 ，对称； 函数( )f x的图象关于y轴对称，其
2、中，真命题的个数是（） A3B2C1D0 【例 4】若 y=f(2x)的图像关于直线 2 a x 和() 2 b xba对称，则 f(x)的一个周期为 （） A 2 ab B2()baC 2 ba D4()ba 【例 5】已知函数( )f x对于任意,abR，都有()()f abf ab2 ( )( )f af b，且 (0)0f 求证：( )f x为偶函数； 若存在正数 m 使得( )0f m ，求满足()( )f xTf x的 1 个 T 值（T0） 【例 6】设( )f x是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线1x 对称且对任意 12 1 ,0, 2 x x ，都有 1212 ()()
3、()f xxf xf x，(1)0fa 板块三.函数的周期性 【学而思高中数学讲义】 求 1 ( ) 2 f及 1 ( ) 4 f；证明( )f x是周期函数； 题型二：求值问题 【例 7】已知定义在R上的函数( )f x的图象关于点 3 0 4 ，成中心对称图形，且满足 3 ( ) 2 f xfx ，( 1)1f ，(0)2f 那么，(1)(2)(2006)fff的值 是（） A1B2C1D2 【例 8】（2005天津卷） 设f(x)是定义在R上的奇函数， 且 yf x的图象关于直线 1 2 x 对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_. 【例 9
4、】（2006 年安徽卷理）函数 f x对于任意实数x满足条件 1 2f x f x ，若 15,f 则 5ff_。 【例 10】(2006 年山东卷）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6) 的值为 () (A)1(B) 0(C)1(D)2 【例 11】（1996 全国，15）设 f x是, 上的奇函数， 2f xf x ，当 0 x1 时， f xx，则 f（7.5）等于（） A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5 【例 12】已知函数 f(x)的定义域为 N，且对任意正整数 x，都有 f(x)f(x1)f(x1) 若 f(0)2004，求 f(200
5、4) 【例 13】函数( )f x在R上有意义，且满足：( )f x是偶函数；(0)999f； ( )(1)g xf x是奇函数，求(2008)f 【例 14】( )f x是定义在R上的函数，对任意的 xR，都有(3)( )3f xf x和 (2)( )2f xf x，设( )( )g xf xx， 求证( )g x是周期函数； 如果 f（998）=1002，求 f（2000）的值 【学而思高中数学讲义】 【例 15】数列an中，a1a，a2b，且 an2an1an(nN ) 求 a100；求 S100. 题型三：其他综合问题 【例 16】（2006 福建卷）已知( )f x是周期为 2 的奇
6、函数，当01x时，( )lg .f xx 设 63 ( ),( ), 52 afbf 5 ( ), 2 cf则 （A）abc（B）bac（C）cba（D）cab 【例 17】（2005 福建卷( )f x是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且(2)0f，则 方程( )f x=0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （） A5B4C3D2 【例 18】已 知 函 数( )yf x是 定 义 在R上 的 周 期 函 数 ， 周 期5T ， 函 数 ( )( 11)yf xx 是奇函数又知( )yf x在0,1上是一次函数，在1,4上是二 次函数，且在2x 时函数取得最小值5。 证明：(1)
7、(4)0ff； 求( ),1,4yf x x的解析式； 求( )yf x在4,9上的解析式。 【例 19】（ 05 广 东 卷 ） 设 函 数( )f x在(,) 上 满 足(2)(2)fxfx， (7)(7)fxfx，且在闭区间0，7上，只有(1)(3)0ff （）试判断函数( )yf x的奇偶性； （）试求方程( )f x=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的 结论 【例 20】对每一个实数对 x,y,函数 f(t)满足 f(xy)f(x)f(y)xy1,若 f(2)=2, 试求满足 f(a)a 的所有整数 a. 【例 21】已知( )f x为定义在区间(，)上以 2 为周期的函数，对k Z，用 k I表 示区间(21k ，21k ，已知 0 xI时， 2 ( )f xx 【学而思高中数学讲义】 求( )f x在 k I上的解析式； 对自然数 k，求集合| k Ma使方程( )f xax在 k I上有两个不相等的实根
