1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的 腰，以下四个命题中，假命题是（） A等腰四棱锥的腰与底面所成角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 ? O ? H ? P ? D ? C ? B ? A 【例 2】如图，正方体 1111 ABCDABC D中，点P在侧面 11 BCC B及其边界上运动，并且 总保持 1 APBD，则动点P的轨迹是（） A线段 1 BC B线段 1 BC C 1 BB中点与 1 CC中点连成的线段 DB
2、C中点与 11 BC中点连成的线段 ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A ? P 板块七.空间几何量计算综合 问题 【学而思高中数学讲义】 【例 3】（2010 重庆高考） 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点， 在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是（） A直线B椭圆C抛物线D双曲线 【例 4】（2010 福建高考） 如图，若是长方体 1111 ABCDABC D被平面EFGH截去几何体 11 EFGHBC后得到 的几何体，其中E为线段 11 AB上异于 1 B的点，F为线段 1 BB上异于 1 B的点，且 11 EHA
3、D，则下列结论中不正确的是（） AEHFG B四边形EFGH是矩形 C是棱柱D是棱台 【例 5】 （2010 江西高考） 过正方形 1111 ABCDABC D的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD， 1 AA所成的角 都相等，这样的直线l可以作 A1 条B2 条C3 条D4 条 【例 6】（2010 全国卷高考） 11与正方体 1111 ABCDABC D的三条棱AB、 1 CC、 11 AD所在直线的距离相等的 点 A有且只有 1 个B有且只有 2 个 C有且只有 3 个D有无数个 【例 7】（2009 海南）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱线长为1，线段 11 B D上有两个
4、 【学而思高中数学讲义】 动点，EF，且 2 2 EF ，则下列结论中错误的是（） AACBE BEF平面ABCD C三棱锥ABEF的体积为定值 D异面直线，AEBF所成的角为定值 ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 8】 （2008 辽宁） 在正方体 1111 ABCDABC D中，EF，分别为棱 1 AA， 1 CC的中点，则在空间中与三 条直线 11 AD，EF，CD都相交的直线（） A不存在B有且只有两条 C有且只有三条D有无数条 ? P ? N ? M ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ?
5、 A ? 1 ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 9】 （2009 安徽文 15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是 （写出 所有正确命题的编号） 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点； 若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合； 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点 【例 10】（20102010 年一模年一模西城西城文文题题 17） 如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图
6、如图所示 证明：AD 平面PBC； 【学而思高中数学讲义】 求三棱锥DABC的体积； 在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ平面ABD，并求此时PQ的长 【例 11】（20102010 年二模年二模宣武宣武文文题题 16） 已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆） ，根据图中标出的数据， 求这个组合体的体积； 若组合体的底部几何体记为 1111 ABCDABC D，其中 11 A B BA为正方形 ）求证： 1 AB 平面 11 ABC D； ）求证：P为棱 11 AB上一点，求 1 APPC的最小值 【例 12】（20102010 年二模年二模宣武宣武理理题题 16） 已知某个几何体
7、的三视图如图（主视图的弧线是半圆） ，根据图中标出的数据， 求这个组合体的表面积； 若组合体的底部几何体记为 1111 ABCDABC D，其中 11 A B BA为正方形 【学而思高中数学讲义】 ）求证： 111 ABABC D 平面； ）设点P为棱 11 AD上一点，求直线AP与平面 11 ABC D所成角的正弦值的取值范 围 【例 13】（2009 广雅期中） 已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点 ? 俯视图 ? 左视图 ? 主视图 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? E ? D ? C ? B ? A ? P 求四棱锥PABCD的体积； 是否不论
8、点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论 【例 14】（2009 江门市一模） 如图，四棱锥PABCD，PABCBA，在它的俯视图ABCD中，BCCD， 1AD ，60BCDBAD 求证：PBC是直角三角形； 求四棱锥PABC的体积 【学而思高中数学讲义】 ? 俯视图 ? 直观图 ? A ? ( ? P ? ) ? B ? C ? D ? P ? D ? C ? B ? A 【例 15】（2009 安徽文 20） 如图，ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两 个不同点， 且EAED，FBFC E 和 F 是平面ABCD内的两点， EE 和 FF 都 与平面ABC
9、D垂直 证明：直线 E F 垂直且平分线段AD； 若60EADEAB ，2EF ，求多面体ABCDEF的体积 ? l ? F ? E ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 16】如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，3 3AB ，3BC ，沿对角线沿对角线BD将将BCD折起折起， 使点使点C移到移到 C 点，点，C O面面ABD，且，且O在在AB上上 求证：求证： BC 平面平面AC D； 求点求点A到平面到平面BC D的距离；的距离； 求直线求直线AB与平面与平面BC D所成角的正弦值所成角的正弦值 【学而思高中数学讲义】 【例 17】如图，如图，ACD和和ABC都是直角三角形
10、，都是直角三角形，ABBC，30CAD ，把三角 ，把三角 形形ABC沿沿AC边折起，使边折起，使ABC所在的平面与所在的平面与ACD所在的平面垂直，若所在的平面垂直，若 6AB 求证：求证：面面ABD面面BCD；求求C点到平面点到平面ABD的距离的距离 【例 18】（2006 江苏江苏-19）在正在正ABC中中，EFP、 、分别是分别是ABACBC、边上的点边上的点， 满足满足:AE EB:CF FACP1:2PB ，将，将AEF沿沿EF折起到折起到 1 AEF的位置，使的位置，使 二面角二面角 1 AEFB成直二面角，连结成直二面角，连结 11 ABAP、 求证求证： 1 AE 平面平面B
11、EP 求直线求直线 1 AE与平面与平面 1 ABP所成角的大小所成角的大小 求二面角求二面角 1 BAPF的的余弦值余弦值大小大小 ? F ? E ? C ? P ? A ? 1 ? B ? P ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 19】（07 湖南理湖南理 18）如如图图 1，E，F分别是矩形分别是矩形ABCD的边的边ABCD，的中点的中点， G是是EF上的一点上的一点，将将GAB，GCD分别沿分别沿ABCD，翻折成翻折成 1 G AB， 2 G CD， 并连结并连结 12 GG，使得平面，使得平面 1 G AB平面平面ABCD， 12 GGAD，且，且 12 GGAD连
12、结连结 2 BG，如图，如图 2 2 【学而思高中数学讲义】 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? 图1 ? A ? E ? B ? C ? F ? D ? G ? 1 ? G ? 2 ? 图2 证明：平面证明：平面 1 G AB平面平面 12 G ADG； 当当12AB ，25BC ，8EG 时，求直线时，求直线 2 BG和平面和平面 12 G ADG所成的角；所成的角； 【例 20】（2009 江西江西） 在四棱锥在四棱锥PABCD中中， 底面底面ABCD是矩形是矩形，PA 平面平面ABCD， 4PAAD，2AB 以以AC的中点的中点O为球心为球心、AC为直径的球面交
13、为直径的球面交PD于点于点 M，交，交PC于点于点N 求证：平面求证：平面ABM 平面平面PCD； ? O ? P ? N ? M ? D ? C ? B ? A 求直线求直线CD与平面与平面ACM所成的角的大小；所成的角的大小； 求点求点N到平面到平面ACM的距离的距离 【例 21】（2003 京皖春） 如图所示，正四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面边长为2 2，侧棱长为4EF，分 别为棱ABBC，的中点，EFBDG 求证：平面 1 B EF 平面 11 BDD B； 求点 1 D到平面 1 B EF的距离d； 求三棱锥 11 BEFD的体积V ? D ? 1 ? C ? 1 ?
14、B ? 1 ? A ? 1 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 22】（2009 扬州中学高三期末） 在四棱锥PABCD中，90ABCACD ，60BACCAD ，PA 平面 【学而思高中数学讲义】 ABCD，E为PD的中点，22PAAB 求四棱锥PABCD的体积V； 若F为PC的中点，求证PC 平面AEF ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? P 【例 23】如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直径，2AB ，C是O上 一点，且ACBC，PC与O所在的平面成45角，E是PC中点F为PB中 点 求证：EFABC面；求证：EFPAC 面；求三棱锥BPAC
15、的体积 ? O ? F ? E ? C ? B ? A ? P 【例 24】（05-天津天津-19）如图，在斜三棱柱如图，在斜三棱柱 111 ABCABC中，中， 11 A ABA AC ， ABAC， 11 A AABa，侧面，侧面 11 B BCC与底面与底面ABC所成的二面角为所成的二面角为120，E、 F分别是棱分别是棱 1 CB、 1 AA的中点的中点 求求 1 AA与底面与底面ABC所成的角；所成的角； 证明证明： 1 EA平面平面 1 B FC； 求经过求经过 1 A、A、B、C四点的球的体积四点的球的体积 【学而思高中数学讲义】 ? E ? F ? C ? 1 ? B ? 1
16、? C ? B ? A ? A ? 1 【例 25】（07 福建理福建理 18） 如图，正三棱柱如图，正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为的所有棱长都为2，D为为 1 CC中点中点 求证：求证： 1 AB 面面 1 ABD； 求二面角求二面角 1 AADB的大小；的大小； 求点求点C到平面到平面 1 ABD的距离；的距离； ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 26】如图所示，正三棱柱如图所示，正三棱柱 111 ABCABC的底边长为的底边长为2，高为，高为4，过，过AB作一截面作一截面 交侧棱交侧棱 1 CC于于P，截面与底面成，截面与
17、底面成60角，角， 求截面求截面PAB的面积；的面积； 求点求点C到平面到平面ABP的距离；的距离； 求求PB与平面与平面 11 AB BA所成的角的正弦值所成的角的正弦值 ? P ? B ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? A 【例 27】（05-江西江西-20）如图如图， 在长方体在长方体 1111 ABCDABC D中中， 1 1ADAA，2AB ， 点点E在棱在棱AD上移动上移动 证明：证明： 1 D E 1 AD； 当当E为为AB的中点时，求点的中点时，求点E到面到面 1 ACD的距离；的距离； 【学而思高中数学讲义】 AE等于何值时，二面角等于何值时，二面角
18、 1 DECD的大小为的大小为 4 ? E ? A ? B ? C ? D ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 【例 28】（2009 江西）江西） 在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA 平面平面ABCD，4PAAD， 2AB 以以AC的中点的中点O为球心为球心、AC为直径的球面交为直径的球面交PD于点于点M， 交交PC于点于点N 求证：平面求证：平面ABM 平面平面PCD； 求直线求直线CD与平面与平面ACM所成的角的大小；所成的角的大小； 求点求点N到平面到平面ACM的距离的距离 ? O ? P ? N ? M ? D ? C
19、? B ? A 【例 29】（08 北京卷 16）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB， APBPAB，PCAC 求证：PCAB； 求二面角BAPC的大小； 求点C到平面APB的距离 ? P ? C ? A ? B ? D 【例 30】如图，四棱锥PABCD的底面是2AB ，2BC 的矩形，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB 底面ABCD 证明：BC 侧面PAB； 【学而思高中数学讲义】 证明：侧面PAD侧面PAB； 求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小 ? D ? C ? B ? A ? P 【例 31】如图，PABCD是正四棱锥， 1111 ABCDABC D是正方体，其中
20、2AB ， 6PA 求证： 11 PAB D； 求平面PAD与平面 11 BDD B所成的锐二面角的大小； 求 1 B到平面PAD的距离 ? P ? B ? 1 ? D ? 1 ? C ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 32】如图所示，正四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面边长为2 2，侧棱长为 4EF，分别为棱ABBC，的中点，EFBDG 求证：平面 1 B EF 平面 11 BDD B； 求点 1 D到平面 1 B EF的距离d； 求三棱锥 11 BEFD的体积V ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? G ? F ? E ?
21、 D ? C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 【例 33】（07 福建理 18） 如图，正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为2，D为 1 CC中点 求证： 1 AB 面 1 ABD； 求二面角 1 AADB的大小； 求点C到平面 1 ABD的距离； ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 34】（05-江西-20）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1ADAA，2AB ， 点E在棱AD上移动 证明： 1 D E 1 AD； 当E为AB的中点时，求点E到面 1 ACD的距离； AE等于何值时，二面角 1 DECD的大
22、小为 4 ? E ? A ? B ? C ? D ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 【例 35】已知 111 ABCABC为正三棱柱，D是AC的中点 证明： 1 AB 平面 1 DBC； 若 11 ABBC，2BC 求二面角 1 DBCC的大小； 若E为 1 AB的中点，求三棱锥 1 EBDC的体积 【学而思高中数学讲义】 H O E C B A C 1 B 1 A 1 【例 36】四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB 平面ABCD 若面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积； 证明无论四棱锥的高怎样变化，二面角CPDA恒大于90 ?
23、A ? C ? B ? D ? P 【例 37】（1999 全国-文 22） 如图， 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D， 点E在棱 1 DD上， 截面EAC 1 D B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45，ABa 求截面EAC的面积； 求三棱锥 1 BEAC的体积 ? O ? A ? B ? C ? D ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 ? E 【学而思高中数学讲义】 【例 38】（08 辽宁卷 19）如图 1，在棱长为1的正方体ABCDA B C D 中， 01APBQbb，截面PQEFA D ，截面PQGH AD 证明：平面PQEF和平面PQGH
24、互相垂直； 证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值； 若D E与平面PQEF所成的角为45，求D E与平面PQGH所成角的正弦值 ? D ? B ? P ? F ? D ? H ? G ? C ? Q ? C ? E ? B ? A ? A ? 图1 【例 39】（2009 西城区一模） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，90BCD，ABCD， 又1ABBCPC，2PB ，2CD ，ABPC 求证：PC 平面ABCD； 求二面角BPDC的大小； 求点B到平面PAD的距离 ? D ? C ? B ? A ? P 【例 40】（2009 石景山区一模） 如图
25、， 已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长是2，D是侧棱 1 CC的中点， 直线AD 与侧面 11 BBC C所成的角为45 求此正三棱柱的侧棱长； 求二面角ABDC的大小； 求点C到平面ABD的距离 【学而思高中数学讲义】 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 41】（海淀二模） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2C CCBCA，ACCBD、E分别为 棱 1 C C、 11 BC的中点 求点B到平面 11 AC CA的距离； 求二面角 1 BADA的大小； 在线段AC上是否存在一点F，使得EF 平面 1 ABD？若存在，确定其位置并 证明结论；若不存在，说明理由 ? F ? A ? B ? C ? D ? E ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1
