1、习题课不等式恒成立、能成立问题 第二章一元二次函数、方程和不等式 会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的 恒成立、能成立问题. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、在R上的恒成立问题 二、在给定区间上恒成立的问题 三、解决简单的能成立问题 内容索引 一、在R上的恒成立问题 例1已知不等式kx22kx(k2)0恒成立，求实数k的取值范围. 解当k0时，原不等式化为20，显然符合题意. 当k0时，令ykx22kx(k2)，由y0恒成立， 其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. 综上，实数k的取值范围是k|1k0. 反思感悟转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 注
2、意点：注意点：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则 一定要讨论二次项系数是否为0. 跟踪训练1若关于x的不等式kx23kxk20的解集为R，则实数k的 取值范围是 解析当k0时，20恒成立，符合题意； 二、在给定区间上恒成立的问题 例2当1x2时，不等式x2mx40恒成立，求实数m的取值范围. 解令yx2mx4. y0在1x2上恒成立. y0的根一个小于1，另一个大于2. m的取值范围是m|m0时，ax2bxc0在xx|x上恒成立yax2bxc在x ，x时的函数值同时小于0. (2)a0在xx|x上恒成立yax2bxc在x ，x时的函数值同时大于0. 跟踪训练2若对任意的3x1
3、都有ax2x30成立，则实数a的 取值范围是_. 三、解决简单的能成立问题 例3当1x0有解，则实数m的取值范 围为_. m|m5 解析记yx2mx4， 则由二次函数的图象(图略)知， 不等式x2mx40(1x0或2m80，解得m5. 反思感悟(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的问题，可转化为mymin或m0， 4xm2(x22x3)能成立， m2x28x6能成立， 令y2x28x62(x2)222， m2， m的取值范围为m|m2. 1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定区间上的恒成立问题. (3)解决简单的能成立问题. 2.方法归纳：等
4、价转换，数形结合. 3.常见误区：要注意端点值的取舍. 课堂小结 随堂演练 1234 解析不等式x2mx10的解集为R， 则m240，解得2m2， 实数m的取值范围是2m2. 1.若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是 A.m2 B.m2 C.m2或m2 D.2m2 1234 A.m2 B.00恒成立，则实数a的取值范围是 A.a1 B.a1 C.a1 D.a0， 故x2ax0在1x2上恒成立等价于xa0在1x2上恒成立， 故1a0，即a1. 1234 4a0 解析原不等式为ax(x1)10， 即ax2ax10，a0时，不等式为10，符合题意， 综上所述，a的取值范围是4a0.
5、课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1.一元二次不等式ax2bxc0的解集为全体实数的条件是 解析一元二次不等式ax2bxc0的解集为全体实数等价于二次函数y ax2bxc的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故 需要 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.若关于x的不等式x2mx10有解，则实数m的取值范围是 A.m|m2或m2 B.m|2m2 C.m|m2 D.m|2m2 解析因为关于x的不等式x2mx10有解， 所以m240，解得m2或m2. 12345678910 11 12 13 14 15 16
6、3.已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是 A.a|4a4 B.a|4a4 C.a|a4或a4 D.a|a4 解析由题意得，a2160，解得4a4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围为 A.a|1a4 B.a|1a4 C.a|a4或a1 D.a|4a1 解析由题意知，(x2)24a23a在R上有解， a23a4，即(a4)(a1)0，1a4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.m|1m4 B.m|m3 C.m|4m1 D.m|m4 12345678910 11 1
7、2 13 14 15 16 解得m4或m1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)不等式ax22x10的解集非空的一个必要不充分条件是 A.a1 B.a1 C.a2 D.a0 解析因为ax22x10的解集非空，显然a0成立， 综上，ax22x10的解集非空的充要条件为a1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.若不等式x2(m3)xm0无解，则实数m的取值范围是_. 1m9 解析x2(m3)xm0无解， (m3)24mm210m90， 解得1m9. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.若关于x的不等式(
8、k1)x2(k1)x10恒成立，则实数k的取值范围 是_. k|3k1 解析当k1时，10恒成立； 解得3k1， 因此实数k的取值范围为k|3k1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.xx|2x3，不等式mx2mx10恒成立，求m的取值范围. 解由不等式mx2mx10，得m(x2x)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知函数ymx2mx6m，若对于1m3，y0恒成立，求实 数x的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解y0mx2mx6m0(x2x1)m60”，q：“2m2”，则p是q成立 的
9、A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析xR，x2mx10，m240， 2m2， 命题p：2m1成立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.对任意x满足1x2，不等式x22xa0成立的必要不充分条 件是 A.a3 B.a4 C.a0 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为x22xa0， 所以ax22x， 又因为1x2， x22xx(x2)3， 所以a3， 又因为求“对任意x满足1x2，不等式x22xa0成立，则实数x的取 值范围为_. 解析令yax2(a2)x2(x2x)a2x2，是关于a的
10、函数， 由题意得(x2x)2x20或 (x2x)32x20. 即x2 x20，或3x2x20. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.关于x的不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R，则实数a的取 值范围是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当a210时，a1或a1， 若a1，不等式为10，恒成立， 若a1，不等式为2x10， 当a210时， 若要不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R， 则a210，且(a1)24(a21)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.不等式x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立，求实数的取 值范围. 解因为x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立， 所以x28y2y(xy)0对于任意的x，yR恒成立， 即x2yx(8)y20恒成立， 由二次不等式的性质可得， 2y24(8)y2y2(2432)0， 所以(8)(4)0，解得84. 即实数的取值范围为|84. 本课结束 更多精彩内容请登录：
