1、题组层级快练题组层级快练(五十九五十九) 一、单项选择题 1(2021南昌市一模)抛物线 y2x2的焦点到准线的距离是() A2B1 C.1 2 D.1 4 答案D 解析抛物线标准方程 x22py(p0)中 p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又 p 1 4，故选 D. 2若抛物线 yax2(a0)的焦点坐标是(0，1)，则 a() A1B.1 2 C2D.1 4 答案D 解析因为抛物线的标准方程为 x21 ay，所以其焦点坐标为 0， 1 4a ，则有 1 4a1，a 1 4，故 选 D. 3抛物线 y4x2关于直线 xy0 对称的抛物线的准线方程是() Ay1By 1 16 Cx1
2、Dx 1 16 答案D 解析抛物线 x21 4y 的准线方程为 y 1 16，关于 xy 对称的准线方程 x 1 16为所求 4(2021北京市高考数学预测卷)已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px(p0)的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为() A4 3 B1 C3 4 D1 2 答案C 解析由已知得，抛物线 y22px 的准线方程为 xp 2，且过点 A(2，3)，故 p 22， 则 p4，F(2，0)，则直线 AF 的斜率 k 30 22 3 4.故选 C. 5(2021云南昆明市高三三诊)已知 F 为抛物线 x22py(p0)的焦点，点 P 为抛物线上一点， 以
3、线段 PF 为直径的圆与 x 轴相切于点 M，且满足|MF|PM|，|PF|2，则 p 的值为() A4B3 C2D1 答案C 解析 如图所示，设线段 PF 的中点为点 N， 由题意可知，圆 N 与 x 轴相切于点 M，则 MNx 轴， 又|MF|PM|，N 为 PF 的中点，MNPF，PFx 轴， 由于|PF|2，则点 P 2，p 2 ，将点 P 的坐标代入抛物线方程得 2pp 24，即 p 24，p0， 解得 p2.故选 C. 6(2021青海西宁市高三复习检测)已知 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，Q 是圆(x3)2 (y1)21 上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|P
4、N|的最小值为() A3B4 C5D. 21 答案A 解析N 恰好为抛物线的焦点， |PN|等于点 P 到准线的距离， 要想|PQ|PN|最小， 过圆心(3， 1)作抛物线 y24x 的准线 x1 的垂线交抛物线于点 P，交圆于 Q，则|PQ|PN|的最小值 等于圆心(3，1)到准线 x1 的距离减去半径，即|PQ|PN|的最小值为 413. 7(2016课标全国)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为() A2B4 C6D8 答案B 解析由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p
5、0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取 A 4 p，2 2，D p 2， 5，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得16 p28 p2 4 5，得 p4，故 选 B. 8(2021福建厦门第二次质量检查)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线与曲 线 C 交于 A，B 两点，|AB|6，则 AB 中点到 y 轴的距离是() A1B2 C3D4 答案B 解析由 y24x，得 F(1，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|等于点 A 到准线 x1 的 距离 x11；同理，|BF|等于点 B 到准线 x1 的距离 x21.所以|AB|AF|BF|(x11)
6、 (x21)6，得 x1x24，AB 中点横坐标为 x0 x1x2 2 2，所以 AB 中点到 y 轴的距离 是|x0|2，故选 B. 9已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA FBFC 0，则 1 kAB 1 kBC 1 kCA( ) A0B1 C2D2p 答案A 解析设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， F p 2，0， 则 x1p 2，y 1 x2p 2，y 2 x3p 2，y 3 (0，0)，故 y1y2y30. 1 kAB x2x1 y2y1 1 2p（y 22y12） y2y1 y2y1 2p ，同理可知
7、 1 kBC y3y2 2p ， 1 kCA y3y1 2p ， 1 kAB 1 kBC 1 kCA 2（y1y2y3） 2p 0. 10(2021南昌市二模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，P 是抛物 线上一点，若|PF|5，则PKF 的面积为() A4B5 C8D10 答案A 解析由抛物线 y24x，知p 21，则焦点 F(1，0)设点 P y02 4 ，y0 ，则由|PF|5，得 y02 4 1 2 y025，解得 y04，所以 SPKF1 2p|y 0|1 2244，故选 A. 二、多项选择题 11(2021沧州七校联考)设抛物线 C：y22px(
8、p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5， 若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程可以是() Ay22xBy24x Cy28xDy216x 答案BD 解析方法一：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x0p 25，则 x 05 p 2. 又点 F 的坐标为 p 2，0，所以以 MF 为直径的圆的方程为(xx0) xp 2 (yy0)y0. 将 x0，y2 代入得 px084y00，即y0 2 2 4y080，所以 y04. 由 y022px0，得 162p 5p 2 ，解之得 p2 或 p8. 所以 C 的方程为 y24x 或 y216x. 方法二
9、：由已知得抛物线的焦点 F p 2，0，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则AF p 2，2，AM y02 2p，y 02 . 由已知，得AF AM 0，即 y028y0160，因而 y04，M 8 p，4. 由抛物线定义可知，|MF|8 p p 25. 又 p0，解得 p2 或 p8.所以 C 的方程为 y24x 或 y216x. 12(2021山东菏泽一模)已知直线 l 过抛物线 C：y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交 于 M，N 两点若线段 MN 的长是 16，MN 的中点到 y 轴的距离是 6，O 是坐标原点，则 () A抛物线 C 的方程是 y28x B抛物线
10、C 的准线方程是 y2 C直线 l 的方程是 xy20 DMON 的面积是 8 2 答案AD 解析本题考查直线与抛物线的位置关系设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义， 知|MN|(x1x2)p16.又 MN 的中点到 y 轴的距离为 6，x1x2 2 6，x1x2 12，p4，抛物线 C 的方程为 y28x，故 A 正确；抛物线 C 的准线方程是 x2，故 B 错误；设直线 l 的方程是 xmy2，联立 y28x， xmy2，消去 x 得 y 28my160，则 y1y28m， y1y216， x1x28m2412，解得 m1，故直线 l 的方程是 xy20 或 xy20，
11、故 C 错误；抛物线 C 的焦点为 F(2，0)，SMON1 2|OF|y 1y2|1 2 2 （y1y2）24y1y2 64648 2，故 D 正确故选 AD. 三、填空题与解答题 13已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P 作 PAl 于点 A， 当AFO30(O 为坐标原点)时，|PF|_ 答案 4 3 解析设 l 与 y 轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB30，|BF|2，所以|AB|2 3 3 . 设 P(x0，y0)，则 x02 3 3 ，代入 x24y 中，得 y01 3，从而|PF|PA|y 014 3. 14(2021九师联盟)已知
12、 F 为抛物线 C：y2x 的焦点，点 A，B 在抛物线上，且分别位于 x 轴的上、下两侧，若BFO 的面积是1 2(O 为坐标原点)，且OA OB 12，则直线 AB 的斜 率是_ 答案1 3 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线 y2x 得 F 1 4，0，而 SBFO1 2 1 4(y 2)1 2， 得 y24，则 x216，由OA OB x1x2y1y216x14y112，得 4x1y13，又 y12 x1，结合 y10，解得 y11，x11，所以直线 AB 的斜率是1 3. 15抛物线 y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方 程为
13、y2x，斜边长为 5 13，求此抛物线方程 答案y24x 解析设抛物线 y22px(p0)的内接直角三角形为 RtAOB， 直角边 OA 所在直线方程为 y 2x，则另一直角边所在直线方程为 y1 2x. 解方程组 y2x， y22px，可得点 A 的坐标为 p 2，p； 解方程组 y1 2x， y22px， 可得点 B 的坐标为(8p，4p) |OA|2|OB|2|AB|2，且|AB|5 13， p2 4 p2 (64p216p2)325. p2，所求的抛物线方程为 y24x. 16(2021湖北恩施一中开学考)长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2x 上滑动，则线 段 AB 的中
14、点 M 到 y 轴距离的最小值是_ 答案 3 4 解析 设抛物线 y2x 的焦点为 F，准线为 l，点 A，B，M 在 l 上的射影分别为点 C，D，N，连 接 AC，BD，MN，如图由梯形的中位线定理，可得|MN|1 2(|AC|BD|)连接 AF，BF， 根据抛物线的定义得|AF|AC|，|BF|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|BF|AB|，当 且仅当点 F 在 AB 上时取等号，|AC|BD|AB|2，|MN|1 2(|AC|BD|) 1 2|AB|1. 设点 M 的横坐标为 a，抛物线 y2x 的准线方程为 x1 4，则|MN|a 1 41，解得 a 3 4. 因此，当且仅当线段
15、 AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点 M 到 y 轴的距离最小，最小 值为3 4. 17(2021南宁市模拟)已知点 A(1，0)，B(1，0)，过点 A 的直线与抛物线 y24x 相交于 P，Q 两点若点 P 为 AQ 中点，则|PB| |QB|_ 答案 1 2 解析 易知抛物线 y24x 的焦点为 B，准线为 x1. 分别作点 P，Q 到准线的垂线段，垂足分别为点 D，C. 根据抛物线的定义，有|PB|PD|，|QB|QC|，因为 PDQC，且 P 为 AQ 中点， 所以 PD 是AQC 的中位线，|PD|1 2|QC|，即|PB| 1 2|QB|.故 |PB| |QB| 1 2.
16、 18(2021哈尔滨市三中模拟)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛 物线 C 上的两个动点，若 x1x222|MN|，则MFN 的最大值为_ 答案 3 解析抛物线 C：y24x 的准线方程为：x1， 所以由已知 x1x222|MN|，得|MF|NF|2|MN|， 因为 cosMFN|MF| 2|NF|2|MN|2 2|MF|NF| 3 4（|MF| 2|NF|2）1 2|MF|NF| 2|MF|NF| 3 42|MF|NF| 1 2|MF|NF| 2|MF|NF| |MF|NF| 2|MF|NF| 1 2， 因为MFN(0，)，所以MFN 0， 3
17、 ，因此MFN 的最大值为 3 . 19 (2018上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面， 所得截线是抛物线”的 几何原理， 某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识， 如图 1 所示， 图 2 是投影射出的抛物线的平面图， 图 3 是一个射灯投影的直观图， 在图 2 与图 3 中， 点 O， A，B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OCAB 于 C，AB3 米，OC4.5 米 (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)在图 3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 SD，AB，DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线 与轴的夹角的正弦值(精确到 0.001) 答案(1)1 4 (2)0.167 解析 (1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 y 轴，建系 B(1.5，4.5) 设抛物线方程为 x22py(p0) 点 B(1.5，4.5)在抛物线上 p1 4.焦点到准线的距离为 1 4. (2)如图，C 为 DE 中点，OCSD，O 为 SE 中点 SCDE，OC4.5，SE2OC9. DEAB3，CE1.5. sinCSECE SE 1.5 9 0.167.圆锥的母线与轴的夹角的正弦值均为 0.167.
