1、第第 4 讲讲函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 一、选择题 1.(2016全国卷)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，则平移 后图象的对称轴为() A.xk 2 6 (kZ)B.xk 2 6 (kZ) C.xk 2 12(kZ) D.xk 2 12(kZ) 解析由题意将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度后得到函数的解 析式为 y2sin 2x 6 ，由 2x 6 k 2 得函数的对称轴为 xk 2 6 (kZ)，故选 B. 答案B 2.(2017衡水中学金卷)若函数 ysin(x)(0，| | 2 ) 在区间 2 ， 上的图象如图所
2、示，则，的值分别 是() A.2， 3 B.2，2 3 C.1 2， 3 D.1 2， 2 3 解析由图可知， T2 6 3 ， 所以2 T 2， 又 sin 2 6 0，所以 3 k(kZ)，即 3 k(kZ)，而|0)个单位后的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是() A. 6 B. 3 C. 2 D.2 3 解析依题意得 f(x)2sin x 6 ， 因为函数 f(xa)2sin xa 6 的图象关 于 y 轴对称，所以 sin a 6 1，a 6 k 2 ，kZ，即 ak 3 ， kZ， 因此正数 a 的最小值是 3 ，选 B. 答案B 4.(2016长沙模拟)函数 f(x)3si
3、n 2 xlog 1 2 x 的零点的个数是() A.2B.3C.4D.5 解析函数 y3sin 2 x 的周期 T 2 2 4，由 log 1 2 x3，可得 x1 8.由 log 1 2 x 3，可得 x8.在同一平面直角坐标系中，作出函数 y3sin 2 x 和 ylog 1 2 x 的图象(如图所示)，易知有 5 个交点，故函数 f(x)有 5 个零点. 答案D 5.(2017呼和浩特调研)如图是函数 f(x)sin 2x 和函数 g(x)的 部分图象，则 g(x)的图象可能是由 f(x)的图象() A.向右平移2 3 个单位得到的 B.向右平移 3 个单位得到的 C.向右平移7 12
4、 个单位得到的 D.向右平移 6 个单位得到的 解析由函数 f(x)sin 2x 和函数 g(x)的部分图象，可得 g(x)的图象位于 y 轴右 侧的第一个最高点的横坐标为 m，则有17 24 m 4 8 ，解得 m7 12 ，故把 函数 f(x)sin 2x 的图象向右平移7 12 4 3 个单位，即可得到函数 g(x)的图 象，故选 B. 答案B 二、填空题 6.(2016龙岩模拟)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用 函数 yaAcos 6 （x6） (x1，2，3，12)来表示，已知 6 月份的月 平均气温最高为 28 ，12 月份的月平均气温最低为 18 ，则 1
5、0 月份的平 均气温为_. 解析因为当 x6 时，yaA28； 当 x12 时，yaA18，所以 a23，A5， 所以 yf(x)235cos 6 （x6） ， 所以当 x10 时，f(10)235cos 6 4 2351 220.5. 答案20.5 7.(2016全国卷)函数 ysin x 3cos x 的图象可由函数 ysin x 3cos x 的 图象至少向右平移_个单位长度得到. 解析ysin x 3cos x2sin x 3 ，ysin x 3cos x2sin x 3 ，因此 至少向右平移2 3 个单位长度得到. 答案 2 3 8.已知函数 f(x)sin(x) 0， 2 2 的图
6、象上的两个相邻的最高 点和最低点的距离为 2 2，且过点 2，1 2 ，则函数 f(x)的解析式为_. 解析据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2，可得 T 2 2 （11）2 2 2，解得 T4，故2 T 2 ， 即 f(x)sin x 2 .又函数图象过点 2，1 2 ， 故 f(2)sin 2 2 sin1 2， 又 2 2 ， 解得 6 ，故 f(x)sin x 2 6 . 答案f(x)sin x 2 6 三、解答题 9.已知函数 f(x)sinxcos x 6 ，其中 xR，0. (1)当1 时，求 f 3 的值； (2)当 f(x)的最小正周期为时，求 f(x)在 0， 4 上取
7、得最大值时 x 的值. 解(1)当1 时，f 3 sin 3 cos 2 3 2 0 3 2 . (2)f(x)sinxcos x 6 sinx 3 2 cosx1 2sin x 1 2sin x 3 2 cosxsin x 3 . 2 |，且0，得2，f(x)sin 2x 3 . 由 x 0， 4 ，得 2x 3 3 ，5 6， 当 2x 3 2 ，即 x 12时，f(x) max1. 10.已知函数 f(x) 3sin(x) 0， 2 2 的图象关于直线 x 3 对称，且图象上相邻最高点的距离为. (1)求 f 4 的值； (2)将函数 yf(x)的图象向右平移 12个单位后，得到 yg(
8、x)的图象，求 g(x)的 单调递减区间. 解(1)因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为，所以 f(x)的最小正周期 T ，从而2 T 2. 又 f(x)的图象关于直线 x 3 对称，所以 2 3 k 2 (kZ)，因为 2 2 ，所以 k0， 所以 2 2 3 6 ，所以 f(x) 3sin 2x 6 ， 则 f 4 3sin 2 4 6 3sin 3 3 2. (2)将 f(x)的图象向右平移 12个单位后，得到 f x 12 的图象， 所以 g(x)f x 12 3sin 2 x 12 6 3sin 2x 3 . 当 2k 2 2x 3 2k3 2 (kZ)， 即 k5 12 xk1
9、1 12 (kZ)时，g(x)单调递减. 因此 g(x)的单调递减区间为 k5 12 ，k11 12(kZ). 11.(2017西安调研)设函数 f(x)sin 2x 6 ，则下列结论正确的是() A.f(x)的图象关于直线 x 3 对称 B.f(x)的图象关于点 6 ，0 对称 C.f(x)的最小正周期为，且在 0， 12 上为增函数 D.把 f(x)的图象向右平移 12个单位，得到一个偶函数的图象 解析对于函数 f(x)sin 2x 6 ，当 x 3 时， f 3 sin 5 6 1 2，故 A 错；当 x 6 时， f 6 sin 2 1，故 6 ，0 不是函数的对称点，故 B 错；函数
10、的最小正周期为 T2 2 ，当 x 0， 12 时， 2x 6 6 ， 3 ，此时函数为增函数，故 C 正确； 把 f(x)的图象向右平移 12个单位，得到 g(x)sin 2 x 12 6 sin 2x，函数 是奇函数，故 D 错. 答案C 12.(2017承德一模)已知函数 f(x)2sinx 在区间 3 ， 4 上的最小值为 2，则的取值范围是() A. ，9 2 6，)B. ，9 2 3 2， C.(，26，)D.(，2 3 2， 解析当0 时， 3 x 4 ，由题意知 3 2 ，即3 2；当 0)，xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 3 ，则 f
11、(x)的最小正周期为_. 解析f(x) 3sinxcosx2sin x 6 . 由 2sin x 6 1 得 sin x 6 1 2， x 6 2k 6 或x 6 2k5 6(kZ). 令 k0，得x1 6 6 ，x2 6 5 6， x10，x22 3. 由|x1x2| 3 ，得2 3 3 ，2. 故 f(x)的最小正周期 T2 2 . 答案 14.(2017 郑 州 模 拟 ) 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) Asin(x ) 0，| 2 在某一个周期内的图象时， 列表并填入了部分数据， 如下表： x0 2 3 2 2 x 3 5 6 Asin(x)0550 (1)
12、请将上表数据补充完整，并求出函数 f(x)的解析式； (2)将 yf(x)的图象向左平移 6 个单位，得到函数 yg(x)的图象.若关于 x 的 方程 g(x)(2m1)0 在区间 0， 2 上有两个不同的解，求实数 m 的取值 范围. 解(1)根据表中已知数据， 解得 A5，2， 6 . 数据补全如下表： x0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 Asin(x)05050 且函数表达式为 f(x)5sin 2x 6 . (2)通过平移，g(x)5sin 2x 6 ， 方程g(x)(2m1)0可看成函数yg(x)和函数y2m1的图象在 0， 2 上有两个交点， 当 x 0， 2 时，2x 6 6 ，7 6，为使直线 y2m1 与函数 yg(x) 的图象在 0， 2 上有两个交点，结合函数 yg(x)在0， 2 上的图象， 只需5 22m15，解得 3 4m2. 即实数 m 的取值范围为 3 4，2.
