1、章末复习课 第二章 直线和圆的方程 随堂演练 一、两直线的平行与垂直 二、两直线的交点与距离问题 三、直线与圆的位置关系 内容索引 四、圆与圆的位置关系 知识网络 知识网络 一、两直线的平行与垂直 1.判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1k2l1l2. (2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1k21l1l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2.讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养. 3 当22aa，即a2时， AB和CD不平行； 即a22a30. a3或a1. AB与
2、CD平行. AB与CD重合. 当a3时，直线AB和直线CD平行. (2)若点A(4，1)在直线l1：axy10上，则l1与l2：2xy30的位 置关系是_. 解析将点A(4，1)的坐标代入axy10， 垂直 12 ll k k 反思感悟一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为0)，l2：A2x B2yC20(A2，B2不同时为0)，则l1l2A1B2A2B10且C1B2 C2B10，l1l2A1A2B1B20. 跟踪训练1(1)已知直线l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10.若 l1l2，则实数a的值为_. (2)已知两直线l1：x
3、my60，l2：(m2)x3y2m0，若l1l2，则 m_. 解析因为直线xmy60与(m2)x3y2m0平行， 3 1 二、两直线的交点与距离问题 1.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离 涵盖直线的所有问题. 2.两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养. 例2(1)若点(1，a)到直线yx1的距离是 则实数a的值为 A.1 B.5 C.1或5 D.3或3 解得a1或a5， 实数a的值为1或5. (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得 的线段被点P平分，求直线l的方程. 解设l1与l的交点为A(a，82a)， 则
4、由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100， 解得a4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x4y40. 反思感悟 跟踪训练2(1)设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已知 a，b是关于x的方程x2x20的两个实数根，则这两条直线之间的距 离为 解析根据a，b是关于x的方程x2x20的两个实数根， 可得ab1，ab2， a1，b2或a2，b1，|ab|3， (2)已知直线l过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且 点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为 A.0 B.1 C.2 D.3 所以满
5、足条件的直线l有2条.故选C. 方法二依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x3y8(x 2y3)0(R)，即(2)x(32)y380. 代入得直线l的方程为y2或4x3y20，故选C. 三、直线与圆的位置关系 1.直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相离. (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一 元二次方程，其判别式为.0直线与圆相切；0直线与圆相交； 0直线与圆相离. 2.研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心 素养. 例3已知直线l：2mxy8m30和圆C：x2y26
6、x12y200. (1)当mR时，证明l与C总相交； 证明直线的方程可化为y32m(x4)， 由点斜式可知，直线恒过点P(4，3). 由于42(3)26412(3)20150， 所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交. (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？并求此弦长. 解圆的方程可化为(x3)2(y6)225. 如图，当圆心C(3，6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短. 此时PCl， 反思感悟直线与圆问题的类型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得. (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式 求解. 跟踪训练3已知圆C关于直线xy20对称，
7、且过点P(2,2)和原点O. (1)求圆C的方程； 解由题意知，直线xy20过圆C的圆心，设圆心C(a，a2). 由题意，得(a2)2(a22)2a2(a2)2， 解得a2. 因为圆心C(2,0)，半径r2， 所以圆C的方程为(x2)2y24. (2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(1,0)，若l1，l2被圆C所截得的弦 长相等，求此时直线l1的方程. 解由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0， 所以l1：yk(x1)，即kxyk0， 由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等， 所以直线l1的方程为xy10或xy10. 四、圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离
8、与两半径和与差的大小关系 判断两圆的位置关系. 2.圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养. 例4已知圆C1：x2y24x4y50与圆C2：x2y28x4y70. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； 解把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)213，(x 4)2(y2)213. 所以圆C1与圆C2相切. 即3x2y30，就是过切点的两圆公切线的方程. (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 解由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2y24x4y5(3x2y3)0. 反思感悟两圆的公共弦问题 (1)若圆C1：x2y
9、2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF2 0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F2 0. (2)公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公 式求出弦长. 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦 心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 跟踪训练4(1)已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270 相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为_. 解析AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2. 又C1(3,0)，C2(0,3)， 所以C1C2所在直线的方程为xy30. xy30 (2
10、)已知圆C1：x2y24x2y0与圆C2：x2y22y40. 求证：两圆相交； 证明圆C1的方程可化为(x2)2(y1)25，圆C2的方程可化为x2(y 1)25， 两圆相交. 求两圆公共弦所在直线的方程. 解将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，(x2y2 4x2y)(x2y22y4)0， 即xy10. 随堂演练 1.若直线3x4ym0与圆x2y22x4y10没有公共点，则实数m 的取值范围是 A.5m15 B.m15 C.m13 D.4m13 1234 解析圆x2y22x4y10的圆心为(1，2)，半径为2， m15.故选B. 2.“m2”是“直线l1：mx4y60与直线l2：
11、xmy30平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析若直线l1：mx4y60与直线l2：xmy30平行，则m24，可 得m2. 当m2时，直线l1：2x4y60，直线l2：x2y30，两直线重合， 不符合题意. 所以“直线l1：mx4y60与直线l2：xmy30平行”等价于“m2”. 所以“m2”是“直线l1：mx4y60与直线l2：xmy30平行” 的充要条件. 1234 3.(多选)点P是直线xy30上的动点，由点P向圆O：x2y24作切线， 则切线长可能为 1234 解析根据题意，由点P向圆O：x2y24作切线，设T为切点， 圆O：x2y24，其圆心为(0,0)，半径r2， 当|PO|最小时，|PT|最小， 4.(多选)以下四个命题表述正确的是 A.直线mx4y120(mR)恒过定点(0,3) B.圆C：x2y22x8y130的圆心到直线4x3y30的距离为2 C.圆C1：x2y22x0与圆C2：x2y24x8y40恰有三条公切线 D.两圆x2y24x4y0与x2y22x120的公共弦所在的直线方程 为x2y60 1234 解析对于A选项，当x0时y3，所以直线过定点(0,3)，故A选项正确； 1234 本课结束 更多精彩内容请登录：
