1、心之所向，素履以往_湖南邵阳杨歆琪 20180528 一类条件型最值问题的再认识 多元函数最值的求法是高中阶段比较复杂的一类问题，然而它之所以复杂，是因为教材上没有相关的内容， 需要我们自己设法转化到我们熟悉的问题。就鄙人来看，转化思路大致分为三种； 其一是消元，减少变量的个数，将问题转化为函数的最值问题; 其二是整体配凑，通过将条件式和目标式变形整理，再利用常见的不等式将条件式和目标式联系起来; 其三是逆向思考，探究目标式取哪些值时，条件式可以成立（有解）. 正巧昨天有位苏州的朋友跟我探讨起下面这道题，鄙人又有一些新的体会，遂记之. 题目：已知,Ra b，ab，若 22 240aabb，则2
2、ab的最小值为_. 想法一：消元 条件式是二次方程，而解二次方程正是我们的拿手好戏，因此消元是一个行之有效的方法. 由条件可以解得 2 932 4 bb a ， 这里就产生了根的取舍问题，我们先看看是否能舍去一个，实在不行再分类讨论，注意到ab，所以 22 9323932 0 44 bbbb abb ， 而 22 22 393239330 393239330 bbbbbb bbbbbb ， 所以只能是 2 932 4 bb a ，且b可取任意实数，于是 22 932932 2 22 bbbb abb ， 因此问题转化为求函数 2 932f bbb的最小值， 这个函数的值域有多种求法， 但不是本
3、文关注的重点， 这里我们只采用求导的方法： 2 9 1 932 b fb b ， 令 0fb，解得 2 3 b ，易知 min 2216 6 333 f bf ， 因此2ab的最小值为 8 3 . 整个过程如行云流水，没有太大的难度，应是每个高三学生应该掌握的方法. 但大部分人虽然知道消元是解 决多元最值问题的一种常用手段， 也不会用来做这道题. 究其原因， 无非是被将要出现根式吓破了胆罢了. 因此， 我想说一句，有些时候我们并不是缺少方法，而是缺少迎接困难的勇气. 心之所向，素履以往_湖南邵阳杨歆琪 20180528 想法二：配凑 有一定代数功底的人应不难看出，条件式中的 22 2aabb恰
4、好可以因式分解成2abab，出现了因式 ab，而这也正是题干给出条件“ab”的原因所在，由它可以确定,2abab都为正数. 现在的问题就是如何将,2abab与2ab联系起来. 根据“基底”的思想，2ab一定可以用ab和2ab线性表示，不妨引入参数, ，使得 22ababab， 比较对应的系数，可得 22 1 ， 解得 4 3 1 3 ， 所以 41118 22422 42 33333 ababababababab ， 取等条件不再赘述. 除了寻找2ab与,2abab的直接联系之外，还可以通过一个中间变量架起它们之间的桥梁，因为 24abab，于是可设 4 2 abt ab t （其中0t ）
5、， 解之，可得 14 3 22 3 at t bt t ， 于是 242222418 22 33333 abtttt tttt ， 取等条件显而易见，为1t . 想法三：齐次化 上述过程看起来非常舒服，但是这样操作的前提是条件式可以因式分解，如果不能分解呢，该如何寻找条件 式 22 24aabb和目标式2ab之间的联系. 注意到 22 2aabb是关于, a b的齐二次多项式，2ab是关于, a b的齐一次多项式，目标式平方之后也变成了 关于, a b的齐二次多项式，两个齐二次多项式的关系，我们是不陌生的. 心之所向，素履以往_湖南邵阳杨歆琪 20180528 想一想，如何寻找 22 2aab
6、b、 2 2ab之间的关系？ 请看下面这个式子： 22 2222 9 216 242025250abaabbaabbab， 由此可得 2 22 16 22 9 abaabb， 看起来非常神奇，常数 16 9 是怎么发现的呢？通常看起来突兀的配凑都是由待定系数法得到的，具体到本题， 我们引入参数m，使得 2 22 22abmaabb这个多项式的判别式为零，即可得到m. 除此之外，利用作商，可以实现双变量到单变量的转化，这也是我们进行齐次化的原因之一： 2 2 222 222222 44 24444 222 2 bb abaabbttb aa t aabbaabbtta bb aa ， 之所以令
7、b t a ，而不是 a t b ，是因为从条件式中不难得知a一定不等于 0，而b可能等于 0. 因为 2 22 20,20abaabb，所以 2 2 44 0 2 tt tt ，解得21t ， 易知函数 2 2 44 21 2 tt f tt tt 的最小值为16 9 ，从而也得到 2 22 16 22 9 abaabb. 后面这种作商的手法适用性更广一些，它可以用来探究任意次多项式之间的关系，而前面那种判别式法（或 称为均值配凑法）则只适用于二次式.比如，将原题进行如下改编，则只能将目标式立方之后，再与条件式作商， 转化为单变量的问题了. 原题变式 1：已知0ab，且 323 2280aa
8、 bb，则2ab的最小值为_. （提示：1 a t b ， 333 32332 222116 282217 ababt aa bbtt ，当 3 2 t 时取得等号） 想法四：逆向思考 我们先来看这样一个问题： 原题变式 2：已知,Ra b，ab，若21ab，则 22 24aabb的取值范围是_. 这个变式题的解决方法很简单，易知21baa ，所以1a ，于是 2 2 2222 55555 242212144554 81616 aabbaaaaaaa ， 所以 22 24aabb的取值范围是 55 , 16 ， 0 不在其中， 因此如果,Ra b，ab， 且 22 240aabb， 则2ab必
9、不等于 1. 心之所向，素履以往_湖南邵阳杨歆琪 20180528 再来看这样一个问题： 原题变式 3：已知,Ra b，ab，若2abt（t为常数） ，且0在 22 24aabb的取值范围中，则t的取 值范围是_. 这个问题和原题等价， 它在变式 2 的基础上推广到一般情形， 把t当作常数， 则易得2bata ， 所以at， 于是 2 22222 242224454aabbaaatatatat ， 其中,at ，抛物线对称轴为 5 8 t a . 当0t 时， 22 22222 16425 9 244544 1616 tt aabbatatt ，即 22 24aabb的取值范围 是 2 9 ,
10、4 16 t ，欲使得 2 9 0,4 16 t ，则 2 9 40 16 t ，解得 8 3 t . 当0t 时， 222222 244544544aabbatattt tt ，即 22 24aabb的取值范围是 , 4 ，故 2 9 0,4 16 t . 由此可见，当且仅当 8 3 t ，即 8 2 3 ab时， 22 24aabb才有可能等于 0，因此2ab的最小值就是 8 3 . 上面是从值域的角度来探究的，也可以从方程的角度来探究： 问题即求t的取值范围，使得方程 22 4540atat在,at 上有解，利用判别式法易知 2 22 51649640ttt ，解得 8 3 t 或 8
11、3 t ，作为填空题，答案已经呼之欲出了，就是 8 3 ，这是因为 ,at 这个限制条件得到的不等式不含等号，其解集一定是开区间，不足以产生最值. 当然作为解答题，则需要考虑得更加严谨，利用较大的根小于t进行限制： 2 5964 8 tt t ， 即 2 3916tt， 所以必有0t ，故舍去 8 3 t ，保留 8 3 t . 笔者今天才意识到，我们平时用得非常顺手的判别式法实则蕴含了“逆向思考”的数学思维. 细思之，其实 逆向思考可以解决很多问题，比如简单的线性规划，如： 题：已知 12 11 xy xy ，求2xy的取值范围. 解：设2xyt，依题意可知不等式组 12 11 2 xy xy xyt 心之所向，素履以往_湖南邵阳杨歆琪 20180528 有解，消去y并整理，可知不等式组 21 11 33 txt tt x ， 有解，所以 11 2 33 tt t 或 11 1 33 tt t ， 解得 7 1 2 t ，故2xy的取值范围是 7 1, 2 . 小结 通过对这道题的梳理，对以前一些本就知道的齐次化、判别式法理解得更加深刻，希望以后有更多的时间进 行这方面的梳理，逐渐形成自己的思维与研究体系，加油！
