1、课时作业(二十八)平面向量的概念及线性运算 基础过关组 一、单项选择题 1对于非零向量 a，b，“ab0”是“ab”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解析若 ab0，则 ab，所以 ab；若ab，则 ab，ab0 不一定成立，故前者是后者的 充分不必要条件。 答案A 2在正六边形 ABCDEF 中，BA CD FE () A0BBE CAD DCF 解析BA CD FE BA AF FE BE 。故选 B。 答案B 3在ABC 中，BD 2DC ，E 为 AD 的中点，则EB () A3 4AB 1 4AC B5 6AB 1 3AC C2 3AB
2、1 6AC D5 6AB 1 3AC 解析EB 1 2(BA BD )1 2AB 1 2 2 3BC 1 2AB 1 3(BA AC )5 6AB 1 3AC 。故选 D。 答案D 4.如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则OP OQ () AOH BOG CEO DFO 解析在方格纸上作出OP OQ ，如图所示，则容易看出OP OQ FO 。故选 D。 答案D 5.如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 的中点，CE 2DE ，若EF xAB yAD ，则 xy() A1B6 C1 6 D1 3 解析因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以AB DC ， AD B
3、C ， 因为CE 2DE ， 所以EF EC CF 2 3AB 1 2AD ，又因为EF xAB yAD ，所以 x2 3，y 1 2，所以 xy 1 6。 答案C 6在四边形 ABCD 中，AB a2b，BC 4ab，CD 5a3b，则四边形 ABCD 的形状是() A矩形B平行四边形 C梯形D以上都不对 解析由已知AD AB BC CD 8a2b2(4ab)2BC 。所以AD BC 。又AB 与CD 不平行，所 以四边形 ABCD 是梯形。 答案C 7在ABC 中，O 为ABC 的重心。若BO AB AC ，则2() A1 2 B1 C4 3 D4 3 解析如图，连接 BO 并延长交 AC
4、 于点 M，因为 O 为ABC 的重心，所以 M 为 AC 的中点，所以BO 2 3BM 2 3 1 2BA 1 2BC 1 3AB 1 3BC 1 3AB 1 3(AC AB )2 3AB 1 3AC ，又知BO AB AC ，所以2 3， 1 3，所以2 2 32 1 3 4 3。故选 D。 答案D 二、多项选择题 8(2021泰安模拟)下列各式中结果为零向量的是() AAB MB BO OM BAB BC CA COA OC BO CO DAB AC BD CD 解析对于 A，AB MB BO OM AB MB BM AB ，故结果不为零向量；对于 B，AB BC CA AC CA 0，
5、结果为零向量；对于 C，OA OC BO CO BO OA BA ，结果不为零向量；对于 D，AB AC BD CD AB BD (AC CD )AD AD 0，结果为零向量。故选 BD。 答案BD 9已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，b 共线的是() A2a3b4e 且 a2b2e B存在相异实数，使ab0 Cxayb0(其中实数 x，y 满足 xy0) D已知梯形 ABCD，其中AB a，CD b 解析对于 A，因为向量 a，b 是两个非零向量，2a3b4e 且 a2b2e，所以 a2 7e，b 8 7e，此 时能使 a，b 共线，故 A 正确；对于 B，由
6、平面向量共线定理知，存在相异实数，使ab0，则非零 向量 a，b 是共线向量，故 B 正确；对于 C，xayb0(其中实数 x，y 满足 xy0)，如果 xy0 则不能保 证 a，b 共线，故 C 不正确；对于 D，已知梯形 ABCD 中，AB a，CD b，AB，CD 不一定是梯形的上、下 底，故 D 不正确。故选 AB。 答案AB 10如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2CD，E 是 BC 边上一点且BC 3EC ，F 是 AE 的中点，则下列关系式正确的是() ABC 1 2AB AD BAF 1 3AB 1 3AD CBF 1 3AB 2 3AD DCF 1
7、6AB 2 3AD 解析对于 A，因为BC BA AD DC AB AD 1 2AB 1 2AB AD ，所以 A 正确；对于 B，因为AF 1 2AE 1 2(AB BE )1 2 AB 2 3BC ，而BC 1 2AB AD ，代入可得AF 1 3AB 1 3AD ，所以 B 正确；对于 C，因 为BF AF AB ，而AF 1 3AB 1 3AD ，所以BF 2 3AB 1 3AD ，所以 C 不正确；对于 D，因为CF CD DA AF 1 2AB AD AF ，而AF 1 3AB 1 3AD ，代入得CF 1 6AB 2 3AD ，所以 D 正确。 答案ABD 三、填空题 11已知向
8、量 e1，e2是两个不共线的向量，若 a2e1e2与 be1e2共线，则_。 解析因为 a 与 b共线，所以 axb， x2， x1， 故1 2。 答案1 2 12.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且AB a，AD b，则BE _。 解析BE BA AD 1 2DC ab1 2ab 1 2a。 答案b1 2a 13已知 O 为ABC 内一点，且 2AO OB OC ，AD tAC ，若 B，O，D 三点共线，则 t 的值为_。 解析设线段 BC 的中点为 M，则OB OC 2OM 。因为 2AO OB OC ，所以AO OM ，则AO 1 2AM 1 4(AB AC
9、)1 4 AB 1 t AD 1 4AB 1 4tAD 。由 B，O，D 三点共线，得1 4 1 4t1，解得 t 1 3。 答案 1 3 14在ABC 中，A60，A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB4，且AD 1 4AC AB (R)，则 AD 的长为_。 解析因为 B，D，C 三点共线，所以1 41，解得 3 4，如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB， AC 于点 M，N，则AN 1 4AC ，AM 3 4AB ，因为在ABC 中，A60，A 的平分线交 BC 于点 D，所以四 边形 ANDM 为菱形，因为 AB4，所以 ANAM3，AD3 3。 答案3 3 素养提升
10、组 15过ABC 的重心 G 作直线 l，已知 l 与 AB，AC 的交点分别为 M，N，S ABC SAMN 20 9 ，若AM AB ，则 实数的值为() A2 3或 2 5 B3 4或 3 5 C3 4或 2 5 D2 3或 3 5 解析设AN xAC ，由 G 为ABC 的重心，知AB AC 3AG ，即 1 3AM 1 3xAN AG 。因为 M，N，G 三 点共线，所以 1 3 1 3x1，即 x 31。因为 SABC SAMN 20 9 ，SABC1 2|AB |AC |sin A，SAMN1 2|AM |AN |sin A，所以 |AB |AC | |AM |AN | |AB
11、|AC | x|AB |AC | 1 x 20 9 ，即 202 319，解得 3 4或 3 5。故选 B。 答案B 16(2021深圳市统一测试)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线 上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线 定理。设 O，H 分别是ABC 的外心、垂心，且 M 为 BC 的中点，则() AAB AC 3HM 3MO BAB AC 3HM 3MO CAB AC 2HM 4MO DAB AC 2HM 4MO 解析设 G 为ABC 的重心，因为 M 为 BC 的中点，所以AG 2GM ，所以AM 3GM ，因为GO 1 2HG ， 所以HG 2 3HO ，因为HG GM HM ，HM MO HO ，所以2 3HO GM HM ，所以GM HM 2 3HO HM 2 3(HM MO )HM 2 3HM 2 3MO 1 3HM 2 3MO ，所以AB AC 2AM 6GM 6 1 3HM 2 3MO 2HM 4MO 。 故选 D。 答案D
