1、第第 3 课时课时分段函数分段函数 学习目标1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分 段函数解决生活中的一些简单问题 导语 大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来 说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电 的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳 税等这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴 一、分段函数求值(范围)问题 问题函数 y x，x0， x，x0 是两个函数吗？ 提示是一个函数，只不过 x 的取值范围不同，解析式不同 知识梳
2、理 分段函数 (1)定义：象 y x，x0， x，x0 这样的函数称为分段函数； (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集 例 1已知函数 f(x) x1，x2， 3x5，2x2，不符合题意，舍去； 当2a2x，求 x 的取值范围 解当 x2 时，f(x)2x 可化为 x12x， 即 x1，所以 x2； 当2x2x 可化为 3x52x， 即 x5，所以2x2x 可化为 2x12x，则 x. 综上可得，x 的取值范围是(，2) 反思感悟(1)分段函数求值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一段区间 然后代入该段的解析
3、式求值，直到求出值为止当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次 求值 (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应 注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解 跟踪训练 1(1)已知 f(x) 1 2x1，x0， x12，x0， 使 f(x)1 成立的 x 的取值范围是() A4,2)B4,2 C(0,2D(4,2 答案B 解析当 x0 时，f(x)1 即 1 2x11，解得 x4,0； 当 x0 时，f(x)1 即(x1)21，解得 x0,2，综上，x4,2 (2)函数 f(x) x22，x2， 4 5x，
4、x2. 若 f(x0)8，则 x0_. 答案 6或 10 解析当 x02 时，f(x0)x2028，即 x206， x0 6或 x0 6(舍去)； 当 x02 时，f(x0)4 5x 08，x010. 综上可知，x0 6或 x010. 二、分段函数的图象及应用 例 2已知函数 f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即 f(x)和 g(x)中的较小者) (1)分别用图象法和解析式表示(x)； (2)求函数(x)的定义域，值域 解(1)在同一个坐标系中画出函数 f(x)，g(x)的图象如图. 由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图. 令x22x
5、，得 x2 或 x1. 结合图，得出(x)的解析式为(x) x22，x2， x，2x1， x22，x1. (2)由图知，(x)的定义域为 R，(1)1， (x)的值域为(，1 反思感悟分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象 (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制， 作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不 重不漏 跟踪训练 2函数 f(x)的图象如图所示，求函数 f(x)的值 解当 x2 时，设 f(x)cx
6、d，则 2cd4， 3cd6， 解得 c2， d0， 所以 f(x)2x， 所以 f(x) x2，x2. 三、分段函数在实际问题中的应用 例 3国家规定个人稿费纳税办法： 不超过 800 元的不纳税； 超过 800 元而不超过 4 000 元的 按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11.2%纳税已知某人出版一 本书，共纳税 420 元，则这个人应得稿费(扣税前)为() A2 800 元B3 000 元 C3 800 元D3 750 元 答案C 解析由题意知，纳税额 y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为 y 0，x800， 0.14
7、x800，8004 000， 当 8004 000 时，令 0.112x420， 解得 x3 750(舍) 反思感悟分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的 对应关系，而分段函数图象也需要分段画 (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区 间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式 跟踪训练 3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km 以内(含 5 km)，票价 2 元； (2)5 km 以上，每增加 5 km，票价增加 1 元(不足 5 km 的按 5 km 计算)
8、如果某条线路的总里程为 20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出 函数的图象 解设票价为 y 元，里程为 x 公里 由题意可知，自变量 x 的取值范围是(0,20 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式： y 2，0 x5， 3，5x10， 4，10 x15， 5，15x20. 函数图象如图 1知识清单： (1)分段函数的概念及求值 (2)分段函数的图象及应用 2方法归纳：分类讨论、数形结合法 3常见误区： (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实 (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式 1著名的 Dirichlet 函数 D
9、(x) 1，x 为有理数， 0，x 为无理数， 则 D(D(x)等于() A0B1 C. 1，x 为无理数， 0，x 为有理数 D. 1，x 为有理数， 0，x 为无理数 答案B 解析D(x)0,1，D(x)为有理数，D(Dx)1. 2一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到 达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近 似地刻画出这列火车的速度变化情况的是() 答案B 3已知函数 f(x) x2，x2， fx1，x2， 则 f(2)等于() A1B0C1D2 答案A 4函数 f(x) x2，x1， x2，1x2， 若
10、f(x)3，则 x 的值是_ 答案3 解析当 x1 时，x23，得 x1，舍去； 当1x1， 则 f(3)等于() A.1 5 B3C.2 3 D.13 9 答案C 2下列图象是函数 yx|x|的图象的是() 答案D 解析函数 yx|x| x2，x0， x2，x0， 若 f(a)4，则实数 a 等于() A4B2C4D2 答案AB 解析由 a0， a4 或 a0， a24， 得 a4 或 a2. 4设 xR，定义符号函数 sgn x 1，x0， 0，x0， 1，x0， 0，x0， x，x10. 由 y16m，可知 x10. 令 2mx10m16m，解得 x13. 6(多选)已知函数 f(x)的
11、图象由如图所示的两条线段组成，则() Af(f(1)3 Bf(2)f(0) Cf(x)x12|x1|，x0,4 Da0，不等式 f(x)a 的解集为 1 2，2 答案AC 解析因为 f(1)0，f(0)3，所以 f(f(1)3，A 正确； f(0)3,0f(2)3，所以 f(2)f(0)，B 错误； 由题图得，当 x0,1时，设解析式为 yk1xb1(k10)，图象经过(1,0)，(0,3)，所以 k1b10， b13， 解得 k13， b13， 所以 y33x； x1,4时，设解析式为 yk2xb2(k20)，图象经过(1,0)，(4,3)，所以 k2b20， 4k2b23， ，解 得 k2
12、1， b21， 所以解析式为 yx1；即 f(x)x12|x1|，x0,4，C 正确； 由 C 得 f(2)211，f 1 2 33 2 3 2，如图， 所以不存在大于零的 a，使得不等式 f(x)a 的解集为 1 2，2，故 D 错误 7某商品的单价为 5 000 元，若一次性购买超过 5 件，但不超过 10 件时，每件优惠 500 元； 若一次性购买超过 10 件，则每件优惠 1 000 元某单位购买 x 件(xN*，x15)，设总购买 费用是 f(x)元，则 f(x)的解析式是_ 答案f(x) 5 000 x，x1，2，3，4，5， 4 500 x，x6，7，8，9，10， 4 000
13、x，x11，12，13，14，15 解析当 x5，xN*时，f(x)5 000 x；当 5x10，xN*时，f(x)(5 000500)x4 500 x； 当 10 x15，xN*时，f(x)(5 0001 000)x4 000 x. 8.已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是_ 答案f(x) x1，1x0， x，0 x1 解析由题图可知，图象是由两段组成， 当1x0 时，设 f(x)axb， 将(1,0)，(0,1)代入解析式， 则 ab0， b1， a1， b1. 当 0 x1 时，设 f(x)kx， 将(1，1)代入，则 k1. f(x) x1，1x0， x，0 x1.
14、 9已知函数 f(x)1|x|x 2 (2x2) (1)用分段函数的形式表示函数 f(x)； (2)画出函数 f(x)的图象； (3)写出函数 f(x)的值域 解(1)当 0 x2 时，f(x)1xx 2 1， 当2x0 时，f(x)1xx 2 1x. 所以 f(x) 1，0 x2， 1x，2x0. (2)函数 f(x)的图象如图所示 (3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3) 10 中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 5 000 元的部分 不必纳税，超过 5 000 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额税率 不超过
15、3 000 元的部分3% 超过 3 000 元至 12 000 元的部分10% 超过 12 000 元至 25 000 元的部分20% 某职工每月收入为 x 元，应交纳的税额为 y 元 (1)请写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)有一职工八月份交纳了 54 元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 解(1)由题意， 得 y 0，0 x5 000， x5 0003%，5 000 x8 000， 90 x8 00010%，8 000 x17 000， 990 x17 00020%，17 000 x30 000. (2)该职工八月份交纳了 54 元的税款， 5 0001， 则 f 1 f2 的
16、值为() A.15 16 B27 16 C.8 9 D18 答案A 解析当 x1 时，f(x)x2x2， 则 f(2)22224， 1 f2 1 4， 当 x1 时，f(x)1x2， f 1 f2 f 1 4 1 1 16 15 16. 12设函数 f(x) 1 2x1，x0， 1 x，x0， 若 f(a)a，则实数 a 的值为() A1B1C2 或1D1 或2 答案B 解析由题意知，f(a)a，当 a0 时，有 1 2a1a，解得 a2，不满足条件，舍去；当 a0 时，有1 aa，解得 a1(不满足条件，舍去)或 a1.所以实数 a 的值是1. 13AQI 表示空气质量指数，AQI 的数值越
17、小，表明空气质量越好，当 AQI 的数值不大于 100 时称空气质量为“优良”如图是某地 3 月 1 日到 12 日 AQI 的数值的统计数据，图中 点 A 表示 3 月 1 日的 AQI 的数值为 201.则下列叙述不正确的是() A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 3 月 9 日 C从 3 月 9 日到 12 日，空气质量越来越好， D从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好 答案C 14 已 知 函 数 f(x) 3x22x，x1， 2x23，x1， 则 使 f(x)2 成 立 的 x 的 值 组 成 的 集 合 为 _ 答案x|x 2
18、2 或 2 2 x1 7 3 解析由题意可得 x1， 3x22x2 或 x1， 2x232. 由 x1， 3x22x2 解得 1x1 7 3 ； 由 x1， 2x232 解得 x 2 2 或 2 2 x1. 综上所述，使 f(x)2 成立的 x 的值组成的集合为 x|x 2 2 或 2 2 x1 7 3. 15设 xR，则函数 y2|x1|3|x|的值域为_ 答案y|y2 解析当 x1 时，y2(x1)3xx2； 当 0 x1 时，y2(x1)3x5x2； 当 x0 时，y2(x1)3xx2.故 y x2，x1， 5x2，0 x1， x2，x0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示 由图象可
19、以看出，函数的值域为y|y2 16如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系骑车者 9 时离开家，15 时回 家根据这个曲线图，请你回答下列问题： (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11：00 到 12：00 他骑了多少千米？ (5)他在 9：0010：00 和 10：0010：30 的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？ 解(1)最初到达离家最远的地方的时间是 12 时，离家 30 千米 (2)10：30 开始第一次休息，休息了半小时 (3)第一次休息时，离家 17 千米 (4)11：00 至 12：00 他骑了 13 千米 (5)9：0010：00 的平均速度是 10 千米/时；10：0010：30 的平均速度是 14 千米/时 (6)从 12 时到 13 时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形
