1、第第 3 讲讲圆的方程圆的方程 一、选择题 1.已知点 A(1，1)，B(1，1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是() A.x2y22B.x2y2 2 C.x2y21D.x2y24 解析AB 的中点坐标为(0，0)， |AB| 1（1）2（11）22 2， 圆的方程为 x2y22. 答案A 2.(2017漳州模拟)圆(x1)2(y2)21 关于直线 yx 对称的圆的方程为 () A.(x2)2(y1)21B.(x1)2(y2)21 C.(x2)2(y1)21D.(x1)2(y2)21 解析已知圆的圆心 C(1，2)关于直线 yx 对称的点为 C(2，1)，圆(x1)2 (y2)21 关于直
2、线 yx 对称的圆的方程为(x2)2(y1)21，故选 A. 答案A 3.方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则实数 a 的取值范围是() A.(，2) 2 3，B. 2 3，0 C.(2，0)D. 2，2 3 解析方程为 xa 2 2 (ya)21a3a 2 4 表示圆，则 1a3a 2 4 0，解得2 a2 3. 答案D 4.(2017淄博调研)点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程 是() A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24 C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)21 解析设圆上任一点为 Q(x0，y0)，PQ 的中点为 M(
3、x，y)，则 x4x0 2 ， y2y0 2 ， 解 得 x02x4， y02y2. 因为点 Q 在圆 x2y24 上，所以 x20y204，即(2x4)2(2y 2)24，化简得(x2)2(y1)21. 答案A 5.(2015全国卷)已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为() A.5 3 B. 21 3 C.2 5 3 D.4 3 解析由点 B(0， 3)，C(2， 3)，得线段 BC 的垂直平分线方程为 x1， 由点 A(1，0)，B(0， 3)，得线段 AB 的垂直平分线方程为 y 3 2 3 3 x1 2 ， 联立，解得ABC 外
4、接圆的圆心坐标为 1，2 3 3， 其到原点的距离为12 2 3 3 2 21 3 .故选 B. 答案B 二、填空题 6.若圆 C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线 y1 相切，则圆 C 的方程是 _. 解析设圆心 C 坐标为(2， b)(b0，b0)始终平分圆 x2y24x2y80 的周长， 则1 a 2 b的最小值为( ) A.1B.5 C.4 2D.32 2 解析由题意知圆心 C(2，1)在直线 ax2by20 上， 2a2b20，整理得 ab1， 1 a 2 b( 1 a 2 b)(ab)3 b a 2a b 32 b a 2a b 32 2， 当且仅当b a 2a b ，即 b2
5、 2，a 21 时，等号成立. 1 a 2 b的最小值为 32 2. 答案D 12.已知平面区域 x0， y0， x2y40 恰好被面积最小的圆 C：(xa)2(yb)2r2及 其内部所覆盖，则圆 C 的方程为_. 解析由题意知，此平面区域表示的是以 O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的 三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆. OPQ 为直角三角形， 圆心为斜边 PQ 的中点(2，1)，半径 r|PQ| 2 5， 因此圆 C 的方程为(x2)2(y1)25. 答案(x2)2(y1)25 13.已知圆 C：(x3)2(y4)21，设点 P 是圆 C 上的动点.记 d|
6、PB|2|PA|2， 其中 A(0，1)，B(0，1)，则 d 的最大值为_. 解析设 P(x0， y0)， d|PB|2|PA|2x20(y01)2x20(y01)22(x20y20)2.x20 y 2 0为圆上任一点到原点距离的平方，(x20y20)max(51)236，dmax74. 答案74 14.(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点 A(2， 4). (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于
7、 B，C 两点，且|BC|OA|，求直线 l 的方程； (3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TA TPTQ，求实数 t 的取值范围. 解(1)圆 M 的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心 M(6，7)，半径 r5， 由题意，设圆 N 的方程为(x6)2(yb)2b2(b0)， 且 （66）2（b7）2b5. 解得 b1，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21. (2)kOA2，可设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0.又|BC|OA| 22422 5， 由题意，圆 M 的圆心 M(6，7)到直线 l 的距离为 d52 |BC| 2 2 255 2 5， 即 |267m| 22（1）22 5，解得 m5 或 m15. 直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150. (3)由TA TPTQ，则四边形 AQPT 为平行四边形， 又P，Q 为圆 M 上的两点，|PQ|2r10. |TA|PQ|10，即 （t2）24210， 解得 22 21t22 21. 故所求 t 的范围为22 21，22 21.
