1、专题层级快练专题层级快练(七十六七十六) 1(2021东北三省四市联考)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人 200 人，乙车间有工人 400 人为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工 人甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生 产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照55，65)，65，75)，75，85)，85，95 进行分组，得到下列统计图 (1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于 75 min 的人数； (2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更 高； (3)从
2、第一组生产时间少于 75 min 的工人中随机抽取 3 人， 记抽取的生产时间少于 65 min 的 工人人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望 答案(1)甲：60 人，乙：300 人(2) x 甲78 min， x 乙70.5 min，乙车间工人生产效率更 高(3)分布列见解析E(X)1 解析(1)由题意得，第一组工人有 20 人，其中在 75 min 内生产完成一件产品的有 6 人， 甲车间工人中生产一件产品时间少于 75 min 的人数约为 61060. 第二组工人有 40 人，其中在 75 min 内生产完成一件产品的有 40(0.0250.050)10 30(人)， 乙车间工
3、人中生产一件产品时间少于 75 min 的人数约为 3010300. (2)第一组的平均时间为 x 甲6027048010904 20 78(min)， 第二组的平均时间为 x 乙600.25700.50800.20900.0570.5(min) x 甲 x 乙，乙车间工人生产效率更高 (3)由题意得，第一组生产时间少于 75 min 的工人有 6 人，其中生产时间少于 65 min 的有 2 人，从中抽取 3 人， 则 X 可能的数值为 0，1，2，且 P(X0)C2 0C43 C63 4 20 1 5， P(X1)C2 1C42 C63 12 20 3 5， P(X2)C2 2C41 C6
4、3 4 20 1 5， 则 X 的分布列为 X012 P 1 5 3 5 1 5 故数学期望 E(X)01 51 3 52 1 51. 2(2021福建龙海二中摸底)某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校 区到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为1 4，不堵车的概率为 3 4；汽车走公路堵 车的概率为 p，不堵车的概率为 1p.若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走 公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响 (1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 7 16，求走公路堵车的概率； (2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数 X 的分布列和数学期望 答案(1)1
5、 3 (2)分布列见解析E(X)5 6 解析(1)依题意， “三辆汽车中恰有一辆汽车被堵”包含只有甲被堵，只有乙被堵和只有丙 被堵三种情形 C211 4 3 4(1p) 3 4 2 p 7 16，即 3p1，p 1 3. (2)X 的所有可能取值为 0，1，2，3. P(X0)3 4 3 4 2 3 3 8， P(X1) 7 16， P(X2)1 4 1 4 2 3C 211 4 3 4 1 3 1 6， P(X3)1 4 1 4 1 3 1 48， X 的分布列为 X0123 P 3 8 7 16 1 6 1 48 E(X)03 81 7 162 1 63 1 48 5 6. 3(2021太
6、原模拟)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在100，120)内，则 为合格品，否则为不合格品某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备 的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，对规定 的质量指标值进行检测 甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下 所示 甲套设备的样本频数分布表 质量 指标值 95，100)100，105)105，110)110，115)115，120)120，125 频数14192051 乙套设备的样本频率分布直方图 (1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为这种产品的质量指标值
7、与甲、 乙两套设备的选择有关； 甲套设备乙套设备合计 合格品 不合格品 合计 (2)根据以上数据，对甲、乙两套设备的优劣进行比较； (3)将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的不合 格品的个数为 X，求 X 的数学期望 E(X) 附： P(K2k0)0.150.100.050.0250.01 k02.0722.7063.8415.0246.635 K2 n（adbc）2 （ab） （cd） （ac） （bd），其中 nabcd. 答案(1)列联表见解析，有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有 关(2)甲套设备优于乙套设备(3)E(X)
8、 3 25 解析(1)根据题中数据填写列联表如下： 甲套设备乙套设备合计 合格品484391 不合格品279 合计5050100 由列联表得 K2的观测值 k100（487432） 2 9195050 3.053. 3.0532.706， 有 90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 (2)根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为48 50，乙套设备生产的合格品的概 率约为43 50，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115)之间，乙套设备生 产的产品的质量指标值与甲套设备的相比较为分散 因此， 可以认为甲套设备生产的合格品 的概率更高，且质量指
9、标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备 (3)由题知，XB 3， 1 25 ， E(X)3 1 25 3 25. 4 为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分含量在国家药品监督管理局规定的范围内， 武汉某制药厂在该药品的生产过程中， 检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量其主要药理成分含量(单位：mg)根据生产经验，可以认为这条 药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布 N(，2)在一天内 抽取的 20 件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3，3)之外的药品， 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过
10、程进行检 查 (1)下面是检验员在 2 月 24 日抽取的 20 件药品的主要药理成分含量： 10.029.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.95 10.099.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12 经计算得 x 1 20 20 i1xi9.96，s 1 20 20 i1 （xi x ）21 20（ 20 i1xi 220 x 2）0.19. 其中 xi为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量，i1，2，20.用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进
11、行检查？ (2)假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在(3， 3)之外的药品件数，求 P(X1)及 X 的数学期望 附： 若随机变量 Z 服从正态分布 N(， 2)， 则 P(3Z6 天总计 50 岁以上(含 50 岁)100 50 岁以下55 总计200 (3)以这 1 000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率， 代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的 概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，设潜伏期超过 6 天的人数为 X，则 X 的期望是多少？ 附： P(K2k0)0.050.0250.
12、010 k03.8415.0246.635 K2 n（adbc）2 （ab） （cd） （ac） （bd），其中 nabcd. 答案(1)5.4 天(2)列联表略，没有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关(3)E(X)8 思路(1)根据表中的数据，代入平均数公式进行求解即可； (2)结合表中的数据，完成列联表，利用独立性检验 K2公式进行运算求解，然后结合临界值 表与 3.841 进行比较即可； (3)由题可知，随机变量 XB 20，2 5 ，利用二项分布的数学期望公式进行求解即可 解析(1)根据统计数据，计算平均数为： x 1 1 000(1853205531072509130111513
13、5)5.4(天) (2)根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期6 天潜伏期6 天总计 50 岁以上(含 50 岁)6535100 50 岁以下5545100 总计12080200 则 K2（65453555） 2200 10010012080 25 122.083，查表得 K 22.0833.841， 所以，没有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关 (3)由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 400 1 000 2 5， 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X，则 XB 20，2 5 ， P(Xk)C20k 2 5 k3 5 20k ，k0，1，2，20， 则 E(X)202 58，所以 X 的期望值为 8. 评说本题考查利用频数分布表求平均数、独立性检验思想的运用和二项分布数学期望公 式；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握独立性检验 K2的计算公式和二项分布的 数学期望公式是求解本题的关键；属于中档题
