1、题组层级快练题组层级快练(十七十七) 一、单项选择题 1yln 1 x的导函数为( ) Ay1 x By1 x CylnxDyln(x) 答案A 解析yln1 xlnx，y 1 x. 2曲线 yx1 x1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A2B2 C.1 2 D1 2 答案D 解析y（x1）（x1）（x1） （x1） （x1）2 2 （x1）2， 故曲线在(3， 2)处的 切线的斜率 ky|x3 2 （31）2 1 2，故选 D. 3函数 f(x)x(ex1)lnx 的图象在点(1，f(1)处的切线方程是() Ay2exe1By2exe1 Cy2exe1Dy2exe1 答案A 解析由函数
2、f(x)x(ex1)lnx 知 f(1)e1，f(x)ex1xex1 x，所以切线的斜率 k f(1)2e，在点(1，f(1)处的切线方程是 y(e1)2e(x1)，化简得 y2exe1.故 选 A. 4曲线 yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为() A.9 4e 2 B2e2 Ce2D.e 2 2 答案D 解析yex，故切线的斜率为 ke2，故切线方程为 ye2e2(x2)，化简得 ye2xe2. 令 x0，则 ye2；令 y0，则 x1.故切线与坐标轴所围三角形的面积为1 21e 2e2 2 . 故选 D. 5(2021陕西省榆林期中)在曲线 yx2上切线的倾斜角为 4
3、 的点是() A(0，0)B(2，4) C. 1 4， 1 16D. 1 2， 1 4 答案D 解析依题意 y2xtan 4 1，x1 2，此时 y 1 2 2 1 4.故选 D. 6若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为 2xy10，则() Af(x0)0Bf(x0)0 Cf(x0)0Df(x0)不存在 答案B 解析切线方程为 y2x1，f(x0)20 时，f(x)ex1，则曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为() Aexy10Bexy10 Cexy10Dexy10 答案A 解析f(1)f(1)(e1)1e，当 x0，f(x)e x1.f(x)是奇函 数，当 x0 时，f
4、(x)e x1，此时 f(x)ex，f(1)e.切线方程为：ye(x 1)1e，即 exy10.故选 A. 9(2021重庆一中模拟)已知 a，b 为正实数，直线 yxa 与曲线 yln(xb)相切，则1 a 1 b的最小值是( ) A2B4 2 C4D2 2 答案C 解析yln(xb)的导数为 y 1 xb，由切线的方程 yxa 可得切线的斜率为 1，可得 切点的横坐标为 1b，所以切点为(1b，0)，代入 yxa，得 ab1，又 a，b 为正实 数，则1 a 1 b(ab) 1 a 1 b 2b a a b22 b a a b4.当且仅当 ab 1 2时， 1 a 1 b取得最小 值 4.
5、故选 C. 10设函数 f(x)x，则 lim x0 f（1x）f（1） x () A0B1 C2D1 答案B 解析因为 f(x)x， 所以 lim x0 f（1x）f（1） x lim x0 1x1 x lim x0 x x1.故选 B. 二、多项选择题 11一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s1 3t 33 2t 22t，那么速度为零 的时刻可以是() A0 秒B1 秒末 C2 秒末D3 秒末 答案BC 解析s1 3t 33 2t 22t， vs(t)t23t2. 令 v0，得 t23t20，解得 t11，t22. 12 已知函数 f(x)及其导数 f(x)， 若存在
6、x0， 使得 f(x0)f(x0)， 则称 x0是 f(x)的一个“巧 值点”，下列四个函数中有“巧值点”的是() Af(x)x2Bf(x)e x Cf(x)lnxDf(x)tanx 答案AC 解析本题考查导数的运算f(x)x2，f(x)2x，x22x，解得 x0 或 x2，有“巧值 点”，故 A 正确； f(x)e x，f(x)ex，exex无解，无“巧值点”，故 B 错误； f(x)lnx，f(x)1 x，lnx 1 x，令 g(x)lnx 1 x，则 g(1)10，由零点存 在性定理可知 g(x)在(1，e)上必有零点，故 f(x)有“巧值点”，故 C 正确； f(x)tanx，f(x)
7、 1 cos2x， 1 cos2xtanx，sinxcosx1，即 sin2x2，无解，所以 f(x)无“巧 值点”，故 D 错误故选 AC. 三、填空题与解答题 13函数 f(x)ex 1lnx 的图象在 x1 处的切线方程为_ 答案y2x1 解析f(x)ex 11 x，f(1)2，切线的斜率 k2. 又 f(1)1，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. 14(2021湖北宜昌一中月考)若抛物线 yx2xc 上的一点 P 的横坐标是2，抛物线过 点 P 的切线恰好过坐标原点，则实数 c 的值为_ 答案4 解析y2x1，y|x25. 又 P(2，6c)，6c 2 5.c4. 15 (20
8、21重庆巴蜀期中)曲线 f(x)lnx1 2x 2ax 存在与直线 3xy0 平行的切线， 则实数 a 的取值范围是_ 答案(，1 解析由题意，得 f(x)1 xxa，故存在切点 P(t，f(t)，使得 1 t ta3，所以 3a1 t t 有解因为 t0，所以 3a2(当且仅当 t1 时取等号)，即 a1. 16(2021河北卓越联盟月考)已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标 答案(1)y13x32(2)y13x(2，26) 解析(1)根据题意，得 f(x)3x
9、21. 所以曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的斜率 kf(2)13，所以要求的切线的方程为 y 13x32. (2)设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x021， 所以直线 l 的方程为 y(3x021)(xx0)x03x016. 又直线 l 过点(0，0)，则(3x021)(0 x0)x03x0160， 整理得 x038，解得 x02， 所以 y0(2)3(2)1626，l 的斜率 k13， 所以直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) 17(2021江苏省南通市模拟)给出下列三个函数：y1 x；ysinx；ye x，则直线 y 1 2xb(bR)不能
10、作为函数_的图象的切线(填写所有符合条件的函数的序号) 答案 解析直线 y1 2xb 的斜率为 k 1 2. 对于y1 x，求导得：y 1 x2，对于任意 x0， 1 x2 1 2无解，所以，直线 y 1 2xb 不 能作为其切线； 对于ysinx，求导得：ycosx1 2有解，则直线 y 1 2xb 能作为其切线； 对于yex，求导得：yex1 2有解，则直线 y 1 2xb 能作为其切线 18(2021攀枝花市第十五中高二期中)设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的 切线方程为 3x2y40. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 yf(x)上任一点处
11、的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为 定值，并求此定值 答案(1)f(x)x2 x (2)证明见解析，4 解析(1)将点(2，f(2)的坐标代入直线 3x2y40 的方程得 f(2)1， f(x)axb x，f(x)a b x2， 又直线 3x2y40 的斜率为3 2， f（2）ab 4 3 2， f（2）2ab 21， 解得 a1， b2， 故 f(x)x2 x. (2)证明：设点 P(x0，y0)为曲线 yf(x)上任意一点，由(1)知 f(x)x2 x， f(x)1 2 x2，又 f(x 0)x0 2 x0， 曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程为 y x0 2 x0 1 2 x02(xx0)， 即 y 1 2 x02x 4 x0， 令 x0，得 y 4 x0，从而得出切线与 y 轴的交点坐标为 0， 4 x0， 联立 yx， y 1 2 x02x 4 x0， 解得 yx2x0， 从而切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0，2x0) 曲线 yf(x)在点 P 处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为 S 1 2 | 4 x0|2x0|4， 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值， 且此定值为 4.
