1、题组层级快练题组层级快练(四十八四十八) 一、单项选择题 1已知点 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 aOA OB OC ，向量 bOA OB OC ，则与 a，b 不能构成空间基底的向量是() A.OA B.OB C.OC D.OA 或OB 答案C 解析根据题意得OC 1 2(ab)，OC ，a，b 共面 2(2021福建南安一中段考)在平行六面体 ABCDABCD中，若AC xAB 2yBC 3zCC ，则 xyz() A.2 3 B.5 6 C.7 6 D.11 6 答案D 解析AC AB BC CC ， 又AC xAB 2yBC 3zCC ， x1， 2y1， 3z1， 即
2、x1，y1 2，z 1 3. xyz11 2 1 3 11 6 ，选 D. 3已知平面内有一个点 M(1，1，2)，平面的一个法向量是 n(6，3，6)，则下列点 P 在平面内的是() AP(2，3，3)BP(2，0，1) CP(4，4，0)DP(3，3，4) 答案A 解析n(6，3，6)是平面的法向量， nMP ，在选项 A 中，MP (1，4，1)，nMP 0. 4(2021广西桂林一中期中)若 a(2，3，m)，b(2n，6，8)，且 a，b 为共线向量，则 m n 的值为() A7B.5 2 C6D8 答案C 解析由 a，b 为共线向量，得 2 2n 3 6 m 8 ，解得 m4，n2
3、，则 mn6.故选 C. 5已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是() A. 3 3 ， 3 3 ， 3 3B. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 C. 3 3 ， 3 3 ， 3 3D. 3 3 ， 3 3 ， 3 3 答案D 解析AB (1，1，0)，AC (1，0，1)， 设平面 ABC 的一个法向量 n(x，y，z)， xy0， xz0. 令 x1，则 y1，z1，n(1，1，1) 单位法向量为： n |n| 3 3 ， 3 3 ， 3 3 . 6.已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是边 OA，CB 的中
4、点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG2GN，如图，则正确用向量OA ， OB ，OC 表示 向量OG 的是() A.OG OA 2 3OB 2 3OC B.OG 1 2OA 2 3OB 2 3OC C.OG 1 6OA 1 3OB 1 3OC D.OG 1 6OA 1 3OB 2 3OC 答案C 解析OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3(ON OM ) 1 2OA 2 3 1 2OB 1 2OC 1 2OA 1 6OA 1 3OB 1 3OC .选 C. 7已知AB (1，5，2)，BC (3，1，z)，若AB BC ，BP (x1，y，3)，且 BP平 面 ABC
5、，则实数 x，y，z 分别为() A.33 7 ，15 7 ，4B.40 7 ，15 7 ，4 C.40 7 ，2，4D4， 40 7 ，15 答案B 解析AB BC ，AB BC 0，即 352z0，得 z4，又 BP平面 ABC，BP AB，BPBC，又BC (3，1，4)， （x1）5y60， 3（x1）y120，解得 x40 7 ， y15 7 . 8.(2021成都调研)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M， N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN 2a 3 ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位 置关系是() A相交B平行 C垂直DMN 在平面
6、BB1C1C 内 答案B 解析MN MA1 A1A AN 1 3BA 1 A1A 1 3AC 1 3(B 1A1 B1B )B1B 1 3(AB AD ) 2 3B 1B 1 3B 1C1 ， MN ， B1B ，B1C1 共面 又 MN平面 B1BCC1， MN平面 BB1C1C. 9.(2021长沙模拟)如图， 正方形ABCD与矩形ACEF 所在平面互相垂直， AB 2， AF1， M在EF上， 且 AM平面 BDE， 则 M点的坐标为() A(1，1，1)B. 2 3 ， 2 3 ，1 C. 2 2 ， 2 2 ，1 D. 2 4 ， 2 4 ，1 答案C 解析 面 ABCD面 ACEF
7、，面 ABCD面 ACEFAC，ECCA， CE平面 ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系 设 ACBDO，连接 OE. AM平面 BDE，面 BDE面 ACEFOE， AMOE. O 是 AC 的中点，M 为 EF 中点 E(0，0，1)，F( 2，2，1)，M 点坐标为 2 2 ， 2 2 ，1 .选 C. 二、多项选择题 10下面四个命题中，真命题是() A若 pxayb，则 p 与 a，b 共面 B若 p 与 a，b 共面，则 pxayb C若MP xMA yMB ，则 P，M，A，B 共面 D若 P，M，A，B 共面，则MP xMA yMB 答案AC 解析A 正确B 中若 a，b
8、 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立C 正确D 中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则MP xMA y MB 不成立 三、解答题 11.(2021石家庄市高三一检)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ADBC，CDBC，AD2，ABBC 3，PA4，M 为 AD 的中点，N 为 PC 上的点，且 PC3PN.求证： MN平面 PAB. 答案略 证明方法一(传统法)： 如图，在平面 PBC 内作 NHBC 交 PB 于点 H，连接 AH，在PBC 中，NHBC，且 NH 1 3BC1，AM 1 2AD1， 又 ADBC，NHAM 且
9、 NHAM， 四边形 AMNH 为平行四边形， MNAH， 又 AH平面 PAB，MN平面 PAB， MN平面 PAB. 方法二(向量法)： 在平面 ABCD 内作 AECD 交 BC 于点 E，则 AEAD. 分别以 AE，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则 P(0， 0，4)，M(0，1，0)，C(2 2，2，0)，N 2 2 3 ，2 3， 8 3 ，B(2 2，1，0)，A(0，0，0)， MN 2 2 3 ，1 3， 8 3 ，AP (0，0，4)，AB (2 2，1，0) 设MN mAB nAP ， 2 2 3 ，1 3， 8 3 m(2
10、2，1，0)n(0，0，4)， m1 3，n 2 3，MN ， AB ，AP 共面 MN 平面 PAB.又 MN平面 PAB， MN平面 PAB. 方法三(法向量)： 建系写点坐标如方法二 设 m(x1，y1，z1)为平面 PAB 的一个法向量，则由 mAP ，mAB 得 4z10， 2 2x1y10， z10， y12 2x1. 令 x11，则 m(1，2 2，0) MN m2 2 3 11 32 2 8 300. mMN ，MN 平面 PAB. 又 MN平面 PAB，MN平面 PAB. 方法四(基底法)： 设BE 1 3BC .由题知PC 3PN. MN AN AM AP PNBE AP
11、1 3PC 1 3BC AP 1 3(CP CB ) AP 1 3BP AP 1 3(AP AB ) 2 3AP 1 3AB ， MN ， AP ，AB 三向量共面 MN 平面 PAB.又 MN平面 PAB， MN平面 PAB. 12.已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BAD90， 2AB2ADCD，侧面 PAD 是正三角形且垂直于底面 ABCD，E 是 PC 的中点 (1)求证：BE平面 PCD； (2)在 PB 上是否存在一点 F，使 AF平面 BDE? 答案(1)略(2)F 为 PB 中点时，AF平面 BDE 解析 (1)证明：以 AD 的中点 O 为坐标原点，建
12、立如图所示的空间直角坐标系 设 ABAD2， 则有 B(1，2，0)，C(1，4，0)， D(1，0，0)，P(0，0， 3)，E 1 2，2， 3 2 . BE 3 2，0， 3 2 ，PC (1，4， 3)，CD (0，4，0) BE PC3 2，0， 3 2 (1，4， 3)0， BE CD 3 2，0， 3 2 (0，4，0)0. 即 BEPC，BECD. 又 PCCDC，BE平面 PCD. (2)设平面 BDE 的一个法向量为 n(x，y，z)， nBE ，nDE ，nBE 0，nDE 0. 3 2x 3 2 z0， 1 2x2y 3 2 z0. 令 y1，则 x1，z 3. 平面
13、BDE 的一个法向量为 n(1，1， 3) 取 PB 的中点 F，则有 F 1 2，1， 3 2 . 又 A(1，0，0)，AF 1 2，1， 3 2 . AF n1 2，1， 3 2 (1，1， 3)1 21 3 20， AF n. 又 n 是平面 BDE 的一个法向量，且 AF平面 BDE， AF平面 BDE. 故存在 PB 的中点 F 使 AF平面 BDE. 13如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中， BC90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30 的角求证： (1)CM平面 PAD； (2)
14、平面 PAB平面 PAD. 答案(1)略(2)略 证明以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系 Cxyz. PC平面 ABCD， PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， PBC30. PC2，BC2 3，PB4， D(0，1，0)，B(2 3，0，0)， A(2 3，4，0)，P(0，0，2)，M( 3 2 ，0，3 2)， DP (0，1，2)，DA (2 3，3，0)，CM ( 3 2 ，0，3 2) (1)设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量， 则 DP n0， DA n0， 即 y2z0， 2 3x3y0
15、， 令 y2，得 n( 3，2，1) nCM 3 3 2 2013 20，nCM . 又 CM平面 PAD，CM平面 PAD. (2)方法一：由(1)知，BA (0，4，0)，PB (2 3，0，2)， 设平面 PAB 的一个法向量 m(x0，y0，z0)， 则 BA m0， PB m0，即 4y00， 2 3x02z00， 令 x01，得 m(1，0， 3)， 又平面 PAD 的一个法向量 n( 3，2，1)， mn1( 3)02 310，mn， 平面 PAB平面 PAD. 方法二：如图，取 AP 的中点 E，连接 BE， 则 E( 3，2，1)，BE ( 3，2，1) PBAB，BEPA.
16、 又BE DA ( 3，2，1)(2 3，3，0)0， BE DA ，BEDA. 又 PADAA，PA，DA平面 PAD， BE平面 PAD. 又BE平面 PAB， 平面 PAB平面 PAD. 14(2021湖北襄阳模拟)如图，多面体 ABCDEF 中，DE平面 ABCD，四边形 ABCD 是 菱形，AB2，BAD60，四边形 BDEF 是正方形 (1)求证：CF平面 AED； (2)在线段 EC 上是否存在点 P，使得 AP平面 CEF？若存在，求出EP PC的值；若不存在，说 明理由 答案(1)略(2)不存在点 P 解析(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BCAD. 又 BC平
17、面 ADE，AD平面 ADE， 所以 BC平面 ADE， 又四边形 BDEF 是正方形，所以 BFDE. 因为 BF平面 ADE，DE平面 ADE， 所以 BF平面 ADE， 因为 BC平面 BCF，BF平面 BCF，BCBFB， 所以平面 BCF平面 AED， 因为 CF平面 BCF，所以 CF平面 AED. (2)不存在，理由如下：因为四边形 ABCD 为菱形，且BAD60， 所以BCD 为等边三角形， 取 BD 的中点 O，连接 CO，所以 COBD， 取 EF 的中点 G，连接 OG，则 OGDE， 因为 DE平面 ABCD，所以 OG平面 ABCD， 故可建立如图所示的空间直角坐标系
18、 Oxyz. 则 O(0，0，0)，A(0， 3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，E(1，0，2)，F(1，0，2)， 所以AF (1，3，2)，FE(2，0，0)，FC(1，3，2) 设平面 CEF 的法向量为 n(x，y，z)， 则有 nFE 0， nFC 0，得 2x0， x 3y2z0. 令 y1，则 n 0，1， 3 2 . 又EC (1，3，2)，AE (1，3，2)， 设EP EC (01)， 由AP AE EP AE EC ， 得AP (1， 3 3，22)， 又平面 CEF 的一个法向量为 n 0，1， 3 2 ， 若 AP平面 CEF，则AP n，令APn， 得 10， 3 3， 22 3 2 . 方程组无解， 故线段 EC 上不存在点 P，使得 AP平面 CEF.
