1、【学而思高中数学讲义】 题型一：与三角恒等变换的综合题 【例 1】函数 2 ( )sin 22 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 【例 2】设函数 2 2 cos2cos 32 x f xxx R， 求 f x的值域； 记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若 1f B ，1b ， 3c ，求a的值 【例 3】已知函数 2 1cotsinsinsin 44 f xxxmxx 当0m 时，求 f x在区间 3 84 ，上的取值范围； 当tan2时， 3 5 f x ，求m的值 【例 4】已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1()f xxxxx R 求函数( )f
2、x的最小正周期及在区间 0 2 ，上的最大值和最小值； 若 0 6 () 5 f x， 0 42 x ，求 0 cos2x的值 【例 5】已知函数( )sin0 , |f xx的图象如图所示 求,的值； 设( )( ) 4 g xf x fx ，求函数( )g x的单调递增区间 板块四.三角函数的综合 【学而思高中数学讲义】 【例 6】已知函数 22 3 sin2 sincos3 3 cosf xaxaxxaxb0 2 x 的值域为 3 , 2，求 a、b 的值 【例 7】已知函数 2 13 cossincos1 22 yxxx，Rx （1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； （
3、2）该函数的图象可由sinRyx x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得 到？ 【例 8】已知函数 sinf xAx，Rx（其中0A ，0， 22 ） ，其 部分图象如图所示 求 f x的解析式； 求函数( ) 44 g xfxfx 在区间0 , 2 上的最大值及相应的x值 【例 9】已知函数( )sincosf xaxbx的图象经过点, 0 6 ，, 1 3 求实数a、b的值； 若0 , 2 x ，求函数( )f x的最大值及此时x的值 【例 10】设函数 1 ( )3sin coscos sin 22 f xxxxx 【学而思高中数学讲义】 求( )f x的最小正周期； 当0, 2 x 时，求
4、函数( )f x的最大值和最小值 【例 11】已知函数 22 ( )cos 2sincos 3 f xxxx 求函数( )f x的最小正周期及图象的对称轴方程； 设函数 2 ( ) ( )( )g xf xf x，求( )g x的值域 【例 12】已知函数 22 ( )2 sincossincos() 2222 R xxxx f xaa 当1a 时，求函数( )f x的最小正周期及图象的对称轴方程式； 当2a 时，在( )0f x 的条件下，求 cos2 1sin2 x x 的值 题型二：与二次函数的综合题 【例 13】已知 4 x ，求函数 2 cossinyxx的最小值 【例 14】求函数
5、 2 22sincosyxx的最大值和最小值。 【例 15】设二次函数 2 ( )f xxbxc( ,)bcR，已知不论,为何实数，恒有 (sin)0f，(2cos)0f， （1）求证：1bc ； （2）求证3c 。 【例 16】已知函数 2 cossin3yxx，, 62 x ，求函数的最大值。 【例 17】当方程 22 4sin4sin20 xxkk有解时，求 k 的取值范围. 【例 18】求函数 2 2sin2sin1yxx 的值域. 【学而思高中数学讲义】 【例 19】求函数 2 22 cossinyaxx的最大值与最小值. 【例 20】求函数 2 53 sincos 82 yxaxa
6、(0) 2 x的最大值 【例 21】函数 2 ( )12 cos2sin2f xaxxa 的最小值为( )g a，Ra. 求( )g a若 1 ( ) 2 g a ，求a及此时( )f x的最大值 【例 22】若函数 2 ( )cossinf xxaxb的最大值为0，最小值为4，且0a ，求 ,ab的值 【例 23】若 2 sincos0 xxa有实数根，试确定实数a的取值范围. 【例 24】为使方程 2 cossin0 xxa在0 2 , 内有解，则a的取值范围是() A.11a B.11a C.10aD. 5 4 a 【例 25】已知函数 2 sinsin1yxax的最小值为 1，求 a
7、的值. 【例 26】已知函数 2 ( )2cos2sin4cosf xxxx （）求 3 f 的值； （）求( )f x的最大值和最小值 题型三：与不等式的综合题 【例 27】已知定义在(4,上的减函数( )f x，使得 2 7 (sin )( 12cos) 4 f mxfmx， 对一切实数x均成立， 求实数m的取值范 围 . 【学而思高中数学讲义】 【例 28】已知,bc是实数，函数 2 ( )f xxbxc对任意,R有： (sin)0f(2cos)0f 求(1)f的值； 证明：3c； 设(sin)f的最大值为10，求( )f x. 【例 29】已知 11 lg9cos()1 2 6 x，求
8、函数 2 cot2cot5yxx的值域. 【例 30】关于x的不等式 22 2sin2 cos2aaxax的解集是全体实数， 求实数a的 取值范围 【例 31】已 知 关 于 实 数x的 不 等 式 22 (tan1)(tan1) | 22 x ， 2 3(tan1)2(3tan1)0 xx的解集分别为M，N，且MN ，则这样 的存在吗？若存在，求出的取值范围。 题型四：与数形结合的综合题 【例 32】求方程lgsin0 xx的解的个数； 【例 33】求方程100sin xx的解的个数 【例 34】函数 2 yxx与cos(10 )yx的图象交点有个 【例 35】方程 1 sin2 2 x 在
9、 22 ,内解的个数为 【例 36】如图，方程sin2sinxx在区间(02 ),内解的个数是() 【学而思高中数学讲义】 A1B2C3D4 题型五：与其它函数综合题 【例 37】函数 2 1 sin(), 10 ( ) ,0 x xx f x ex ， 若(1)( )2ff a， 则a的所有可能值为 （） A.1B. 2 1 2 , C. 2 2 D. 2 1 2 , 【例 38】求函数 1 cossin 2 yxx的定义域。 【例 39】求下列函数的定义域： （1）( )3tanf xx； （2）( )tan(sin )f xx； （3） 2cos1 ( ) lg(tan1) x f x
10、x 【例 40】求函数 22 log (1sin )log (1sin )yxx， 64 ,x 的值域 【例 41】已知0 2 x ，化简： 2 lg costan12sinlg2coslg 1sin2 24 x xxxx 【例 42】求函数 2 2 3 sin sin yx x () ,Zxkk的值域 【例 43】 (1sin )(3sin ) 2sin xx y x 的最值及对应的 x 的集合 【学而思高中数学讲义】 【例 44】求函数 3 (2cos )(5cos ) y xx 的最大（小）值及取得最大（小）值时 x 的 值. 题型六：与向量的综合题 【例 45】在ABC中，3AB ，2
11、AC ，10BC ，则AB AC （） A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3 2 【例 46】已知a b c， ，为ABC的三个内角A B C， ，的对边，向量( 31)m ， (cossin)nAA ，若mn ，且coscossinaBbAcC，则角B 【例 47】已知向量sin, 1cosmBB ， 且与向量2, 0n 的夹角为 3 ， 其中 A, B, C 是ABC的内角 （I）求角B的大小；（II）求sinsinAC的取值范围 【例 48】已知A、B、C三点的坐标分别为(3, 0)A、(0, 3)B、(cos ,sin)C， 3 (,) 22 ， （I）若ACBC ，求角的值；
12、（II）若1AC BC ，求 2 2sinsin2 1tan 的值 【例 49】设函数( )f xm n，其中向量(2cos, 1)mx，(cos,3sin2 )nxx，Rx （1）求( )f x的最小正周期与单调递减区间； （2）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知( )2f x ，1b ， ABC 的面积为 3 2 ，求 sinsin bc BC 的值。 【例 50】已知向量cos, sinn 和 2sin, cosn ，, 2 (1)求|mn 的最大值；(2)当|mn = 8 2 5 时，求cos 28 的值 【学而思高中数学讲义】 【例 51】已知ABC 的面积
13、 S 满足33S, 且6AB BC ,AB 与BC 的夹角为 (I) 求的取值范围; (II)求函数 22 ( )sin2sincos3cosf的最小值 【例 52】已知ABC的面积为3， 且满足 2 ( )3lng xaxb， 设AB 和AC 的夹角为 （I）求的取值范围； （II）求函数 2 ( )2sin3cos2 4 f 的最大值与最小值 【例 53】已 知、(0,) 2 ，(sin, 1cos)a ，(sin, cos)b ， 且 3 cos 2 a b （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求、的值. 【例 54】已 知 锐 角 ABC 中 ， 三 个 内 角 为 A 、 B 、 C
14、 ， 两 向 量 (22sin, cossin)pAAA ， (sincos, 1sin)qAAA ，若p 与q 是共线向量. （1）求 A 的大小； （2）求函数 2 3 2sincos 2 CB yB 取最大值时，B 的大小 【例 55】已知向量(sincos)mAA， 31n ，1m n，且A为锐角 求角A的大小；求函数( )cos24cossin ()f xxAx xR的值域 【例 56】已知向量(sincos)mAA，(12)n ，且0m n 求tan A的值； 求函数( )cos2tansin ()f xxAx x R的值域 【学而思高中数学讲义】 题型七：三角函数杂题 【例 57
15、】设 f x满足2 ( sin )3 (sin )4sin cos () 44 fxfxxxx ，求( )f x的表达 式. 【例 58】圆 222 xyk至少覆盖函数( )3sin x f x k 的一个最大值点与一个最小值 点，求实数k的取值范围 【例 59】如图，质点P在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 0 22P，角速度为 1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致 为 AB CD 【例 60】如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角, ，它们的 终边分别与单位圆交于,A B两点已知,A B的横坐标分别为 5 7 2 , 510 求tan()的值； 【学而思高中数学讲义】 求2的值 【例 61】如图， 当甲船位于A处时获悉， 在其正东方向相距 20 海里的B处有一艘渔 船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ， 相距 10 海里C处的乙船 求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离； 设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA 成角， 求 22 sinsincoscosf xxxxR的值域 【例 62】已知函数 sin2f xx， cos 2 6 g xx ，直线xt tR与函数 f x、 g x的图象分别交于M、N两点， 当 4 t 时，求|MN的值；求|MN在 0 2 t ，时的最大值
