1、3.1.1椭圆及其标准方程 第三章 3.1椭圆 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程. 学 习 目 标 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类 生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该 如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定 基础？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 三、椭圆的定义及其应用 内容索引 一、椭圆的定义 问题1取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅 笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把 细绳
2、的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔， 拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的 笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹 叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的 焦距，焦距的 称为半焦距. 注意点：注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 常数(大于|F1F2|) 两个定点 知识梳理 两焦点间的
3、距离 一半 二、椭圆的标准方程 问题2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程 形式简单？ 提示观察可以发现椭圆具有对称性， 而且过两焦点的直线是它的对称轴， 所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线 为y轴，建立平面直角坐标系Oxy， 如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(c，0)和F2(c，0). 根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等 于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P M|MF1|MF2|2a. 对方程两边平方，得 对方程两边平方，得 a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2， 整理，得(a2c2)x2a
4、2y2a2(a2c2)， 将方程两边同除以a2(a2c2)， 由椭圆的定义可知2a2c0 ，即ac0， 所以a2c20. 我们将方程称为焦点在x轴上的椭圆方程. 问题3如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标 分别是(0，c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的 方程是什么？ 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 _ 图形 焦点坐标_ a，b，c的关系_ F1(c，0)，F2(c，0) F1(0，c)，F2(0，c) 知识梳理 b2a2c2 注意点：注意点： (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 例1求适合下列条件的椭圆
5、的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 解因为椭圆的焦点在y轴上， 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 解因为椭圆的焦点在y轴上， 由椭圆的定义知， 又c2，所以b2a2c26， 由ab0，知不符合题意，故舍去； 当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn). 所以所求椭圆的方程为5x24y21， 反思感悟确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下， 确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求
6、解. 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程： 则a2b0矛盾，舍去. 方法二(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB). 所以其焦点在y轴上，且c225916. 因为c216，且c2a2b2，故a2b216. 三、椭圆的定义及其应用 从而|F1F2|2c6， 在F1PF2中， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|. 即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|. 由得|PF1|PF2|4. 12 F PF S 延伸探究若将本例中“F1PF260”变为“PF1F290”，求 F1P
7、F2的面积. 从而|F1F2|2c6. 在F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2， 即|PF2|2|PF1|236， 反思感悟椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角 形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积 公式等知识求解. 跟踪训练2设P为椭圆C： 上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、 右焦点，且PF1F2的重心为点G，若|PF1|PF2|34，那么GPF1的 面积为 A.24 B.12 C.8 D.6 |PF1|PF2|34，|PF1
8、|PF2|2a14， |PF1|6，|PF2|8. 12 PF F S 1 21 3 PF FGPF SS， PF1F2的重心为点G， GPF1的面积为8. 1.知识清单： (1)椭圆的定义及其应用. (2)椭圆的标准方程. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 课堂小结 随堂演练 1.设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的 轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 1234 解析|MF1|MF2|6|F1F2|， 动点M的轨迹是线段. 解析c1，由点P(2,0
9、)在椭圆上，可得a2，b23， 2.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 1234 3.若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.(0，) B.(0,2) C.(1，) D.(0,1) 1234 解析设在BC边上的另一个焦点为F， 1234 课时对点练 1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(3,0)，点P为一动点， 且|PA|PB|2a(a0)，下列说法中正确的是 A.当a2时，点P的轨迹不存在 B.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a3时，点P的轨迹
10、是以AB为直径的圆 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当a2时，2a4|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|6，B错误， C正确； 当a3时，2a6|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知F1，F2是椭圆 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两 点，若|AB|5，则|AF1|BF1|等于 A.9 B.10 C.11 D.12 解析根据椭圆定义，|AF1|AF2|
11、2a8，|BF1|BF2|2a8， 所以AF1B的周长为|AF1|BF1|AB|16， 所以|AF1|BF1|16|AB|11. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.设P为椭圆 上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则 |PF1|PF2|的最大值是 A.4 B.6 C.9 D.12 解析|PF1|PF2|2a6， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当|PF1|PF2|时取等号. 6.P是椭圆 上
12、一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若 |PF1|PF2|12，则F1PF2的大小为 A.60 B.30 C.120 D.150 12345678910 11 12 13 14 15 16 (|PF1|PF2|)264， |PF1|PF2|12，|PF1|2|PF2|240， 0F1PF2180， F1PF260. 7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为 则此椭圆的标准方程为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以b2a2c216151. 又椭圆的焦点在y轴上， 8.已知椭圆C： 点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1， F
13、2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|BN|_. 12 解析如图，取MN的中点G，G在椭圆C上， 因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 由|PF1|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴. 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上， (1)求椭圆M的标准方程； 12345678910
14、 11 12 13 14 15 16 解由题意，知椭圆N的焦点为(2,0)，(2,0)， (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且PF1F2的 面积为1，求点P的坐标. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另 一个焦点)， PF2x轴，点P的横坐标是3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15
15、16 解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义知|PA|PB|2a10， 连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点， 此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2r8. 延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点， 此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2r12， 即最小值和最大值分别为8,12. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.若椭圆3x2ty26的一个焦点为F(0,2)，则实数t_.1 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为其一个焦点为F(0,2)， 解析由椭圆的方程得a
16、5，b4，c3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 |BC|AB|2a10， 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设|BF2|2m，则|AF2|3m，|BF1|4m， 由椭圆定义知|BF1|BF2|AF1|AF2|6m， 所以|AF1|6m3m3m， 所以|AF1|AF2|， 故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，b)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得a25，又由c1，可得b2， 16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现， 12345678910 11 12 13 14 15 16 某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x 轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图 所示. (1)求曲线C的标准方程； 解由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c4， (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频 率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射 信号的时间比为53，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 12345678910 11 12 13 14 15 16 点P的坐标为(2,3)或(2，3). 本课结束 更多精彩内容请登录：
