1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：判断命题的真假 【例 1】判断下列语句是否是命题： 张三是四川人； 10 10是个很大的数； 2 20 xx； 2 60 x ； 1 12 ； 【例 2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：Rx，方程01 2 xx无实根. （4）5x （5）人类在 2020 年登上火星. 【例 3】设语句( )p x： cos()sin 2 xx ，写出 ( ) 3 p，并判断它是不是真命题； 【例 4】判断下列命题的真假 空间中两条不平行的直线一定相
2、交； 垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； 每一个周期函数都有最小正周期； 两个无理数的乘积一定是无理数； 若AB，则ABB； 若1m ，则方程 2 20 xxm无实数根 已知a b c d R， ， ，若ac或bd，则abcd； 已知a b c d R， ， ，abcd，则ac或bd 【例 5】下面有四个命题： 若a不属于N， 则a属于N； 若abNN， 则ab的 最小值为2； 2 12xx 的解可表示为1 1，其中真命题的个数为（） 板块一.命题与四种命题 【学而思高中数学讲义】 A0个B1个 C2个D3个 【例 6】命题p：奇函数一定有(0)0f； 命题q：函数 1 yx x 的单调递减
3、区间是 1 0)(0 1， 则下列四个判断中正确的是（） Ap真q真Bp真q假C p假q真Dp假q假 【例 7】给出下列三个命题： 若1ab ，则 11 ab ab ； 若正整数m和n满足mn，则() 2 n m nm； 设 11 ()，P xy为圆 22 1: 9Oxy上任一点， 圆 2 O以()，Q a b为圆心且半径为1 当 22 11 ()()1axby时，圆 1 O与圆 2 O相切； 其中假命题的个数为（） A0B1C2 D3 【例 8】已知三个不等式：000， cd abbcad ab （其中， ， ，a b c d均为实数） 用 其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组
4、成一个命题，可组成 真命题的个数是（） A0B1 C2D3 【例 9】已知m n，是两条不同直线， ，是三个不同平面，下列命题中正确的是 （） A若mn， ，则mnB若，则 C若mm， ，则D若mn，则mn 【例 10】已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题： 若m，n， 则mn； 若m，n， 则nm； 若m，m， 则 其中真命题的个数是（） A0B1C2D3 【例 11】已知三个不等式：0,0,0 cd abbcad ab （其中, , ,a b c d均为实数） . 【学而思高中数学讲义】 用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组 成真命题的个数是（） A.0
5、B.1C.2D.3 【例 12】下面有五个命题： 函数 44 sincosyxx的最小正周期是 终边在y轴上的角的集合是 | 2 k a ak Z， 在同一坐标系中，函数sinyx的图象和函数yx的图象有三个公共点 把函数 3sin 2 3 yx 的图象向右平移 6 得到3sin2yx的图象 函数 sin 2 yx 在0，上是减函数 其中真命题的序号是 【例 13】对于四面体ABCD，下列命题正确的是（写出所有正确命题 的编号） 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点； 若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面； 分别
6、作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 【例 14】设和为不重合的两个平面，给出下列命题： 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； 若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行； 设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直； 直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直 上面命题中，真命题的序号是_ （写出所有真命题的序号） 【例 15】若2,5x和|14xx xx或都 是 假 命 题 ， 则x的 范 围 是 _. 【例 16】设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:，f VVaV ，记a 的
7、 象为( )f a 若映射:f VV满足：对所有，a bV 及任意实数，都有 ()( )( )fabf af b ，则f称为平面M上的线性变换现有下列命题： 【学而思高中数学讲义】 设f是平面M上的线性变换，则(0)0f ； 对aV ， 设( )2f aa ， 则f是平面M上的线性变换； w w w k s 5 u c o m 若e 是平面M上的单位向量，对aV 设( )f aae ，则f是平面M上的线 性变换； 设f是平面M上的线性变换，a bV ，若，a b 共线，则( )( )，f af b 也共线 其中真命题是（写出所有真命题的序号） 【例 17】设 有 两 个 命 题 ：:p不 等
8、式|1|xxa的 解 集 为R， 命 题 :q( )(73 )xf xa 在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命 题，那么实数a的取值范围是. 【例 18】关于x的方程 2 22 110 xxk，给出下列四个命题： 存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假 命题的个数是（） A0B1C2 D3 【例 19】对于直角坐标平面内的任意两点 11 ()，A xy、 22 ()，B xy，定义它们之间的一 种“距离”： 1212 ABxxyy给出下列三个命题：
9、 若点C在线段AB上，则ACCBAB； 在ABC中，若90C，则 222 ACCBAB； 在ABC中，ACCBAB 其中真命题的个数为（） A1个B2个C3个 D4个 【例 20】设直线系: cos(2)sin1(02)M xy，对于下列四个命题： AM中所有直线均经过一个定点 B存在定点P不在M中的任一条直线上 C对于任意整数(3)n n，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号） 【学而思高中数学讲义】 题型二：四种命题之间的关系 【例 21】命题“若xy，则| |xy”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并
10、判断 它们的真假 【例 22】写出命题“若ba,都是偶数， 则ba是偶数”的逆命题， 否命题， 逆否命题， 并判断它们的真假. 【例 23】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假 “负数的平方是正数”； “若a和b都是偶数，则ab是偶数”； “当0c 时，若ab，则acbc”； “若5xy，则3x 且2y ”； 【例 24】写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假 命题p：“若0,ac 则二次方程 2 0axbxc没有实根”； 命题q：“若xa且xb，则 2 ()0 xab xab”； 命题r：“若(1)(2)0 xx，则1x 或2x ” 命题l：“ABC中，若90C ，则A
11、、B都是锐角”； 命题s：“若0abc ，则a b c， ，中至少有一个为零” 【例 25】如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； 如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； 命题、与命题有何关系？ 【例 26】下列命题中正确的是（） “若 22 0 xy，则xy，不全为零”的否命题 “正多边形都相似”的逆命题 “若0m ，则 2 0 xxm有实根”的逆否命题 “若3x 是有理数，则x是无理数”的逆否命题 ABCD 【例 27】命题：“若 22 0()，aba bR，则“0ab”的逆否命题是（） 【学而
12、思高中数学讲义】 A若0()，aba bR，则 22 0ab B若0a 且0()，ba bR，则 22 0ab C若0()，aba bR，则 22 0ab D若0a 或0()，ba bR，则 22 0ab 【例 28】命题：“若 2 1x ，则11x ”的逆否命题是（） A若 2 1x，则1x或1xB若11x ，则 2 1x C若1x 或1x ，则 2 1x D若1x或1x，则 2 1x 【例 29】已知命题“如果1a，那么关于x的不等式 22 (4)(2)10axax的解 集为”它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（） A0 个B2 个C3 个D4 个 【例 30】有下列四个
13、命题： “若0 xy，则, x y互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若1q，则 2 20 xxq有实根”的逆否命题； “等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（） A1B2C3 D4 【例 31】下面有四个命题：集合N中最小的数是1；若a不属于N，则a属 于N；若,NbNa则ba 的最小值为2；xx21 2 的解可表示为 1 , 1.其中真命题的个数为（） A0个B1个 C2个D3个 【例 32】有下列四个命题：“若0 xy, 则, x y互为相反数”的逆命题；“全 等三角形的面积相等”的否命题； “若1q ,则 2 20 xxq有实根”的逆 否命题
14、； “不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为（） ABCD 【例 33】原命题：“设a b cR， ，若ab，则 22 acbc”以及它的逆命题、否命题、 逆否命题中，真命题共有（）个 A0B1C2D4 【学而思高中数学讲义】 【例 34】给出以下四个命题： “若0 xy，则xy，互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若1q，则 2 0 xxq有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三内角相等”的逆否命题 其中真命题是（） ABCD 【例 35】命题：“若 2 1x ，则11x ”的逆否命题是（） A若 2 1x ，则1x或1xB若11x ，则 2 1x C若
15、1x 或1x ，则 2 1x D若1x或1x，则 2 1x 【例 36】有下列四个命题：“若0 xy，则，xy互为相反数”的逆命题；“全等 三角形的面积相等”的否命题；“若1q，则 2 20 xxq有实根”的逆否命 题；“不等边三角形的三个内角相等”逆命题其中真命题为（） ABCD 【例 37】命题“若ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 【例 38】下列命题中_为真命题 “ABA”成立的必要条件是“AB”； “若 22 0 xy，则x，y全为0”的否命题； “全等三角形是相似三角形”的逆命题； “圆内接四边形对角互补”的逆否命题 【例 39】“在ABC中，若90C，
16、则A、B都是锐角”的否命题为 ； 【例 40】有下列四个命题：命题“若1xy ，则x，y互为倒数”的逆命题；命题 “面积相等的三角形全等”的否命题； 命题“若1m， 则 2 20 xxm有实根” 的逆否命题；命题“若ABB，则AB”的逆否命题 其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号） 【例 41】命题“若, x y是奇数，则xy是偶数”的逆否命题是;它是 【学而思高中数学讲义】 命题. 【例 42】写出命题“若0m ，则方程 2 0 xxm有实数根”的逆否命题，判断其 真假，并加以证明. 【例 43】已知等比数列 n a的前n项和为 n S 若 m S， 2m S ， 1m S 成等差数列，证明 m a， 2m a ， 1m a 成等差数列； 写出的逆命题，判断它的真伪，并给出证明 【例 44】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线xy2 2 相交于 A、B 两点 （1）求证：“如果直线l过点 T（3，0） ，那么 OA OB3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由
