1、第第 6 讲讲正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2017哈尔滨模拟)在ABC 中，AB 3，AC1，B30，ABC 的面积 为 3 2 ，则 C() A.30B.45C.60D.75 解析法一SABC1 2ABACsin A 3 2 ， 即1 2 31sin A 3 2 ，sin A1， 由 A(0，180)，A90，C60.故选 C. 法二由正弦定理，得sin B AC sin C AB ，即1 2 sin C 3 ， sin C 3 2 ，又 C(0，180)，C60或 C120. 当 C120时，A30， SABC 3 4 3 2 (舍去).而当 C60时，A90，
2、 SABC 3 2 ，符合条件，故 C60.故选 C. 答案C 2.在ABC 中， 角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c， 若 A2 3 ， a2， b2 3 3 ， 则 B 等于() A. 3 B.5 6 C. 6 或5 6 D. 6 解析A2 3 ，a2，b2 3 3 ， 由正弦定理 a sin A b sin B可得， sin Bb asin A 2 3 3 2 3 2 1 2. A2 3 ，B 6 . 答案D 3.(2017成都诊断)在ABC 中，cos2B 2 ac 2c (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对 边)，则ABC 的形状为() A.等边三角形B.直角三角
3、形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解析因为 cos2B 2 ac 2c ， 所以 2cos2B 21 ac c 1，所以 cos Ba c， 所以a 2c2b2 2ac a c，所以 c 2a2b2. 所以ABC 为直角三角形. 答案B 4.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则“ab”是“cos 2Acos 2B”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析因为在ABC 中， absin Asin Bsin2Asin2B2sin2A2sin2B1 2sin2A12sin2Bcos 2Acos 2B.所以“ab”
4、是“cos 2Acos 2B”的充 分必要条件. 答案C 5.(2016山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc， a22b2(1sin A)，则 A() A.3 4 B. 3 C. 4 D. 6 解析在ABC 中，由 bc，得 cos Ab 2c2a2 2bc 2b 2a2 2b2 ，又 a22b2(1 sin A)，所以 cos Asin A， 即 tan A1，又知 A(0，)，所以 A 4 ，故选 C. 答案C 二、填空题 6.(2015重庆卷)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos C1 4，3sin A2sin B
5、，则 c_. 解析由 3sin A2sin B 及正弦定理，得 3a2b，又 a2，所以 b3，故 c2 a2b22abcos C49223 1 4 16，所以 c4. 答案4 7.(2017江西九校联考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 角 A，B，C 依次成等差数列，且 a1，b 3，则 SABC_. 解析因为角 A，B，C 依次成等差数列，所以 B60.由正弦定理，得 1 sin A 3 sin 60，解得 sin A 1 2，因为 0A180，所以 A30或 150(舍去)， 此时 C90，所以 SABC1 2ab 3 2 . 答案 3 2 8.(2016北
6、京卷)在ABC 中，A2 3 ，a 3c，则b c_. 解析在ABC 中，a2b2c22bccos A， 将 A2 3 ，a 3c 代入， 可得( 3c)2b2c22bc 1 2 ， 整理得 2c2b2bc. c0，等式两边同时除以 c2， 得 2 b c 2 b c， 可解得b c1. 答案1 三、解答题 9.(2015天津卷)在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A1 4. (1)求 a 和 sin C 的值； (2)求 cos 2A 6 的值. 解(1)在ABC 中，由 cos A1 4，可得 sin A 1
7、5 4 . 由 SABC1 2bcsin A3 15， 得 bc24，又由 bc2，解得 b6，c4. 由 a2b2c22bccos A，可得 a8. 由 a sin A c sin C，得 sin C 15 8 . (2)cos 2A 6 cos 2Acos 6 sin 2Asin 6 3 2 (2cos2A1)1 22sin Acos A 157 3 16 . 10.(2015全国卷)在ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC. (1)求sin B sin C； (2)若BAC60，求B. 解(1)由正弦定理得 AD sin B BD sinBAD， AD sin C
8、 DC sinCAD. 因为 AD 平分BAC，BD2DC，所以sin B sin C DC BD 1 2. (2)因为C180(BACB)，BAC60，所以 sin Csin(BACB) 3 2 cos B1 2sin B. 由(1)知 2sin Bsin C，所以 tan B 3 3 ， 即B30. 11.(2017郑州调研)在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则 A 的取值 范围是() A. 0， 6B. 6 ， C. 0， 3D. 3 ， 解析由已知及正弦定理有 a2b2c2bc， 由余弦定理可知 a2b2c22bccos A， 于是 b2c22bccos
9、 Ab2c2bc，cos A1 2， 在ABC 中，A(0，). 由余弦函数的性质，得 0A 3 . 答案C 12.在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 SABC2 3， ab6，acos Bbcos A c 2cos C，则 c() A.2 7B.4C.2 3D.3 3 解析acos Bbcos A c 2cos C， 由正弦定理， 得 sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C， sin(AB)sin C2sin Ccos C， 由于 0C，sin C0，cos C1 2，C 3 ， SABC2 31 2absin C 3 4 ab，ab8
10、， 又 ab6，解得 a2， b4 或 a4， b2，c 2a2b22abcos C416812， c2 3，故选 C. 答案C 13.(2015全国卷)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2， 则 AB 的取值范围是_. 解析如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F，则 BFABBE. 在等腰三角形 CBF 中，FCB30，CFBC2， BF 2222222cos 30 6 2. 在等腰三角形 ECB 中，CEB30，ECB75， BECE，BC2， BE sin 75 2 sin 30， BE 2 1 2 6 2 4 6 2. 6 2
11、AB 6 2. 答案( 6 2， 6 2) 14.设 f(x)sin xcos xcos2 x 4 . (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f A 2 0，a1，求 ABC 面积的最大值. 解(1)由题意知 f(x)sin 2x 2 1cos 2x 2 2 sin 2x 2 1sin 2x 2 sin 2x1 2. 由 2 2k2x 2 2k，kZ, 可得 4 kx 4 k，kZ； 由 2 2k2x3 2 2k，kZ, 可得 4 kx3 4 k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间是 4 k， 4 k (kZ)； 单调递减区间是 4 k，3 4 k (kZ). (2)由 f A 2 sin A1 20，得 sin A 1 2， 由题意知 A 为锐角，所以 cos A 3 2 . 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 可得 1 3bcb2c22bc， 即 bc2 3，且当 bc 时等号成立. 因此 1 2bcsin A 2 3 4 .所以ABC 面积的最大值为2 3 4 .
