1、第第 9 讲讲离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1.已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X135 P0.5m0.2 则其方差 D(X)() A.1B.0.6C.2.44D.2.4 解析由 0.5m0.21 得 m0.3，E(X)10.530.350.22.4， D(X)(12.4)20.5(32.4)20.3(52.4)20.22.44. 答案C 2.(2017西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于 没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期 望为() A.100B.200C.300D.
2、400 解析设没有发芽的种子有粒，则B(1 000，0.1)，且 X2，E(X)E(2) 2E()21 0000.1200. 答案B 3.已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)2.4，D(X)1.44，则二项分布的参 数 n，p 的值为() A.n4，p0.6B.n6，p0.4 C.n8，p0.3D.n24，p0.1 解析由二项分布 XB(n，p)及 E(X)np，D(X)np(1p)得 2.4np，且 1.44np(1p)，解得 n6，p0.4.故选 B. 答案B 4.已知随机变量 X8，若 XB(10，0.6)，则 E()，D()分别是() A.6，2.4B.2，2.4 C.2，5.
3、6D.6，5.6 解析由已知随机变量 X8，所以有8X.因此，求得 E()8E(X) 8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4. 答案B 5.口袋中有 5 只球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中任取 3 只球，以 X 表示 取出的球的最大号码，则 X 的数学期望 E(X)的值是() A.4B.4.5C.4.75D.5 解析由题意知，X 可以取 3，4，5，P(X3) 1 C35 1 10， P(X4)C 2 3 C35 3 10，P(X5) C24 C35 6 10 3 5， 所以 E(X)3 1 104 3 105 3 54.5. 答案B 二、填空题 6.设 X 为随
4、机变量，XB n，1 3 ，若随机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 P(X 2)等于_. 解析由 XB n，1 3 ，E(X)2，得 np1 3n2，n6， 则 P(X2)C26 1 3 2 11 3 4 80 243. 答案 80 243 7.随机变量的取值为 0，1，2.若 P(0)1 5，E()1，则 D()_. 解析设 P(1)a，P(2)b， 则 1 5ab1， a2b1， 解得 a3 5， b1 5， 所以 D()(01)21 5(11) 23 5(21) 21 5 2 5. 答案 2 5 8.(2017合肥模拟)某科技创新大赛设有一、 二、 三等奖(参与活动的都有奖)且相 应
5、奖项获奖的概率是以 a 为首项，2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是 7 000 元、5 600 元、4 200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_元. 解析由题意知 a2a4a1，a1 7，获得一、二、三等奖的概率分别为 1 7， 2 7， 4 7，所获奖金的期望是 E(X) 1 77 000 2 75 600 4 74 2005 000 元. 答案5 000 三、解答题 9.(2017成都诊断)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一 时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家 长在内的社会人士对高考英语改革的看法， 某媒体在该地区选择了 3 60
6、0 人进 行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 态度 调查人群 应该取消应该保留无所谓 在校学生2 100 人120 人y 人 社会人士600 人x 人z 人 已知在全体样本中随机抽取 1 人， 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行访谈， 问应在持 “无所谓”态度的人中抽取多少人？ (2)在持“应该保留”态度的人中， 用分层抽样的方法抽取 6 人， 再平均分成两 组进行深入交流.求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望. 解(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05，所以120
7、 x 3 600 0.05， 解得 x60. 所以持“无所谓”态度的人数为 3 6002 10012060060720，所以应 在持“无所谓”态度的人中抽取 720 360 3 60072 人. (2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人， 所以在所抽取的 6 人中，在校学生为120 18064 人，社会人士为 60 18062 人， 于是第一组在校学生人数1，2，3， P(1)C 1 4C22 C36 1 5，P(2) C24C12 C36 3 5， P(3)C 3 4C02 C36 1 5， 所以的分布列为 123 P 1 5 3 5 1 5 所以 E()11 52 3 53
8、1 52. 10.(2017郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有 6 位歌手(16)登台演 出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在 投票器上选出 3 位出彩候选人，其中媒体甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号， 另在 2 号至 6 号中随机的选 2 名；媒体乙不欣赏 2 号歌手，他必不选 2 号； 媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名. (1)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率； (2)X 表示 3 号歌手得到媒体甲、 乙、 丙的票数之和， 求 X 的分布列及数学期望. 解(1)设 A 表示事件
9、：“媒体甲选中 3 号歌手”，B 表示事件：“媒体乙选中 3 号歌手”，C 表示事件：“媒体丙选中 3 号歌手”，则 P(A)C 1 4 C25 2 5，P(B) C24 C35 3 5， 媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率为 P(AB)2 5 13 5 4 25. (2)P(C)C 2 5 C36 1 2， 由已知得 X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X0)P(A B C) 12 5 13 5 11 2 3 25. P(X1)P(AB C)P(ABC)P(A BC) 2 5 13 5 11 2 12 5 3 5 11 2 12 5 13 5 1 2 19 50， P(X
10、2)P(ABC)P(ABC)P(ABC) 2 5 3 5 11 2 2 5 13 5 1 2 12 5 3 5 1 2 19 50， P(X3)P(ABC)2 5 3 5 1 2 3 25， X 的分布列为 X0123 P 3 25 19 50 19 50 3 25 E(X)0 3 251 19 502 19 503 3 25 3 2. 11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球， 有 放回地摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)3，则 D(X)() A.8 5 B.6 5 C.4 5 D.2 5 解析由题意，XB 5， 3 m3 ， 又 E(X)5
11、3 m33，m2， 则 XB 5，3 5 ，故 D(X)53 5 13 5 6 5. 答案B 12.袋中装有大小完全相同，标号分别为 1，2，3，9 的九个球.现从袋中随 机取出 3 个球.设为这 3 个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3， 4，5，则有两组相邻的标号 3，4 和 4，5，此时的值是 2)，则随机变量的均 值 E()为() A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析依题意得，的所有可能取值是 0，1，2. 且 P(0)C 3 7 C39 5 12，P(1) C27A22 C39 1 2， P(2)C 1 7 C39 1 12，因此 E()0 5 121 1
12、 22 1 12 2 3. 答案D 13.马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表： x123 p(x)？！？ 请小牛同学计算的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模 糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案 E() _. 解析设“？”处的数值为 x，则“！”处的数值为 12x，则 E()1x 2(12x)3xx24x3x2. 答案2 14.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.过去 50 年的水文资料显 示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿 立方米)都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不
13、低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年， 超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相 应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行， 但每年发电机最多可运行台数受年入 流量 X 限制，并有如下关系： 年入流量 X40X120 发电机最多可运行台数123 若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该 台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少 台？ 解(1)依题意，p1P(40X120) 5
14、500.1. 由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 pC04(1p3)4C14(1p3)3p3 9 10 4 4 9 10 3 1 10 0.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元). 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1， 对应的年利润 Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安装 2 台发电机的情形. 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0008004 200，因此 P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y 5 0
15、00210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得 Y 的 分布列如下： Y4 20010 000 P0.20.8 所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840. 安装 3 台发电机的情形. 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0001 6003 400，因 此 P(Y3 400)P(40X120 时，三台发电机运行，此时 Y5 000315 000，因此 P(Y15 000) P(X120)p30.1.因此得 Y 的分布列如下： Y3 4009 20015 000 P0.20.70.1 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.
