1、第第 2 课时课时利用导数研究函数的极值、最值利用导数研究函数的极值、最值 一、选择题 1.(2016四川卷)已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a() A.4B.2C.4D.2 解析f(x)3x212，x0，2x2 时，f(x)2 时， f(x)0，x2 是 f(x)的极小值点. 答案D 2.函数 f(x)1 2x 2ln x 的最小值为( ) A.1 2 B.1C.0D.不存在 解析f(x)x1 x x21 x ， 且 x0.令 f(x)0， 得 x1； 令 f(x)0， 得 0 x0，即 a23a180， a6 或 a0， 则 f(x)的最大值为_. 解析当 x0 时，
2、f(x)2x0； 当 x0 时，f(x)3x233(x1)(x1)，当 x0，f(x)是增函 数，当1x0 时，f(x)0 时，ex1，aex0，r0). (1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性； (2)若a r400，求 f(x)在(0，)内的极值. 解(1)由题意可知 xr，所求的定义域为(，r)(r，). f(x) ax （xr）2 ax x22rxr2， f(x)a（x 22rxr2）ax（2x2r） （x22rxr2）2 a（rx） （xr） （xr）4 . 所以当 xr 时，f(x)0； 当rx0. 因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)； f(x)的单调递
3、增区间为(r，r). (2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减. 因此，xr 是 f(x)的极大值点， 所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r) ar （2r）2 a 4r 400 4 100， f(x)在(0，)内无极小值； 综上，f(x)在(0，)内极大值为 100，无极小值. 10.已知函数 f(x)(xk)ex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间0，1上的最小值. 解(1)由题意知 f(x)(xk1)ex. 令 f(x)0，得 xk1. f(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下表： x(，k1)k1(k1
4、，) f(x)0 f(x)ek 1 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，). (2)当 k10，即 k1 时，f(x)在0，1上单调递增， 所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(0)k； 当 0k11，即 1k2 时， f(x)在0，k1上单调递减，在k1，1上单调递增， 所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(k1)ek 1； 当 k11，即 k2 时，f(x)在0，1上单调递减， 所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(1)(1k)e. 综上，当 k1 时，f(x)在0，1上的最小值为 f(0)k； 当 1k0，b0，且函数 f(x)4x3ax22
5、bx2 在 x1 处有 极值，若 tab，则 t 的最大值为() A.2B.3C.6D.9 解析f(x)12x22ax2b，则 f(1)122a2b0，则 ab6， 又 a0，b0，则 tab ab 2 2 9，当且仅当 ab3 时取等号. 答案D 12.(2017长沙调研)若函数 f(x)1 3x 3x22 3在区间(a，a5)上存在最小值，则 实数 a 的取值范围是() A.5，0)B.(5，0) C.3，0)D.(3，0) 解析由题意，f(x)x22xx(x2)，故 f(x)在( ，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所 示. 令 1 3x 3x22 3 2
6、3得，x0 或 x3，则结合图象可知， 3a0， 解得 a3，0)，故选 C. 答案C 13.函数 f(x)x33axb(a0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的单调递减区 间是_. 解析令 f(x)3x23a0，得 x a， 则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表： x(， a) a( a， a)a( a，) f(x)00 f(x)极大值极小值 从而 （ a）33a（ a）b6， （ a）33a ab2， 解得 a1， b4. 所以 f(x)的单调递减区间是(1，1). 答案(1，1) 14.(2017济南模拟)设函数 f(x)ln(xa)x2. (1)若当 x1 时，f(
7、x)取得极值，求 a 的值，并讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于 lne 2. 解(1)f(x) 1 xa2x，依题意，有 f(1)0，故 a 3 2. 从而 f(x)（2x1） （x1） x3 2 ，且 f(x)的定义域为 3 2， 当3 2x0； 当1x1 2时，f(x)1 2时，f(x)0. f(x)在区间 3 2，1， 1 2，上单调递增，在 1，1 2 上单调递减. (2)f(x)的定义域为(a，)，f(x)2x 22ax1 xa . 方程 2x22ax10 的判别式4a28， 若0，即 2a 2时，f(x)0，故 f(x)无极值. 若0，即 a 2，则 2x22ax10 有两个不同的实根，x1 a a22 2 ，x2a a 22 2 . 当 a 2时，x1a，x20 在定义域上恒成立， 故 f(x)无极值. 当 a 2时，ax1ln1 2( 2) 21lne 2.
