1、解答题必刷卷(六)概率与统计 1(2021武汉市质检)有人收集了某 10 年中某城市居民年收入(即该城市所有居民在一年内收入 的总和)与某种商品的销售额的相关数据如表： 第 n 年12345678910 年收入 x/ 亿元 32.031.033.036.037.038.039.043.045.0 x10 商品销售 额 y/万元 25.030.034.037.039.041.042.044.048.0y10 且已知错误错误!i380.0。 (1)求第 10 年的年收入 x10。 (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y 363 254xa ， 求该种商品第 1
2、0 年的销售额 y10； 若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：在线性回归方程y b xa 中，b 错误错误!，a y b x ；错误错误!2i10 x 2254.0，错误 错误!iyi12 875.0， 错误错误!yi340.0。 解(1)因为错误错误!i380.0， 所以 323133363738394345x10380，解得 x1046。 (2)由该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y 363 254xa 知b 363 254， 即b 错误错误!363 254， 即 12 87546y1010380 10
3、 340y10 10 254 363 254， 解得 y1051。 求得 x 38， y 39.1， 代入y 363 254xa 得 39.1363 25438a ， 解得a 15.21，所以y 363 254x15.21， 当 x40 时，y363 2544015.2141.96， 故若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是 41.96 万元。 2随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一。若一人报名参加了驾 驶证考试，要顺利拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试。在一次报名 中，每个学员有 5 次参加科目二考试的机会(这 5 次考试
4、机会中任何一次通过考试，就算顺利通过， 即进入下一科目考试；若 5 次都没有通过，则需重新报名)，其中前 2 次参加科目二考试免费，若前 2 次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交 200 元的补考费。某驾校对以往 2 000 个学员第 1 次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到下表： 男学员女学员 第 1 次考科目二人数1 200800 第 1 次通过科目二人数960600 第 1 次未通过科目二人数240200 若以上表得到的男、女学员第 1 次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过 科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立。现有一对夫妻同时在此驾校报
5、名参 加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完所 有机会为止，请回答下列问题： (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费的概率； (2)已知这对夫妻前 2 次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试 产生的补考费用之和为，求的分布列与数学期望。 解设事件Ai： 男性在第i次考科目二通过， 事件Bi： 女性在第i次考科目二通过， 其中i1,2,3,4,5。 (1)设事件 M：这对夫妻考科目二不需要交补考费， 解法一：则 P(M)P(A1B1A1B1B2A1A2B1A1A2B1B2)， 所以 P(M)P(A1B1)P
6、(A1 B1 B2)P(A1A2B1)P(A1A2 B1 B2)， 所以 P(M)4 5 3 4 4 5 1 4 3 4 1 5 4 5 3 4 1 5 4 5 1 4 3 4 9 10。 解法二：P(M)1P(A1 A2 )1P( B1B2)， 所以 P(M) 11 5 1 5 11 4 1 4 24 25 15 16 9 10。 (2)的可能取值为 400,600,800,1 000,1 200。 P(400)P(A3B3)4 5 3 4 3 5， P(600)P(A3B3B4A3A4B3)4 5 1 4 3 4 1 5 4 5 3 4 27 100， P(800)P( A3 A4 B3
7、B4A3 B3B4 A3A4 B3)1 5 4 5 1 4 3 4 4 5 1 4 1 4 1 5 1 5 3 4 11 100， P(1 000)P( A3 A4 B3B4 A3A4B3 B4)1 5 4 5 1 4 1 4 1 5 1 5 1 4 3 4 7 400， P(1 200)P( A3A4B3B4 )1 5 1 5 1 4 1 4 1 400。 所以的分布列为 4006008001 0001 200 P 3 5 27 100 11 100 7 400 1 400 E()4003 5600 27 100800 11 1001 000 7 4001 200 1 400510.5。 3
8、(2021安徽省示范高中联考)某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统 G 由 3 个电子元件组成， 各个电子元件能否正常工作的概率均为1 2， 且每个电子元件能否正常工作相互独立。 若系统 G 中有超过一半的电子元件正常工作，则系统 G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所 需费用为 500 元。 (1)求系统 G 不需要维修的概率； (2)该电子产品共由 3 个系统 G 组成，设为该电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布 列与期望； (3)为提高系统 G 正常工作的概率，在系统内增加 2 个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每 个新元件正常工作的概率均为 p，且新增元件后有超
9、过一半的电子元件正常工作，则系统 G 可以正 常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个系统 G 的正常工作概率？ 解(1)系统 G 不需要维修的概率为 C23 1 2 21 2C 3 3 1 2 31 2。 (2)设 X 为维修的系统个数，则 XB 3，1 2 ，且500X， P(Xk)Ck3 1 2 k 1 2 3k，k0,1,2,3。 所以的分布列为 05001 0001 500 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以的期望为 E()50031 2750。 (3)当系统 G 有 5 个电子元件时， 原来 3 个电子元件中至少有 1 个正常工作， 系统 G 才正常工作。 若原来 3 个
10、电子元件中有 1 个正常工作，同时新增的 2 个电子元件必须都正常工作， 则概率为 C131 2 1 2 2p23 8p 2； 若原来 3 个电子元件中有 2 个正常工作，同时新增的 2 个电子元件至少有 1 个正常工作， 则概率为 C23 1 2 21 2C 1 2p(1p)C23 1 2 21 2p 23 8(2pp 2)； 若原来 3 个电子元件都正常工作，则不管新增 2 个电子元件能否正常工作，系统 G 均能正常工 作，则概率为 C33 1 2 31 8。 所以新增 2 个电子元件后系统 G 能正常工作的概率为 3 8p 23 8(2pp 2)1 8 3 4p 1 8， 于是由 3 4
11、p 1 8 1 2 3 8(2p1)知， 当 2p10，即1 2p1 时， 可以提高整个系统 G 的正常工作概率。 4 (2021福州市质量检测)某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)招录 300 人， 其中 275 个高薪职位和 25 个普薪职位。实际报名人数为 2 000，考试满分为 400 分(一般地，对于一次成功的 考试来说，考试成绩应服从正态分布)。考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是 180 分，360 分及其以上的高分考生有 30 人。 (1)最低录取分数是多少？(结果保留整数) (2)考生甲的成绩为 286 分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说
12、明理由。 参考资料：当 XN(，2)时，令 YX ，则 YN(0,1)。当 YN(0,1)时，P(Y2.17)0.985， P(Y1.28)0.900，P(Y1.09)0.863，P(Y1.04)0.85。 解(1)设考生成绩为 X，依题意 X 应服从正态分布，即 XN(180，2)。 令 YX180 ，则 YN(0,1)。 由 360 分及其以上的高分考生有 30 人， 可得 P(X360) 30 2 000， 即 P(X360)1 30 2 0000.985， 亦即 P Y360180 0.985， 则360180 2.17，解得83， 所以 XN(180,832)。 设最低录取分数线为
13、x0， 则 P(Xx0)P Yx0180 83 300 2 000， P Y267，所以能被录取。 P(X286)P Y286180 83P(Y1.28)0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的 1 0.900.10。因为 2 0000.1200，所以考生甲大约排在第 200 名，排在 275 名之前，所以他能获 得高薪职位。 5(2021安徽高三联考)某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关 要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽取 960 人的血样进行化验，由于人数较 多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案。方案：将每个人的血样分别化验，这时
14、需要化验 960 次。方案：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血样混合在一起进行化验，如 果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血样就只需化验一次(这时认为每个人 的血样化验1 k次)；否则，呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组 k 个人的 血样总共需要化验 k1 次。 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的化验结果相互独立。 (1)设方案中，某组 k 个人中每个人的血样化验次数为 X，求 X 的分布列； (2)设 p0.1，试比较方案中，k 分别取 2,3,4 时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种
15、分 组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数) 解(1)设每个人的血样呈阴性的概率为 q，则 q1p。所以 k 个人的血样混合后呈阴性的概率 为 qk，呈阳性的概率为 1qk。 依题意可知 X 的可能取值为1 k，1 1 k，所以 X 的分布列为 X 1 k 11 k P(1p)k1(1p)k (2)方案中， 结合(1)知每个人的平均化验次数为 E(X)1 kq k 11 k (1qk)1 kq k1。 所以当 k2 时，E(X)1 20.9 210.69，此时 960 人需要化验的总次数为 9600.69662， k3 时，E(X)1 30.9 310.604 3，此时 960 人需要化验的总次数为 9600.604 3580， k4 时，E(X)1 40.9 410.593 9，此时 960 人需要化验的总次数为 9600.593 9570， 即当 k2 时化验次数最多，k3 时化验次数居中，k4 时，化验次数最少。 而采用方案则需化验 960 次， 故在这三种分组情况下，相比方案，当 k4 时化验次数最多可以平均减少 960
