1、题组层级快练题组层级快练(十九十九) 一、单项选择题 1(2021辽宁沈阳一模)设函数 f(x)xex1，则() Ax1 为 f(x)的极大值点 Bx1 为 f(x)的极小值点 Cx1 为 f(x)的极大值点 Dx1 为 f(x)的极小值点 答案D 解析由 f(x)xex1，可得 f(x)(x1)ex，令 f(x)0 可得 x1，即函数 f(x)在(1， )上单调递增；令 f(x)0 可得 x0，解得 3 x 2 ， 令 f(x)0，解得 0 x 3 ， 所以 f(x)在 0， 3 上单调递减，在 3 ， 2 上单调递增， 所以 f(x)minf 3 6 3 2 ，而 f(0)0，f 2 4
2、10，f(x)单调递增，当 x(1，4时，f(x)0，所以当 x0 时，f(x)有最小值，且最小值为 0.故 选 A. 5若函数 f(x)x33xa 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是() A(2，2)B2，2 C(，1)D(1，) 答案A 解析f(x)3x23， 令 f(x)0， 得 x1.三次方程 f(x)0 有 3 个根f(x)极大值0 且 f(x) 极小值0， f（1）a20， 2a2.故选 A. 6若函数 yax3bx2取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和1 3，则( ) Aa2b0B2ab0 C2ab0Da2b0 答案D 解析y3ax22bx，据题意，0，1
3、3是方程 3ax 22bx0 的两根，2b 3a 1 3，a2b 0.故选 D. 7设二次函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值， 则函数 yxf(x)的图象可能是() 答案C 解析由 f(x)在 x2 处取得极小值可知， 当 x2 时，f(x)0； 当2x0，则 xf(x)0； 当 x0 时，f(x)0，则 xf(x)0. 故选 C. 二、多项选择题 8已知函数 f(x)x3ax1，以下结论正确的是() A当 a0 时，函数 f(x)的图象的对称中心为(0，1) B当 a3 时，函数 f(x)在(1，1)上为单调递减函数 C若函数 f(x)
4、在(1，1)上不单调，则 0a3 D当 a12 时，f(x)在4，5上的最大值为 15 答案ABC 解析本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值yx3为 R 上的奇函数，其图象 的对称中心为原点，当 a0 时，根据平移知识，函数 f(x)的图象的对称中心为(0，1)，A 正确； 由题意知 f(x)3x2a，因为当1x1 时，3x23，又 a3，所以 f(x)0.令 f(x)0，解得 x 3a 3 .因为 f(x)在(1，1)上不单调，所以 f(x)0 在(1，1)上有解，所以 0 3a 3 1，解得 0a0，则 f(x)在0，)上单调递增显然 f(0)0，令 f(x)0，得 sinx1 x
5、，分别作出函数 ysinx，y 1 x的图象如图 由图可知，这两个函数的图象在区间2，2)上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共 点上都不相切，故 f(x)在区间2，2)上有 4 个极值点，且只有 2 个极大值点 三、填空题与解答题 10已知函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处取得极值 10，则 f(2)的值为_ 答案18 解析f(x)3x22axb， 由题意得 f（1）10， f（1）0，即 a2ab110， 2ab30， 解得 a4， b11或 a3， b3. 当 a3，b3 时，f(x)3(x1)20，f(x)无极值，故舍去 当 a4，b11 时，令 f(x)0，得 x11，x
6、211 3 . 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x ，11 3 11 3 11 3 ，1 1(1，) f(x)00 f(x)极大值极小值 f(x)x34x211x16，f(2)18. 11(2021内蒙古兴安盟模拟)已知 f(x)2x36x2m(m 为常数)，在2，2上有最大值 3， 那么此函数在2，2上的最小值为_ 答案37 解析由已知可得，f(x)6x212x，由 6x212x0 得 x2 或 x0， 因此当 x2，)，(，0时 f(x)单调递增，当 x0，2时 f(x)单调递减， 又因为 x2，2， 所以当 x2，0时 f(x)单调递增，当 x0，2时 f(x)单调
7、递减， 所以 f(x)maxf(0)m3，故有 f(x)2x36x23， 所以 f(2)37，f(2)5. 因为 f(2)37f(2)5，所以函数 f(x)的最小值为 f(2)37. 12(2018江苏)若函数 f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则 f(x)在 1，1上的最大值与最小值的和为_ 答案3 解析令 f(x)2x3ax210a2x 1 x2. 令 g(x)2x 1 x2(x0)，g(x)2 2 x30 x1g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单 调递增 有唯一零点，ag(1)213f(x)2x33x21. 求导可知在1，1上，f(x)minf(1)4
8、，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(x)max3. 13(2021广东省高二期末)已知函数 f(x)1 3x 34x3. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)求函数 f(x)在区间3，5上的最大值与最小值 答案(1)函数 f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，)，单调递减区间为(2，2) (2)函数 f(x)在区间3，5上的最大值为74 3 ，最小值为7 3 思路(1)求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间；(2)由(1)知，函数 f(x)在3，2) 上单调递增，在2，2上单调递减，在(2，5上单调递增，根据单调性可得最大最小值 解析(1)f(x)x24， 由 f(x)0，
9、得 x2 或 x2；由 f(x)0，得2x0，令 f(x)ex(x22)0，即 x220，解得 x 2. 令 f(x)ex(x22)0，即 x220，解得 2x 2. 所以函数 f(x)在(， 2)和( 2，)上单调递增，在( 2， 2)上单调递减 即函数 f(x)的单调递增区间为(， 2)，( 2，)，单调递减区间为( 2， 2) (2)当 0m 2时， 因为 f(x)在( 2， 2)上单调递减， 所以 f(x)在区间0，m上的最大值为 f(0)0， f(x)在区间0，m上的最小值为 f(m)(m22m)em. 当 22 时， 因为 f(x)在( 2， 2)上单调递减，f(x)在( 2，)上
10、单调递增，且 f(m)0f(0)， 所以 f(x)在0，m上的最大值为 f(m)(m22m)em，f(x)在区间0，m上的最小值为 f( 2) (22 2)e 2. 15(2021天水一中诊断)若函数 f(x)ax 2 2 (12a)x2lnx(a0)在区间 1 2，1内有极大值， 则 a 的取值范围是() A. 1 e，B(1，) C(1，2)D(2，) 思路把函数 f(x)在区间 1 2，1内有极大值的问题转化为导函数对应的方程在区间 1 2，1内 有解的问题，然后再通过分离参数的方法求出参数 a 的取值范围 答案C 解析由 f(x)ax 2 2 (12a)x2lnx(a0，x0)， 得导
11、数 f(x)ax(12a)2 x(x0)， 函数 f(x)ax 2 2 (12a)x2lnx(a0)在区间 1 2，1内有极大值， 方程 ax(12a)2 x0 在区间 1 2，1内有解， a1 x在区间 1 2，1内有解， 故 a1 x(1，2)， 则 a 的取值范围是(1，2)故选 C. 评说涉及函数的极值问题， 往往要使用导数这个解题的工具， 在解题时要注意运用等价转 化的解题思想 16(2016北京)设函数 f(x) x33x，xa， 2x，xa. (1)若 a0，则 f(x)的最大值为_； (2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1)2(2)(，1) 解析(1)
12、若 a0，则 f(x) x33x，x0， 2x，x0， 当 x0 时，2x0，得 x1，令 f(x)0，得1x0，所以函数 f(x)在 (， 1)上单调递增， 在(1， 0上单调递减， 所以函数 f(x)在(， 0上的最大值为 f( 1)2.综上可得，函数 f(x)的最大值为 2. (2)函数 yx33x 与 y2x 的大致图象如图所示， 由图可知当 f(x)无最大值时，a(，1) 17(2020衡水中学调研卷)已知函数 f(x)xlnx. (1)求函数 f(x)的极值点； (2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中 aR，求函数 g(x)在区间1，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数
13、) 答案(1)极小值点为 x1 e，无极大值点 (2)当 a1 时，g(x)min0，当 1a0， 由 f(x)0，得 x1 e. 所以 f(x)在区间 0，1 e 上单调递减，在区间 1 e，上单调递增 所以 x1 e是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在 (2)g(x)xlnxa(x1)， 则 g(x)lnx1a， 由 g(x)0，得 xea 1. 所以在区间(0，ea 1)上，g(x)单调递减， 在区间(ea 1，)上，g(x)单调递增 当 ea 11，即 a1 时，在区间1，e上，g(x)单调递增， 所以 g(x)的最小值为 g(1)0. 当 1ea 1e，即 1a2 时，g(x)的最小值为 g(ea1)aea1. 当 ea 1e，即 a2 时，在区间1，e上，g(x)单调递减，所以 g(x)的最小值为 g(e)ae ae. 综上，当 a1 时，g(x)的最小值为 0； 当 1a2 时，g(x)的最小值为 aea 1； 当 a2 时，g(x)的最小值为 aeae.
