1、4.5简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 最新考纲考情考向分析 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切 公式 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切 公式，了解它们的内在联系 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积 化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不 要求记忆). 三角恒等变换是三角变换的工具， 主要 考查利用两角和与差的三角函数公式、 二倍角公式进行三角函数的化简与求 值， 重在考查化简、 求值， 公式的正用、 逆用以及变式运用， 可单独考查， 也可 与三角函数
2、的图象和性质、 向量等知识 综合考查， 加强转化与化归思想的应用 意识选择、填空、解答题均有可能出 现，中低档难度. 1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos()cos cos sin sin (C() cos()cos cos sin sin (C() sin()sin cos cos sin (S() sin()sin cos cos sin (S() tan() tan tan 1tan tan (T () tan() tan tan 1tan tan (T () 2二倍角公式 sin 22sin cos ； cos 2cos2sin22cos2112sin2； tan 2 2tan
3、1tan2. 知识拓展 1降幂公式：cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2. 3辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 sin b a2b2，cos a a2b2 . 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立() (2)对任意角都有 1sin sin 2cos 2 2.( ) (3)y3sin x4cos x 的最大值是 7.() (4)公式 tan() tan tan 1tan tan 可以变形为 tan ta
4、n tan()(1tan tan )，且对任意 角，都成立() 题组二教材改编 2P127T2若 cos 4 5，是第三象限的角，则 sin 4 等于() A 2 10 B. 2 10 C7 2 10 D.7 2 10 答案C 解析是第三象限角， sin 1cos23 5， sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 3P131T5sin 347cos 148sin 77cos 58. 答案 2 2 解析sin 347cos 148sin 77cos 58 sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58 (cos 77)(sin 58)sin 77cos 58
5、 sin 58cos 77cos 58sin 77 sin(5877)sin 135 2 2 . 4P146T4tan 20tan 40 3tan 20tan 40. 答案3 解析tan 60tan(2040) tan 20tan 40 1tan 20tan 40， tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40) 3 3tan 20tan 40， 原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3. 题组三易错自纠 5化简： cos 40 cos 25 1sin 40 . 答案2 解析原式 cos 40 cos 25 1cos 50 cos 40 cos
6、25 2sin 25 cos 40 2 2 sin 50 2. 6(2018昆明模拟)若 tan 1 3，tan() 1 2，则 tan . 答案 1 7 解析tan tan() tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7. 7(2018烟台模拟)已知 0， 2 ，且 sin 4 2 10，则 tan 2 . 答案24 7 解析方法一sin 4 2 10，得 sin cos 1 5， 0， 2 ，平方得 2sin cos 24 25， 可求得 sin cos 7 5，sin 4 5，cos 3 5， tan 4 3，tan 2 2tan 1tan2 24 7 . 方
7、法二 0， 2 且 sin 4 2 10， cos 4 7 2 10 ， tan 4 1 7 tan 1 1tan ，tan 4 3. 故 tan 2 2tan 1tan2 24 7 . 第第 1 课时课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一题型一和差公式的直接应用和差公式的直接应用 1(2018青岛调研)已知 sin 3 5， 2，tan()1 2，则 tan()的值为( ) A 2 11 B. 2 11 C.11 2 D11 2 答案A 解析 2，tan 3 4，又 tan 1 2， tan() tan tan 1tan tan 3 4 1 2 1 1
8、2 3 4 2 11. 2(2017山西太原五中模拟)已知角为锐角，若 sin 6 1 3，则 cos 3 等于() A.2 61 6 B.3 2 8 C.3 2 8 D.2 31 6 答案A 解析由于角为锐角，且 sin 6 1 3， 则 cos 6 2 2 3 ， 则 cos 3 cos 6 6cos 6 cos 6sin 6 sin 6 2 2 3 3 2 1 3 1 2 2 61 6 ， 故选 A. 3计算 sin 110sin 20 cos2155sin2155的值为 答案 1 2 解析 sin 110sin 20 cos2155sin2155 sin 70sin 20 cos 31
9、0 cos 20sin 20 cos 50 1 2sin 40 sin 40 1 2. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 题型二题型二和差公式的灵活应用和差公式的灵活应用 命题点 1角的变换 典例 (1)设，都是锐角，且 cos 5 5 ，sin()3 5，则 cos . 答案 2 5 25 解析依题意得 sin 1cos22 5 5 ， 因为 sin()3 5， 所以 2，所以 cos()4 5. 于是 cos cos() cos()cos sin()sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5
10、2 5 25 . (2)(2017泰安模拟)已知 cos(75)1 3，则 cos(302)的值为 答案 7 9 解析cos(75)sin(15)1 3， cos(302)12sin2(15)12 9 7 9. 命题点 2三角函数式的变换 典例 (1)化简：1sin cos sin 2cos 2 22cos (0)； (2)求值：1cos 20 2sin 20 sin 10 1 tan 5tan 5. 解(1)由(0，)，得 0 20， 22cos 4cos2 22cos 2. 又(1sin cos ) sin 2cos 2 2sin 2cos 22cos 2 2 sin 2cos 2 2co
11、s 2 sin2 2cos 2 2 2cos 2cos ， 故原式 2cos 2cos 2cos 2 cos . (2)原式 2cos210 22sin 10cos 10sin 10 cos 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos 10 2sin 10sin 10 cos25sin25 sin 5cos 5 cos 10 2sin 10sin 10 cos 10 1 2sin 10 cos 10 2sin 102cos 10 cos 102sin 20 2sin 10 cos 102sin3010 2sin 10 cos 102 1 2cos 10 3 2 sin 10 2sin 10
12、 3sin 10 2sin 10 3 2 . 引申探究 化简：1sin cos sin 2cos 2 22cos (0) 解0 20， 6 6， 2 ，sin 6 3 5. sin 2 12 sin 2 6 4 sin 2 6 cos 4cos 2 6 sin 4 2sin 6 cos 6 2 2 2cos2 6 1 23 5 4 5 2 2 2 4 5 21 12 2 25 7 2 50 17 2 50 . (2)原式1tan 17tan 28tan 17tan 28 1tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28 112. (3) cos 2 2sin 4 cos2s
13、in2 2 2 2 sin 2 2 cos cos sin ， sin 3 5， 2， cos 4 5，原式 7 5. 1(2017山西五校联考)若 cos 2 3，为第四象限角，则 cos 4 的值为() A. 2 10 6 B.2 2 10 6 C. 2 10 6 D.2 2 10 6 答案B 解析由 cos 2 3，为第四象限角， 得 sin 5 3 ， 故 cos 4 2 2 (cos sin ) 2 2 2 3 5 3 2 2 10 6 .故选 B. 2(2018成都模拟)若 sin 4 5，则 sin 4 2 2 cos 等于() A.2 2 5 B2 2 5 C.4 2 5 D4
14、 2 5 答案A 解析sin 4 2 2 cos sin cos 4cos sin 4 2 2 cos 4 5 2 2 2 2 5 . 3(2017西安二检)已知是第二象限角，且 tan 1 3，则 sin 2等于( ) A3 10 10 B.3 10 10 C3 5 D.3 5 答案C 解析因为是第二象限角，且 tan 1 3， 所以 sin 10 10 ，cos 3 10 10 ， 所以 sin 22sin cos 2 10 10 3 10 103 5， 故选 C. 4(2017河南洛阳一模)设 acos 50cos 127cos 40sin 127，b 2 2 (sin 56cos 56
15、)，c 1tan 239 1tan239，则 a，b，c 的大小关系是( ) AabcBbac CcabDacb 答案D 解析asin 40cos 127cos 40sin 127 sin(40127)sin 167sin 13， b 2 2 (sin 56cos 56) 2 2 sin 56 2 2 cos 56 sin(5645)sin 11， c cos239sin239 cos239 sin239cos239 cos239 cos239sin239cos 78sin 12， sin 13sin 12sin 11，acb. 5已知 sin 3 5且为第二象限角，则 tan 2 4 等于(
16、) A19 5 B 5 19 C31 17 D17 31 答案D 解析由题意得 cos 4 5，则 sin 2 24 25， cos 22cos21 7 25. tan 224 7 ， tan 2 4 tan 2tan 4 1tan 2tan 4 24 7 1 1 24 7 1 17 31. 6已知 sin 22 3，则 cos 2 4 等于() A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案A 解析因为 cos2 4 1cos 2 4 2 1cos 2 2 2 1sin 2 2 ， 所以 cos2 4 1sin 2 2 12 3 2 1 6，故选 A. 7(2018新疆乌鲁木齐一诊)2
17、cos 10sin 20 sin 70 的值是() A.1 2 B. 3 2 C. 3D. 2 答案C 解析原式2cos3020sin 20 sin 70 2cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20 sin 70 3cos 20 cos 20 3. 8已知锐角，满足 sin cos 1 6，tan tan 3tan tan 3，则，的大小关系 是() A 4 B 4 C. 4 D. 40， 4 4， 4. 9(2017江苏)若 tan 4 1 6，则 tan . 答案 7 5 解析方法一tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 1 6， 6
18、tan 61tan (tan 1)， tan 7 5. 方法二tan tan 4 4 tan 4 tan 4 1tan 4 tan 4 1 61 11 6 7 5. 10(2018河南八市质检)化简： 2tan45 1tan245 sin cos cos2sin2 . 答案 1 2 解析原式tan(902) 1 2sin 2 cos 2 sin902 cos902 1 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 1 2 sin 2 cos 2 1 2. 11已知 sin cos 1 3，则 sin 2 4. 答案 17 18 解析由 sin cos 1 3，两边平方得 1sin 2 1
19、 9， 解得 sin 28 9， 所以 sin2 41cos 22 2 1sin 2 2 18 9 2 17 18. 12(2018吉林模拟)已知 sin()cos cos()sin 3 5，是第三象限角，则 sin 5 4 . 答案 7 2 10 解析依题意可将已知条件变形为 sin()sin 3 5，sin 3 5. 又是第三象限角，所以 cos 4 5. 所以 sin 5 4 sin 4 sin cos 4cos sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 13(2017河北衡水中学调研)若 2，且 3cos 2sin 4，则 sin 2的值为() A 1 18 B.
20、1 18 C17 18 D.17 18 答案C 解析由 3cos 2sin 4可得 3(cos2sin2) 2 2 (cos sin )， 又由 2，可知 cos sin 0， 于是 3(cos sin ) 2 2 ， 所以 12sin cos 1 18，故 sin 2 17 18.故选 C. 14已知 cos 4cos 41 4，则 sin 4cos4的值为 答案 5 8 解析因为 cos 4cos 4 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 1 2(cos 2sin2)1 2cos 2 1 4. 所以 cos 21 2. 故 sin4cos4 1cos 2 2 2
21、1cos 2 2 2 1 16 9 16 5 8. 15(2017武汉调研)设，0，且满足 sin cos cos sin 1，则 sin(2)sin( 2)的取值范围为 答案1,1 解析由 sin cos cos sin 1，得 sin()1， 又，0， 2， 0， 0 2， 即 2， sin(2)sin(2) sin 2 2 sin(2) cos sin 2sin 4 . 2， 3 4 4 5 4 ， 1 2sin 4 1， 即取值范围为1,1 16(2017合肥模拟)已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2
22、)若(0，)，且 f 4 8 2 2 ，求 tan 3的值 解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x cos 2xsin 2x1 2cos 4x 1 2(sin 4xcos 4x) 2 2 sin 4x 4 ， f(x)的最小正周期 T 2. 令 2k 24x 42k 3 2 ，kZ， 得k 2 16x k 2 5 16，kZ. f(x)的单调递减区间为 k 2 16， k 2 5 16 ，kZ. (2)f 4 8 2 2 ，sin 4 1. (0，)， 4 4 3 4 ， 4 2，故 3 4 . 因此 tan 3 tan 3 4 tan 3 1tan 3 4 tan 3 1 3 1 3 2 3.
