1、第第五五章章 函数的应用（二）函数的应用（二） 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系. 2. 会求简单函数的零点、零点个数及零点所在的大致区间会求简单函数的零点、零点个数及零点所在的大致区间. 学习目标学习目标 怎么解呢？怎么解呢？ 提出问题提出问题 方程解法时间图 中国 公元公元5050年年100100 年年 一次方程、二次方程一次方程、二次方程 和三次方程根和三次方程根 1111世纪世纪北宋北宋贾贾 宪宪 三次方程正根三次方程正根 数值解法数值解法 1313世纪世纪南宋秦九南宋秦九 韶韶任意次代数方程正任意次代数方程正 根解法
2、根解法 7 7世纪世纪隋唐隋唐王孝王孝 通通 三次或三次三次或三次 以上方程以上方程 方程解法时间图 西方 一次方程、二次方程一次方程、二次方程 的一般解法的一般解法 15411541年年意大意大 利利 塔尔塔利亚塔尔塔利亚 三次方程三次方程 一般解法一般解法 1802180218291829 挪威挪威阿贝尔阿贝尔 证明了五次以上一般证明了五次以上一般 方程没有求根公式方程没有求根公式 记载了费拉记载了费拉 里的四次方里的四次方 程一般解法程一般解法 9 9世纪世纪阿拉阿拉 伯伯 花拉子米花拉子米 15451545年年意大意大 利利 卡尔达诺卡尔达诺 解方程的历史解方程的历史 方程方程x22x
3、+1=0 x22x+3=0 y= x22x3 y= x22x+1函数函数 函函 数数 的的 图图 象象 方程的实数根方程的实数根 x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根 函数的图象函数的图象 与与x轴的交点轴的交点 (1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点 x22x3=0 x y 01 321 1 2 1 2 3 4 . . . . . . . . . x y 01 321 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 1 21 1 2 y= x22x+3 思考:方程的根与函数的图象和方程的根与函数的图象和x轴交点的轴交点的 横坐标有什么关系横坐标有什么关系? ? 问题探究
4、问题探究 观察函数的图象思考：观察函数的图象思考： 1.1.方程的根与函数的图象和方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系轴交点的横坐标有什么关系? ? 1.方程根的个数和对应函数与方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同轴交点个数相同. 2.方程的根是函数与方程的根是函数与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. 3.若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点轴无交点. 问题探究问题探究 思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应 的二次函数的图象与的
5、二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？ 判别式判别式 0 0 0）的图象的图象 ax2+bx+c=0 （a0）的根的根 x y x1 x20 x y 0 x1 x y 0 函数的图象与函数的图象与 x 轴的交点轴的交点 两个交点两个交点(x1,0), (x2,0) 无交点无交点 有两个相等的有两个相等的 实数根实数根x1 = x2 无实数根无实数根 两个不相等的两个不相等的 实数根实数根x1 、x2 0 , 2a b 一个交点 问题探究问题探究 思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的思考：若将上面特殊的一元二次方程推
6、广到一般的一元二次方程及相应的 二次函数的图象与二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？ 一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。 若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x x轴无交点。轴无交点。 问题探究问题探究 推广到更一般的情况，得：推广到更一般的情况，得： 轴交点的横坐标的图象与函数 的实数根方程 xxfy xf )( 0)( 零点零点：对于函数对于函数y=f(x), ,我们把使我们把使f f( (x x)
7、=0)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点. . 函数的零点是一个点吗？函数的零点是一个点吗？问题问题1: 1: 零点不是一个点，零点指的是一个实数零点不是一个点，零点指的是一个实数. . 问题问题2: 2: 试归纳函数零点的等价说法？试归纳函数零点的等价说法？ 方程f (x)=0 有实数根 函数y=f (x) 有零点 函数y=f (x)的图 象与x轴有交点 概念解析概念解析 答案 (1) (2) (3) 跟踪训练跟踪训练 跟踪训练跟踪训练 观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空: 1.在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”或或“”) 在区间在区间(a,b
8、)上上_(有有/无无)零点；零点； 2. 在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c) _ 0(“”或或“”) 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点； 3.在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d) _ 0(“”或或”) 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点； 4.在区间在区间(e,g)上上f(e)f(g) _ 0(“”或或”) 在区间在区间(e,g)上上_(有有/无无)零点；零点； 有 有 有 x y O a b c d 问题2:在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上存在零点？ O y x g e 无 问题探究问题探究 零点存在性定理零点存在性定理: :
9、如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断的一条曲连续不断的一条曲 线线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零内有零 点点. 即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c就是方程就是方程f(x)=0的根的根. 定理解读定理解读 思考思考1:1:为什么强调为什么强调“函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象一条上的图象一条不间断不间断的曲线的曲线”？如果？如果 函数图象函数图象不连续不连续，或者，或者y=f(x)不满足不满足f(a)f(b) 0，那么零点存在性定理还成立吗？，那么零点存在性定理还成立吗？ x y O a a b b O y xb b a a O y x b b a a O y x b b a a 定理解读定理解读 典例解析典例解析 C 由 f(x)0 得 2x23x10，x1 2或 x1，所以函数 f(x)有 2 个零点 【答案】【答案】C 当堂达标当堂达标 课堂小结课堂小结
