1、第第 1 1 讲讲 集合及其应用集合及其应用 一知识梳理：一知识梳理： 1元素与集合的概念 (1)元素：一般地，我们把研究的对象统称为元素 (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的 (4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性 2元素与集合的关系 关系概念记法读法 属于 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属 于集合 A aA a 属于 集合 A 不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素， 就说 a 不属于集合 A aA a 不属于 集合 A 3.常用数集及表示符号 名称自然数集正整数集整数集有理数集实
2、数集 符号NN*或 NZQR 4.集合的表示法 列举法表示集合 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法 描述法表示集合 定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画 一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 Venn 图 定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图，这 种表示集合的方法叫做图示法 适用范围：元素个数较少的集合 使用方法：把元素写在封闭曲线的内部 5子集的概念 文字语言符号语言图形语言 集合 A 中任意一个元素都是集合
3、 B 中的元素， 就说这两个集合有包含关 系，称集合 A 是集合 B 的子集 AB(或 BA) 6集合相等与真子集的概念 定义符号表示图形表示 集合 相等 如果 AB 且 BA， 就说集合 A 与 B 相等 AB 真子 集 如果集合 AB，但存在元素 xB，且 xA，称集合 A 是 B 的 真子集 A B(或 B A) 7.空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集 (2)用符号表示为：. (3)规定：空集是任何集合的子集 8子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA. (2)对于集合 A，B，C，如果 AB，且 BC，那么 AC. 9并集和交集的概念及其表示 类别 概念 自
4、然语言符号语言图形语言 并集 由所有属于集合 A 或者 属于集合 B 的元素组成 的集合，称为集合 A 与 B 的并集， 记作 AB(读 作“A 并 B”) ABx|xA，或 xB 交集 由属于集合 A 且属于集 合 B 的所有元素组成的 集合，称为 A 与 B 的交 集，记作 AB(读作“A 交 B”) ABx|xA，且 xB 10.并集与交集的运算性质 并集的运算性质交集的运算性质 ABBAABBA AAAAAA AAA ABABBABABA 11全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集 合为全集 (2)记法：全集通常记作 U. 12补集 文
5、字语言 对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作UA 符号语言UAx|xU，且 xA 图形语言 13.补集的性质 UU，UU，U(UA)A. 二、例题讲解二、例题讲解 题型一题型一集合的基本概念集合的基本概念 例 1下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过 20 的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4) 3的近似值的全体 解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合(2)任给一个实数 x，可以明确地判 断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0 x20”与“x20
6、 或 x0”，两者必居其一， 且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某 个点是否在“一些点”中无法确定， 因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集 合；(4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近 似值，所以(4)不能构成集合 变式变式 1 1：下列所给的对象能构成集合的是_ (1)所有正三角形； (2)必修 1 课本上的所有难题； (3)比较接近 1 的正整数全体； (4)某校高一年级的 16 岁以下的学生 答案(1)(4) 解析(1)能，其中的元素满足三条边相等；(2)不能，“难题”的标准是模糊的
7、、不确定的， 所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不 确定，故不能构成集合；(4)能，其中的元素是“16 岁以下的学生” 题型二题型二元素与集合的关系 例 2所给下列关系正确的个数是() 1 2R； 2Q；0N *；|3|N*. A1B2C3D4 答案B 解析1 2是实数， 2是无理数，所以正确N *表示正整数集，所以和不正确 变式变式 2 2：集合 A 中的元素 x 满足 6 3xN，xN，则集合 A 中元素有_ 答案0,1,2 解析当 x0 时， 6 302； 当 x1 时， 6 313； 当 x2 时， 6 326； 当 x3 时不符合题意，
8、故集合 A 中元素有 0,1,2. 题型三题型三集合中元素的特性及应用 例 3已知集合 B 含有两个元素 a3 和 2a1，若3B，试求实数 a 的值 解3B，3a3 或32a1. 若3a3，则 a0. 此时集合 B 含有两个元素3，1，符合题意； 若32a1，则 a1. 此时集合 B 含有两个元素4，3，符合题意 综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或1. 变式变式 3 3：已知集合 Aa1，a21，若 0A，则实数 a 的值为_ 答案1 解析0A，0a1 或 0a21. 当 0a1 时，a1，此时 a210，A 中元素重复，不符合题意 当 a210 时，a1. a1(舍)，a1. 此
9、时，A2,0，符合题意 题型四题型四列举法与描述法的综合运用 例 4集合 Ax|kx28x160，若集合 A 只有一个元素，试求实数 k 的值，并用列举法 表示集合 A. 解(1)当 k0 时，原方程为 168x0. x2，此时 A2 (2)当 k0 时，由集合 A 中只有一个元素， 方程 kx28x160 有两个相等实根， 则6464k0，即 k1. 从而 x1x24，集合 A4 综上所述，实数 k 的值为 0 或 1. 当 k0 时，A2； 当 k1 时，A4 变式 4：把例 3 中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数 k 取值范围的集合 解由题意可知方程 kx28x160 有两个
10、不等实根 k0， 6464k0， 解得 k1，且 k0. 所以 k 取值范围的集合为k|k1，且 k0 题型五题型五有限集合的子集确定问题 例 5写出集合 A1,2,3的所有子集和真子集 解由 0 个元素构成的子集：； 由 1 个元素构成的子集：1，2，3； 由 2 个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3； 由 3 个元素构成的子集：1,2,3 由此得集合 A 的所有子集为，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3 在上述子集中，除去集合 A 本身，即1,2,3，剩下的都是 A 的真子集 跟踪演练 1已知集合 M 满足2,3M1,2,3,4,5，求集合 M 及其个数 解当 M 中含有两
11、个元素时，M 为2,3； 当 M 中含有三个元素时，M 为2,3,1，2,3,4，2,3,5； 当 M 中含有四个元素时，M 为2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5； 当 M 中含有五个元素时，M 为2,3,1,4,5； 所以满足条件的集合 M 为2,3，2,3,1，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5， 2,3,1,4,5，集合 M 的个数为 8. 题型六题型六集合间关系的判定 例 6指出下列各对集合之间的关系： (1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)； (2)Ax|x 是等边三角形，Bx|x 是等腰三角形； (3)Ax|
12、1x4，Bx|x50； (4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN* 解(1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关 系 (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 AB. (3)集合 Bx|x5，用数轴表示集合 A，B 如图所示，由图可知 AB. (4)由列举法知 M1,3,5,7，N3,5,7,9，故 NM. 跟踪演练 2集合 Ax|x2x60，Bx|2x70，试判断集合 A 和 B 的关系 解A3,2，B x|x7 2 . 37 2，2 7 2， 3B,2BAB 又 0B，但 0A，AB. 题型七题型七由
13、集合间的关系求参数范围问题 例 7已知集合 Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且 BA，求实数 m 的取值范 围 解BA， (1)当 B时，m12m1，解得 m2. (2)当 B时，有 32m1， m14， 2m1m1， 解得1m2，综上得m|m1 变式 7：已知集合 Ax|1x2，Bx|1xa，a1 (1)若 A B，求 a 的取值范围； (2)若 BA，求 a 的取值范围 解(1)若 A B，由图可知 a2. (2)若 BA，由图可知 1a2. 题型八题型八已知集合交集、并集求参数 例 8已知 Ax|2axa3，Bx|x1，或 x5，若 AB，求实数 a 的取值范 围 解由 AB， (1)
14、若 A，有 2aa3，a3. (2)若 A，如下图： 2a1， a35， 2aa3， 解得1 2a2. 综上所述，a 的取值范围是a|1 2a2，或 a3 变式 8设集合 Ax|1xa，Bx|1x3且 ABx|1x3，求 a 的取值范 围 解如下图所示， 由 ABx|1x3知，1a3. 题型九题型九交集、并集、补集的综合运算 例 9(1)已知集合 A、B 均为全集 U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则 A UB 等于() A3B4 C3,4D (2)设集合 Sx|x2，Tx|4x1，则(RS)T 等于() Ax|2x1Bx|x4 Cx|x1Dx|x1 答案(1)A(2)C 解析
15、(1)U1,2,3,4，U(AB)4， AB1,2,3又B1,2， 3A1,2,3 又UB3,4， AUB3 (2)因为 Sx|x2，所以RSx|x2 而 Tx|4x1， 所以(RS)Tx|x2x|4x1 x|x1 变式 9设全集为 R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B. 解把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下： 由图知，ABx|2x10， R(AB)x|x2，或 x10 RAx|x3，或 x7， (RA)Bx|2x3，或 7x10 题型十题型十补集的综合应用 例 10已知全集 UR，集合 Ax|x1，Bx|2axa3，且 BRA，求 a 的取 值范围 解由题意得
16、RAx|x1 (1)若 B，则 a32a，即 a3，满足 BRA. (2)若 B，则由 BRA，得 2a1 且 2aa3， 即1 2a3. 综上可得 a1 2. 变式 10：已知集合 Ax|xa，Bx1，或 x0，若 A(RB)，求实数 a 的取值 范围 解Bx|x1，或 x0， RBx|1x0， 因而要使 A(RB)，结合数轴分析(如图)， 可得 a1. 三、课后作业三、课后作业 1下列能构成集合的是() A中央电视台著名节目主持人 B我市跑得快的汽车 C上海市所有的中学生 D香港的高楼 答案C 解析A、B、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合 2已知 5R；1 3Q；0N；Q；3Z.正
17、确的个数为_ 答案3 解析是正确的；是错误的 3已知集合 A 是由 0，m，m23m2 三个元素组成的集合，且 2A，则实数 m 的值为 () A2B3 C0 或 3D0,2,3 均可 答案B 解析因为 2A，所以 m2 或 m23m22，解得 m0 或 m2 或 m3.又集合中的元 素要满足互异性，对 m 的所有取值进行一一验证可得 m3，故选 B. 4集合 Ay|yx21，集合 B(x，y)|yx21(A，B 中 xR，yR)选项中元素与 集合的关系都正确的是() A2A，且 2B B(1,2)A，且(1,2)B C2A，且(3,10)B D(3,10)A，且 2B 答案C 解析集合 A
18、中元素 y 是实数，不是点，故选项 B，D 不对集合 B 的元素(x，y)是点而不 是实数，2B 不正确，所以 A 错 5已知集合 A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为 () A3B6C8D10 答案D 解析B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5， x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4. B(2,1，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， B 中所含元素的个数为 10. 6集合 Ax|0 x3，xN的真子集的个数为() A4B7C
19、8D16 答案B 解析可知 A0,1,2，其真子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，即共有 23 17(个) 7已知 M1,0,1，Nx|x2x0，则能表示 M，N 之间关系的 Venn 图是() 答案C 解析M1,0,1，N0，1，NM. 8 设 AxN|1x10， BxR|x2x60， 则如图中阴影部分表示的集合为() A2B3C3,2D2,3 答案A 解析注意到集合 A 中的元素为自然数，因此易知 A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，而直接解集合 B 中的方程可知 B3,2，因此阴影部分显然表示的是 AB2 9已知 Ax|x10，B2，1,0,1，则(RA)B 等于()
20、A2，1B2 C1,0,1D0,1 答案A 解析因为集合 Ax|x1， 所以RAx|x1， 则(RA)Bx|x12，1,0,1 2，1 10设全集 U 是实数集 R，Mx|x2，或 x2，Nx|1x3如图所示，则阴影 部分所表示的集合为() Ax|2x1Bx|2x3 Cx|x2，或 x3Dx|2x2 答案A 解析阴影部分所表示的集合为U(MN)(UM)(UN)x|2x2x|x1 或 x3 x|2x1故选 A. 11某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不 喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 答案12 解析设两项运动都喜欢的人数为
21、 x，画出 Venn 图得到方程 15xx10 x830 x3， 所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15312(人) 12设集合 Mx|3x7，Nx|2xk0，若 MN，则实数 k 的取值范围为 _ 答案k6 解析因为 Nx|2xk0 x|xk 2， 且 MN，所以k 23k6. 13设集合 Mx|2x25x30，Nx|mx1，若 NM，则实数 m 的 取 值 集 合 为 _ 答案2,0，1 3 解析集合 M3，1 2若 NM，则 N3或 1 2或.于是当 N3时，m 1 3；当 N 1 2时，m2；当 N时，m0.所以 m 的取值集合为2,0， 1 3 14已知集合 P 中元素
22、x 满足：xN，且 2xa，又集合 P 中恰有三个元素，则整数 a _. 答案6 解析xN,2xa，且集合 P 中恰有三个元素， 结合数轴知 a6. 15已有集合 Ax|x24x30，Bx|mx30，且 BA，求实数 m 的集合 解由 x24x30，得 x1 或 x3. 集合 A1,3 (1)当 B时，此时 m0，满足 BA. (2)当 B时，则 m0，Bx|mx30 3 m . BA，3 m1 或 3 m3，解得 m3 或 m1. 综上可知，所求实数 m 的集合为0,1,3 16已知 Ax|2x4，Bx|xa (1)若 ABA，求实数 a 的取值范围； (2)若 AB，且 ABA，求实数 a 的取值范围 解(1)如图可得，在数轴上实数 a 在2 的右边，可得 a2； (2)由于 AB，且 ABA，所以在数轴上，实数 a 在2 的右边且在 4 的左边，可得 2a4. 17已知 Ax|1x3，Bx|mx13m (1)当 m1 时，求 AB； (2)若 BRA，求实数 m 的取值范围 解(1)m1，Bx|1x4， ABx|1x4 (2)RAx|x1，或 x3 当 B时，即 m13m 得 m1 2，满足 B RA， 当 B时，使 BRA 成立， 则 m13m， 13m1 或 m13m， m3， 解得 m3. 综上可知，实数 m 的取值范围是 m|m3，或 m1 2 .
