1、第第 2 讲讲等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 一、选择题 1.(2016武汉调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an 的公差 d 等于() A.1B.2C.3D.4 解析法一由题意可得 a1（a16d）8， a1d2， 解得 a15，d3. 法二a1a72a48，a44， a4a2422d，d3. 答案C 2.已知等差数列an的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶 数项之和为 25，则这个数列的项数为() A.10B.20C.30D.40 解析设项数为 2n，则由 S偶S奇nd 得，25152n，解得 n5，故这个 数列的项数为 10. 答案A
2、 3.已知等差数列an满足 a1a2a3a1010，则有() A.a1a1010B.a2a1000 C.a3a990D.a5151 解析由题意，得 a1a2a3a101a1a101 2 1010.所以 a1a101a2 a100a3a990. 答案C 4.设数列an，bn都是等差数列，且 a125，b175，a2b2100，则 a37 b37等于() A.0B.37C.100D.37 解析设an，bn的公差分别为 d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an) (bn1bn)d1d2， anbn为等差数列，又 a1b1a2b2100， anbn为常数列，a37b37100. 答案C
3、5.(2017泰安模拟)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a211，a5a92， 则当 Sn取最小值时，n() A.9B.8C.7D.6 解 析设 等 差 数 列 an 的 首 项 为 a1， 公 差 为 d ， 由 a211， a5a92， 得 a1d11， 2a112d2，解得 a113， d2. an152n. 由 an152n0，解得 n15 2 .又 n 为正整数， 当 Sn取最小值时，n7.故选 C. 答案C 二、填空题 6.(2016江苏卷)已知an是等差数列， Sn是其前 n 项和.若 a1a223， S510， 则 a9的值是_. 解析设数列an的公差为 d，由题设得
4、 a1（a1d）23， 5a154 2 d10， 解得 a14， d3， 因此 a9a18d20. 答案20 7.正项数列an满足 a11，a22，2a2na2n1a2n1(nN*，n2)，则 a7 _. 解析由 2a2na2n1a2n1(nN*，n2)，可得数列a2n是等差数列，公差 d a22a213， 首项 a211， 所以 a2n13(n1)3n2， an 3n2， a7 19. 答案19 8.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则 m _. 解析法一由已知得，amSmSm12，am1Sm1Sm3，因为数列an 为等差数列，所以 dam1am1，又因为
5、 Smm（a1am） 2 0，所以 m(a1 2)0，因为 m0，所以 a12，又 ama1(m1)d2，解得 m5. 法二因为 Sm12，Sm0，Sm13，所以 amSmSm12，am1Sm1 Sm3，所以公差 dam1am1，由 Snna1 n（n1） 2 dna1 n（n1） 2 ， 得 ma1m（m1） 2 0， （m1）a1（m1） （m2） 2 2. 由得 a11m 2 ，代入可得 m5. 法三因为数列an为等差数列，且前 n 项和为 Sn， 所以数列 Sn n 也为等差数列. 所以 Sm1 m1 Sm1 m1 2Sm m ，即 2 m1 3 m10， 解得 m5，经检验为原方程的
6、解. 答案5 三、解答题 9.(2016全国卷)等差数列an中，a3a44，a5a76. (1)求an的通项公式； (2)设 bnan，求数列bn的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如 0.90，2.62. 解(1)设数列an首项为 a1，公差为 d， 由题意有 2a15d4， a15d3. 解得 a11， d2 5. 所以an的通项公式为 an2n3 5 . (2)由(1)知，bn 2n3 5. 当 n1，2，3 时，12n3 5 2，bn1； 当 n4，5 时，22n3 5 3，bn2； 当 n6，7，8 时，32n3 5 4，bn3； 当 n9，10 时，42n3 5 0
7、，y0， 由基本不等式可得 xy xy 2 2 ，当且仅当 xy 时“”成立.又 a60，a70， a6a7 a6a7 2 2 4，当且仅当 a6a72 时， “”成立.即 a6a7的最大 值为 4，故选 C. 答案C 13.设等差数列an， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn， 若对任意自然数 n 都有Sn Tn 2n3 4n3，则 a9 b5b7 a3 b8b4的值为_. 解析an，bn为等差数列， a9 b5b7 a3 b8b4 a9 2b6 a3 2b6 a9a3 2b6 a6 b6. S11 T11 a1a11 b1b11 2a6 2b6 2113 4113 19 41， a6
8、b6 19 41. 答案 19 41 14.在数列an中，a15，a22，记 A(n)a1a2an，B(n)a2a3 an1，C(n)a3a4an2(nN*)，若对于任意 nN*，A(n)，B(n)， C(n)成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列|an|的前 n 项和. 解(1)根据题意 A(n)，B(n)，C(n)成等差数列. A(n)C(n)2B(n)， 整理得 an2an1a2a1253， 数列an是首项为5，公差为 3 的等差数列， an53(n1)3n8. (2)|an| 3n8，n2， 3n8，n3， 记数列|an|的前 n 项和为 Sn. 当 n2 时，Snn（583n） 2 3n 2 2 13 2 n； 当 n3 时，Sn7（n2） （13n8） 2 3n 2 2 13 2 n14， 综上，Sn 3 2n 213 2 n，n2， 3 2n 213 2 n14，n3.
