1、第第二二章章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 知识导图 性质4可乘性： _， _. 性质5同向可加性： _. 性质6同向同正可乘性： _. 性质7可乘方性：ab0_ (nN，n1). 性质8可开方性：ab0 (nN，n2). 1.不等式的性质 性质1对称性：ab_. 性质2传递性：ab，bc_. 性质3可加性：ab_. bc a+cb+c ab c0 acbc ab c0 acb+d ab0 cd0 acbd anbn nn ab 知识梳理 无实根 0 2 2 = = b b - -4 4a ac c 0 0 2 2 y = ax +bx+cy = ax +bx+c (a
2、 0)(a 0)的图象 2 2 方方程程ax +bx+c = 0ax +bx+c = 0 (a 0)(a 0)的的根根 有两个不等 实根 1212 x xx x 有两个相等实根 1212 x = xx = x 1 x 2 x12 =xx 1212 x x xx x xx x 2 2 ax +bx+c0ax +bx+c0 (a 0)(a 0)的的解解集集 2 2 ax +bx+c0ax +bx+c0)(a 0)的的解解集集 1212 x x x xx x x 0k0时，时，f(1)0,f(1)0, 即即2k-2-3k-20,2k-2-3k-2-4,k0;k-4,k0; 当当k0k0,f(1)0,
3、即即2k-2-3k-20,2k-2-3k-20, 整理得整理得k-4,k-4.k-4,k-4. 综上所述，当综上所述，当k(-,-4)(0,+)k(-,-4)(0,+)时，方程时，方程2kx2kx2 2-2x-3k-2 -2x-3k-2 =0=0的两根，一个小于的两根，一个小于1 1，一个大于，一个大于1.1. 不等式中恒成立问题不等式中恒成立问题 解有关不等式恒成立问题常用方法：解有关不等式恒成立问题常用方法： （1 1）直接将参数从不等式中分离出来变成）直接将参数从不等式中分离出来变成kf(x)kf(x)（或（或 kf(x)kf(x)），从而转化成），从而转化成f(xf(x）求最值）求最值
4、. . （2 2）如果参数不能分离，而）如果参数不能分离，而x x可以分离，如可以分离，如g(x)f(k)g(x)f(k)（或（或 g(x)f(k)g(x)f(k)），则），则f(k)f(k)恒大于恒大于g(x)g(x)的最大值或恒小于的最大值或恒小于g(x)g(x)的最的最 小值，然后解关于参数小值，然后解关于参数k k的不等式的不等式. . （3 3）若不等式对于）若不等式对于x x，参数都是二次的，则借助二次函数在某，参数都是二次的，则借助二次函数在某 区间上恒大于区间上恒大于0 0或恒小于或恒小于0 0求解求解. . 【名师指津】【名师指津】 【例【例3 3】 已知已知f(x)=xf(
5、x)=x2 2-2ax+2(aR)-2ax+2(aR)，当，当xx-1,+)-1,+)时，时， f(x)af(x)a恒成立，求恒成立，求a a的取值范围的取值范围. . 【审题指导】【审题指导】解答此类题要正确理解好解答此类题要正确理解好f(x)af(x)a恒成立的意义，恒成立的意义， 一是可转化为一是可转化为f(x)f(x)min mina a，二是重新构造新函数，二是重新构造新函数F(x)=f(x)-F(x)=f(x)- a0a0恒成立恒成立. . 【规范解答】【规范解答】方法一：方法一：f(x)=(x-a)f(x)=(x-a)2 2+2-a+2-a2 2, ,此二次函数图象的此二次函数图
6、象的 对称轴为对称轴为x=a.x=a. 当当a(-,-1)a(-,-1)时，时，f(x)f(x)在在-1-1，+)+)上单调递增，上单调递增， f(x)f(x)min min=f(-1)=2a+3. =f(-1)=2a+3. 要使要使f(x)af(x)a恒成立，只需恒成立，只需f(x)f(x)min mina, a, 即即2a+3a,2a+3a,解得解得-3a-1;-3a0, (a0, b0)b0)解解“定积求和，和最小定积求和，和最小”问题，用问题，用ab ab 解解 “定和求积，积最大定和求积，积最大”问题问题. .一定要注意适用的范围和条件：一定要注意适用的范围和条件： “一正、二定、三
7、相等一正、二定、三相等”. .特别是利用拆项、添项、配凑、分特别是利用拆项、添项、配凑、分 离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的 验证验证. . 2 ab 2 ab () 2 【名师指津】【名师指津】 若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注 意运用基本不等式解决实际问题意运用基本不等式解决实际问题. . 【特别提醒】【特别提醒】在解题过程中，一定要注意等号成立的条件在解题过程中，一定要注意等号成立的条件. . 【例【例4 4】设函数】设函数f(x)= xf(x)
8、= x0,+).0,+). （1 1）当）当a=2a=2时，求函数时，求函数f(x)f(x)的最小值；的最小值； （2 2）当）当0a10a1时，求函数时，求函数f(x)f(x)的最小值的最小值. . 【审题指导】【审题指导】解答此题要明确解答此题要明确a=2a=2与与0a10a0, 0,x+1+ 0,+),x+10, 0,x+1+ 当且仅当当且仅当x+1= x+1= 即即x= -1x= -1时，时，f(x)f(x)取最小值取最小值. . 此时，此时，f(x)f(x)min min= -1. = -1. (2)(2)当当0a10a1时，时， f(x)=x+1+ -1f(x)=x+1+ -1若若
9、x+1+ x+1+ 则当且仅当则当且仅当x+1= x+1= 时取等号，时取等号， 此时此时x= -10 x= -1xx2 200，则，则 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=x)=x1 1+ + 1- 1- , , xx1 1xx2 20,x0,x1 1-x-x2 20,x0,x1 1+11,x+11,x2 2+11,+11, (x(x1 1+1)(x+1)(x2 2+1)1,+1)1,而而0a1,0a1, 1,f(x 0,)0, f(x)f(x)在在0 0，+)+)上单调递增，上单调递增，f(x)f(x)min min=f(0)=a. =f(0)=a. 212 12 aa x(x
10、x ) x1x1 12 a x1 (x 1) 12 a x1 (x1) 函数与方程思想函数与方程思想 【名师指津】【名师指津】函数与方程思想函数与方程思想 不等式与函数、方程三者密不可分，相互联系，相互转不等式与函数、方程三者密不可分，相互联系，相互转 化，有关求参数的取值范围问题，用函数化，有关求参数的取值范围问题，用函数f(x)=x+ f(x)=x+ 的单调的单调 性解决最值问题，实际应用问题等，都要首先考虑函数与方性解决最值问题，实际应用问题等，都要首先考虑函数与方 程思想程思想. . a x 【例【例6 6】 已知不等式已知不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为(
11、,)(,)，且，且 0,0,求不等式求不等式cxcx2 2+bx+a0+bx+a0的解集的解集. . 【审题指导】【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系， 以及根与系数的关系的应用以及根与系数的关系的应用. . 【规范解答】【规范解答】由已知不等式可得由已知不等式可得a0a0，且，且、为方程为方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根，的两根， 由根与系数的关系可得由根与系数的关系可得 b 0, a c 0. a 方法一：方法一：a0,a0, 由由得得c0c0，则，则cxcx2 2+bx+a0+bx+a0.+ x+ 0. ，得
12、，得 由由得得 为方程为方程 的两根的两根. . 又又0, 0, 不等式不等式 的解集为的解集为x|x x|x ,x , 即不等式即不等式cxcx2 2+bx+a0+bx+a0的解集为的解集为x|x x|x .x . b c a c b11 ()0. c a11 1 0. c 1 1 , 2 ba xx0 cc 11 0. 2 ba xx0 cc 1 1 1 1 方法二方法二：a0a0，由，由cxcx2 2+bx+a0,+bx+a0,-(+)x+10, 即（即（x-1)(x-1)0.x-1)(x-1)0. 0,0 0,0 所求不等式的解集为所求不等式的解集为x|x x|x .x . 2 cb
13、xx10. aa 11 , 1 1 1.1.已知已知a0,b0,a0,b0,则则 的最小值是的最小值是( )( ) (A)2 (B) (C)4 (D)5(A)2 (B) (C)4 (D)5 【解析】【解析】选选C.a0,b0, C.a0,b0, 当且当且 仅当仅当a=ba=b时取等号时取等号. . 的最小值为的最小值为4.4. 11 2 ab ab 2 2 111 2 ab22 ab4 abab ， 11 2 ab ab 跟踪训练 2.2.在在R R上定义运算上定义运算：ab=ab+2a+b,ab=ab+2a+b,则满足则满足x(x-2)0 x(x-2)0的实的实 数数x x的取值范围为（的取
14、值范围为（ ） (A)(0,2) (B)(-2,1)(A)(0,2) (B)(-2,1) (C)(-,-2)(1,+) (D)(-1,2)(C)(-,-2)(1,+) (D)(-1,2) 【解析】【解析】选选B.B.根据给出的定义得根据给出的定义得x(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) x(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) =x=x2 2+x-2=(x+2)(x-1),+x-2=(x+2)(x-1),又又x(x-2)0 x(x-2)0，则，则(x+2)(x-1)0(x+2)(x-1)0，故这，故这 个不等式的解集是（个不等式的解集是（-2-2，1 1）. .故选故选B.B. 3.
15、3.若不等式若不等式x x2 2+ax+10+ax+10对于一切对于一切x(0, x(0, 成立，则成立，则a a的最小的最小 值为（值为（ ） (A)0 (B)-2 (C)- (D)-3(A)0 (B)-2 (C)- (D)-3 【解析】【解析】选选C.C.由已知可得不等式由已知可得不等式a =-( +x)a =-( +x)对于一切对于一切 x(0, x(0, 成立，成立， 又由函数又由函数f(x)=-( +x)f(x)=-( +x)在在x(0, x(0, 上为增函数，可得上为增函数，可得f(x)f(x)的的 最大值为最大值为f( )= f( )= 从而得从而得a a的最小值为的最小值为 1
16、 2 5 2 2 x1 x 1 x 1 2 1 x 1 2 1 2 5 2 ， 5 . 2 4.4.若关于若关于x x的不等式的不等式axax2 2-6x+a-6x+a2 200的解集是（的解集是（1,m)1,m)，则，则m=_.m=_. 【解析】【解析】axax2 2-6x+a-6x+a2 201.m1. 解得解得 答案：答案：2 2 m1 6 1m a 1 ma ， m2 . a2 5.5.设不等式设不等式2x-1m(x2x-1m(x2 2-1)-1)对满足对满足-2m2-2m2的一切实数的一切实数m m都成立，都成立， 求求x x的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】把不等式把不等式2x-1m(x2x-1m(x2 2-1)-1)看作关于看作关于m m的一次不等式，则的一次不等式，则 (x(x2 2-1)m+(1-2x)0,-1)m+(1-2x)0, 记函数记函数f(m)=(xf(m)=(x2 2-1)m+(1-2x)-1)m+(1-2x)，它的图象为一条线段，结合图形，它的图象为一条线段，结合图形 易知需易知需 解得解得 即即x x的取值范围是（的取值范围是（ ）. . f20, f 20 1713 x. 22 17 13 , 22 课堂小结
