1、第第 2 课时课时三角函数的应用三角函数的应用(二二) 学习目标1.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.2.体会三角函数是描述周 期变化现象的重要函数模型 一、三角函数图象类问题 例 1如图所示，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转 一周，点 P 所旋转过的弧 AP的长为 l，弦 AP 的长为 d，则函数 df(l)的图象大致是() 答案C 解析设AP所对的圆心角为，则l， 弦 AP 的长 d2|OA|sin 2， 即有 df(l)2sin l 2. 反思感悟解决函数图象与实际问题对应问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性 质解决，充分利
2、用图象中的几何关系此外特殊点也可以作为判断的好方法 跟踪训练 1如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( 2， 2)， 角速度为 1 rad/s，那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为() 答案C 二、三角函数在生活中的应用 例 2(教材 245 页例 1 改编)某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满 足函数关系：f(t)102sin 12t 3 ，t0,24 (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于 11 ，则在哪段时间实验室需要降温？ 解(1)因为 f(t)102sin 12t 3 ，t0
3、,24， 所以 3 12t 3 7 3 ，1sin 12t 3 1， 当 t2 时，sin 12t 3 1； 当 t14 时，sin 12t 3 1， 所以 f(t)在0,24上的最大值为 12，最小值为 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ，最低温度为 8 ，最大温差为 4 . (2)依题意，得当 f(t)11 时实验室需要降温 f(t)102sin 12t 3 ， 故有 102sin 12t 3 11， 即 sin 12t 3 1 2 . 又 0t24，因此，7 6 12t 3 11 6 ， 即 10t0，0)，x0,4的图象，且图象的最高 点为 S(3,2 3)， 赛道的后一部分为折
4、线段 MNP， 为保证参赛运动员的安全， 限定MNP120. 求 A，的值和 M，P 两点间的距离 解依题意，知 A2 3，T 43，所以 T12. 又因为 T2 ，所以 6. 所以 y2 3sin 6x. 当 x4 时，y2 3sin 2 3 3， 所以点 M 的坐标为(4,3) 又因为点 P 的坐标为(8,0)， 所以|MP| 8420325(km) 1知识清单： (1)三角函数在生活中的应用 (2)三角函数在几何中的应用 2方法归纳：数学建模、数形结合 3常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际生话 1函数 yxsin |x|，x，的大致图象是() 答案C 2.如图，某港口一天
5、 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin 6xk.据此函数 可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为() A5B6C8D10 答案C 解析根据图象得函数的最小值为 2， 有3k2，k5，最大值为 3k8. 3某艺术展览馆在开馆时间段(9：0016：00)的参观人数(单位：千)随时间 t(单位：时)的 变化近似满足函数 f(t)Asin 3t 11 65(A0,9t16)，且下午两点整参观人数为 7 千，则 开馆中参观人数的最大值为() A1 万B9 千C8 千D7 千 答案B 解析由题意知当 t14 时，f(t)7. 即 Asin 17 6 57，A4， 当 9t16 时，
6、3t 11 6 7 6 ，7 2 ， 当 3t 11 6 5 2 时，f(t)取得最大值，且最大值为 459. 4某星星的亮度变化周期为 10 天，此星星的平均亮度为 3.8 星等，最高亮度距离平均亮度 0.2 星 等 ， 则 可 近 似 地 描 述 此 星 星 的 亮 度 与 时 间 之 间 关 系 的 一 个 三 角 函 数 为 _ 答案y0.2sin 5t3.8 解析设所求函数为 yAsin(t)b， 由题意得 T10，即 5，A0.2，b3.8， 故 y0.2sin 5t3.8. 课时对点练课时对点练 1.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造
7、自然的象征如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 M( 2， 2)出发，沿圆周按逆时 针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒，经过 t 秒后，水斗旋转到点 N(x，y)，其纵坐标满 足 yf(t)Rsin(t) t0，0，| 2 ，则函数 f(t)的解析式为() Af(t)2sin 30t 4Bf(t) 2sin 30t 4 Cf(t)2sin 60t 4Df(t)2sin 30t 6 答案A 解析由题意，知 R 22 222， 旋转一周用时 60 秒，T602 ， 30， 又由题意知 f(0) 2， 2sin 2， 又|0，0)的 图象，则当 t 1 50秒时，电流强度是_安 答案5
8、解析由图象可知，A10， 周期 T2 4 300 1 300 1 50， 所以2 T 100， 所以 I10sin 100t 6 . 当 t 1 50秒时，I10sin 2 6 5(安) 8如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(米)在某天 024 时的变化情况，则水 面高度 h 关于时间 t 的函数关系式为_ 答案h6sin 6t(0t24) 解析设 hAsin(t)， 由图象知 A6，T12， 2 12，即2 12 6. 点(6,0)为五点法作图中的第一点， 故 660，得， h6sin 6t6sin 6t(0t24) 9通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数 yA
9、sin(x)b 的图 象某年 2 月下旬某地区连续几天最高温度都出现在 14 时，最高温度为 14 ；最低温度出 现在凌晨 2 时，最低温度为零下 2 . (1)求出该地区该时段的温度函数 yAsin(x)b(A0，0，|，x0,24)的解析式； (2)29 日上午 9 时某高中将举行期末考试，如果温度低于 10 ，教室就要开空调，请问届时 学校后勤应该开空调吗？ 解(1)由题意知 Ab14， Ab2， 解得 A8， b6， 易知T 2142，所以 T24，所以 2 T 12， 因为当 x2 时，y2，所以 8sin 12262， 即 sin 61， 故 6 22k，kZ， 又|，得2 3 ，
10、 所以 y8sin 12x 2 3 6(x0,24) (2)因为当 x9 时，y8sin 129 2 3 6 8sin 126 2时，BON 2， hOABN3030sin 2 ， 当 00，0)， 现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t150(天)时达到最低油价，则的最小值为 _ 答案 1 120 解析因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律： PAsin t 4 60， 最高油价 80 美元， 所以 A20. 当 t150(天)时达到最低油价， 即 sin 150 4 1， 此时 150 42k 2，kZ， 因为0，所以令 k1， 得 150 42 2，解得 1 120. 故的最
11、小值为 1 120. 15海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出 港航行某船吃水深度(船底与水面距离)为 4 米，安全间隙(船底与海底距离)为 1.5 米，该船 在 2：00 开始卸货，吃水深度以 0.3 米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如 下表所示，若选择 yAsin(x)K(A0，0)拟合该港口水深与时间的函数关系，则该 船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在(要考虑船只驶出港口需要一定时间)() 时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00 水深5.07.55.02.55.07.55.02.5
12、5.0 A.5：00 至 5：30B5：30 至 6：00 C6：00 至 6：30D6：30 至 7：00 答案C 解析由表格可得 T122 ，则 6，又 AK7.5，AK2.5，联立，解得 A2.5，K5，yf(x)2.5sin 6x5，由 f(3)2.5sin 6357.5，得 cos 1， 取0，yf(x)2.5sin 6x5.设在时刻 x 时货船的安全水深为 y 米，那么 y5.50.3(x 2)(x2)在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可看到在 67 时之间两个函数图象 有一个交点，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在 6：006：30 之间 16据市场调查，某种商品一
13、年内每月的价格满足函数关系式：f(x)Asin(x) B A0，0，| 2 ，x 为月份已知 3 月份该商品的价格首次达到最高，为 9 万元，7 月份 该商品的价格首次达到最低，为 5 万元 (1)求 f(x)的解析式； (2)求此商品的价格超过 8 万元的月份 解(1)由题意可知T 2734，T8， 2 T 4. 又 95 2 B， 95 2 A， A2， B7， 即 f(x)2sin 4x7.(*) 又 f(x)过点(3,9)，代入(*)式得 2sin 3 4 79， sin 3 4 1，3 4 22k，kZ. 又|8， sin 4x 4 1 2， 62k 4x 4 5 6 2k，kZ， 可得5 38kx 13 3 8k，kZ. 又 1x12，xN*，x2,3,4,10,11,12. 即 2 月份、3 月份、4 月份、10 月份、11 月份、12 月份此商品的价格超过 8 万元
