1、7.3二元一次不等二元一次不等式式(组组)与简与简单的线性规划问题单的线性规划问题 最新考纲考情考向分析 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等 式组 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用 平面区域表示二元一次不等式组 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二 元一次线性规划问题，并能加以解决. 以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目 标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行 域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划 问题的实际应用，加强转化与化归和数形结 合思想的应用意识本节内容在高考中以选 择、填空题的形式进行考查，难度中低档. 1二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地， 二元一次不等
2、式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一 侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线当我们在坐 标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直 线画成实线 (2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符 号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的 符号即可断定 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域 2线性规划相关概念 名称意义 约束条件由变量 x，y 组成的一次不等式 线性约束条件由 x，y
3、的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数关于 x，y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线 (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或 (1,0)来验证 知识拓展 1利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于 Ax
4、ByC0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方； (2)当 B(AxByC)0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方() (3)点(x1， y1)， (x2， y2)在直线 AxByC0 同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0， 异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.() (4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy0 表示() (5)线性目标函数的最优解是唯一的() (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解() (7)目标函数 zaxby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截 距()
5、题组二教材改编 2P86T3不等式组 x3y60， xy20 表示的平面区域是() 答案B 解析x3y60 表示直线 x3y60 及其右下方部分， xy20 表示直线 xy20 的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项 B 中的阴影部分 3P91T2投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米；投资 生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，需场地 100 平方米现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用 x， y 分别表示生产 A，B 产品的吨数，x 和 y 的单位是百吨) 答
6、案 200 x300y1 400， 200 x100y900， x0， y0 解析用表格列出各数据 AB总数 产品吨数xy 资金200 x300y1 400 场地200 x100y900 所以不难看出，x0，y0,200 x300y1 400,200 x100y900. 题组三易错自纠 4下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是() A(0,0)B(1,1) C(1,3)D(2，3) 答案C 解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选 C. 5(2017日照一模)已知变量 x，y 满足 2xy0， x2y30， x0， 则 z( 2)2x y的最大值为( ) A. 2B2 2C2D
7、4 答案D 解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示， 令 m2xy，则当 m 取得最大值时，z( 2)2x y取得最大值由图知直线 m2xy 经过点 A(1,2)时，m 取得最大值，所以 zmax( 2)2 124，故选 D. 6已知 x，y 满足 xy50， xy0， x3， 若使得 zaxy 取最大值的点(x，y)有无数个，则 a 的 值为_ 答案1 解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线 zaxy 和直线 AB 重合 时，z 取得最大值的点(x，y)有无数个，akAB1，a1. 题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点 1不含参数的平面区域问题 典例
8、(2017黄冈模拟)在平面直角坐标系中， 已知平面区域 A(x， y)|xy1， 且 x0， y0， 则平面区域 B(xy，xy)|(x，y)A的面积为() A2B1 C.1 2 D.1 4 答案B 解析对于集合 B，令 mxy，nxy， 则 xmn 2 ，ymn 2 ，由于(x，y)A， 所以 mn 2 mn 2 1， mn 2 0， mn 2 0， 即 m1， mn0， mn0， 因此平面区域 B 的面积即为不等式组 m1， mn0， mn0 所对应的平面区域(阴影部分)的面积， 画出图形可知，该平面区域的面积为 2 1 2111，故选 B. 命题点 2含参数的平面区域问题 典例 若不等式
9、组 xy0， 2xy2， y0， xya 表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是 () Aa4 3 B0a1 C1a4 3 D00， y1 2x3， x4y12， 则 zy3 x2的取值范围为( ) A. ，1 2B. ，1 3 C. 1 2， 1 3D. 1 3， 答案B 解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， zy3 x2表示点 D(2,3)与平面区域内 的点(x，y)之间连线的斜率因为点 D(2,3)与点 B(8,1)连线的斜率为1 3且 C 的坐标为(2，2)， 故由图知，zy3 x2的取值范围为 ，1 3 ，故选 B. (2)已知 x，y 满足约束条件 xy0，
10、 xy2， y0， 若 zaxy 的最大值为 4，则 a 等于() A3B2 C2D3 答案B 解析根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示由 zaxy， 得 yaxz，直线的斜率 ka.当 0k1，即1a1，即 a1 时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此 时 z0，不合题意；当1k0，即 0a1 时，无选项满足此范围；当 k1 时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时 z2a04，得 a2. 题型三线性规划的实际应用问题 典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟， 生产一个骑兵需 7 分钟， 生产一个伞兵需 4 分钟， 已
11、知总生产时间不超过 10 小时 若 生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元 (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100 xy， 所以利润5x6y3(100 xy)2x3y300. (2)约束条件为 5x7y4100 xy600， 100 xy0， x0，y0，x，yN. 整理得 x3y200， xy100， x0，y0，x，yN. 目标函数为2x3y300，作出可行域，如图阴影部分所示， 作初始直线 l0：2x
12、3y0，平移 l0，当 l0经过点 A 时，有最大值，由 x3y200， xy100， 得 x50， y50. 最优解为 A(50,50)，此时max550 元 故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形 理清变量之间的关系 (2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目 标函数 (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解) (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值) (5
13、)检验：根据结果，检验反馈 跟踪训练 (2016全国)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg， 乙材料 1 kg， 用 5 个工时； 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg， 乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产 品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元 答案216 000 解析设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要
14、求等其他限制条件， 得线性约束条件为 1.5x0.5y150， x0.3y90， 5x3y600， x0，xN*， y0，yN*， 目标函数 z2 100 x900y. 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100) 处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元) 线性规划问题 考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有三类：目标函数是线 性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用 数形结合解决问题 典例 (2016天津)设变量 x，y 满足约束条件
15、xy20， 2x3y60， 3x2y90， 则目标函数 z2x5y 的最 小值为() A4B6C10D17 答案B 解析由约束条件作出可行域如图(阴影部分)所示， 目标函数可化为 y2 5x 1 5z， 在图中画出直线 y2 5x， 平移该直线，易知经过点 A 时 z 最小 又知点 A 的坐标为(3,0)， zmin23506.故选 B. 1下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是() A. y1， 2xy20 B. y1， 2xy40 C. x0， y2， 2xy20 D. x0， y2， 2xy40 答案C 解析将原点坐标(0,0)代入 2xy2，得 20，于是 2xy20 所表
16、示的平面区域在直线 2xy20 的右下方，结合所给图形可知 C 正确 2 (2017天津)设变量 x， y 满足约束条件 2xy0， x2y20， x0， y3， 则目标函数 zxy 的最大值 为() A.2 3 B1C.3 2 D3 答案D 解析画出可行域，如图中阴影所示 由目标函数 zxy， 结合图象易知 yxz 过(0,3)点时 z 取得最大值， 即 zmax033.故选 D. 3直线 2xy100 与不等式组 x0， y0， xy2， 4x3y20 表示的平面区域的公共点有() A0 个B1 个C2 个D无数个 答案B 解析由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示直线 2xy10
17、0 恰过点 A(5,0)，且其斜率 k20， 4x3y4， y0， 则y1 x 的最小值是() A2B2 C1D1 答案D 解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示， y1 x 的几何意义是区域内的点 P(x，y)与定点 A(0，1)所在直线的斜率，由图象可知当 P 位于点 D(1,0)时，直线 AP 的斜率最小，此时y1 x 的最小值为10 01 1.故选 D. 7(2017开封一模)若 x，y 满足约束条件 xy1， xy1， 2xy2， 且目标函数 zax2y 仅在点(1,0) 处取得最小值，则 a 的取值范围是() A4,2B(4,2) C4,1D(4,1) 答案B 解析作出不等
18、式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 直线 zax2y 的斜率为 ka 2， 从图中可看出，当1a 22，即4ax， yx， y2x1 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中 B(1，1)，C(0,1) 设 A(1,1)，向量OA ，OP 的夹角为， OA OP xy，|OP | x2y2， cos OA OP |OA |OP | xy 2 x2y2 2 2 xy x2y2， 由图可知AOCAOB， 即 4，1cos 2 2 ， 即1 2 2 xy x2y2 2 2 ， 2x， y2x1 表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 其中 B(1，1)，C(0,1)， 设POx， 则 x x2y2
19、cos ， y x2y2sin . 2， 5 4， xy x2y2cos sin 2sin 4 . 2， 5 4， 4 3 4， 3 2， sin 4 1， 2 2 . xy x2y2( 2，1 16(2017湖北七市联考)已知实数 x，y 满足 xy0， xy50， y 1 12x 41 4， 则y x的最小值为_ 答案 1 3 解析不等式组 xy0， xy50， y 1 12x 41 4 表示的平面区域如图中阴影部分所示， y x表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设 k y x，由可行域可知，k 取得最小值时曲线 y 1 12x 41 4与直线 ykx 相切，设此时切点为 P(x 0，y0)， 由 y 1 12x 41 4，可得 y 1 3x 3，所以切线方程为 yy01 3x 3 0(xx0)，又 y0 1 12x 4 01 4，所以切 线方程可化为 y1 3x 3 0 x1 3x 4 0 1 12x 4 01 4，即 y 1 3x 3 0 x1 4x 4 01 4，又该切线过原点 O(0,0)，所以 x 4 0 1， 所以 x01，切线的斜率为 1 3x 3 01 3，则 y xmin1 3.
