1、2006 年全国高中数学优秀课展评教案 人教版全日制高中数学第一册(上)P7074 第 1页 1234-4-3-2-1 8 7 6 5 4 3 2 1 y=2xy=( )x 1 2 四川省荣县中学校刘志刚 2006 年 11 月 第 2页 一、教材分析一、教材分析 教材背景教材背景 指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，掌握了研究函数的一般思路，并 将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函数，是函数一章 的重要内容。本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象、性质；第二、 三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时。 本课的地位和作用本课的地位和作用
2、 本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数的基础，具有非常高的实用价值， 在教材中起到了承上启下的关键作用。在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、 归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的 函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。 二、重难点分析二、重难点分析 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因 此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。 难点：难点：1、对于 1a 和 10 a 时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。 因此，弄清
3、楚底数 a 对函数图象的影响是本节的难点之一。 2、底数相同的两个函数图象间的关系。 三、目标分析三、目标分析 知识技能目标知识技能目标 第 3页 掌握指数函数的概念、图象和性质。 过程性目标过程性目标 通过自主探索，让学生经历“特殊一般特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数 形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。 情感、价值观目标情感、价值观目标 让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐 统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。 四、学情分析四、学情分析 有利因素有利因素 学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函
4、数的一般思路，对于本节 课的学习会有很大帮助。 不利因素不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生 学习起来有一定难度。 五、教法学法五、教法学法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下 教法、学法： 探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师 第 4页 是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点， 类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发 展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互
5、动、生生互动中，让 学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 六、教学过程设计六、教学过程设计 复习旧知新课引入探索新知知识扩展课堂练习课堂小结课后作业 七、教学过程七、教学过程 复习旧知复习旧知 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变 量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则 表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象上的点越高。 新课引入新课引入 观看视频解答下面两个问题： 问题 1：某种细胞分裂时，由一个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，这样的细胞
6、分裂 x 次后，细胞个数 y 与 x 的函数关系式为：y=2 x（xN*） 问题 2：铀核裂变能产生巨大的能量，它的裂变方式称为链式反应，假定 1 个中子击 第 5页 打 1 个铀核，此中子被吸收产生能量并释放出 3 个中子，这 3 个中子又打中另外 3 个铀 核产生 3 倍的能量并释放出 9 个中子，这 9 个中子又击中 9 个铀核这样的击打进行了 x 次后释放出的中子数 y 与 x 的关系是：y=3 x（xN*） 提问：y=2 x与 y=3x这类函数的解析式有何共同特征？ 答：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置。 （若用 a 代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展
7、到实数集则得到） 探索新知探索新知 一指数函数的定义 一般地，函数 y=a x(a0，且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域 是 R。 提问：在本定义中要注意哪些要点？ 1自变量x 2定义域R 3a 的范围a0，且 a1 4定义的形式（对应法则）y=a x 进一步提问：为什么规定定义中10aa且？ 将 a 如数轴所示分为：0a,0a，10 a,1a和1a五部分进行讨论： 第 6页 (1)如果0a, 比如 x y)4(，这时对于 2 1 , 4 1 xx等，在实数范围内函数值不存在； (2)如果0a， 无意义时当 时当 x x ax ax ,0 0,0 (3)如果1a，11 x
8、 y，是个常值函数，没有研究的必要； (4)如果10 a或1a即10aa且，x可以是任意实数。 * 因为指数概念已经扩充到整个实数范围，所以在10aa且的前提下，x可以是任意 实数,即指数函数的定义域为 R。 二指数函数图象 指数函数的图象是怎样的呢？先看特殊例子（将同学们分两组用描点法分别画出下列函 数的图象） 第一组：画出 x y2， x y) 2 1 (的图象；第二组：画出 x y3， x y) 3 1 (的图象。 （及时指导学生作图，然后播放已经做好的函数图象，让学生比较与自己所画出来的 有哪些异同点。 ） 第 7页 提问：此两组图象有何共同特征？当底数10 a和1a时图象有何区别？
9、三指数函数性质 根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表： a10a1 图 象 性 质 (1)定义域：R (2)值域：(0，+) (3)过点(0,1)，即 x=0 时，y=1 (4)在 R 上是增函数(4)在 R 上是减函数 （说明：教材对于指数函数性质的处理，仅是观察图象发现的，其正确性理应严格证 明，但教材不做要求） 四指数函数性质的简单应用 例 1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质上原来的 第 8页 84%。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是 原来的一半（保留一个有效数字） 解：设这种物质最初
10、的质量是 1， 经过x年后，剩留量是y。 经过 1 年，剩留量 1 1 84%0.84y 经过 2 年，剩留量 2 84% 84%0.84y 一般地，经过x年，剩留量 0.84xy 根据这个函数关系可以列表如下： x0123456 y10.8 4 0.7 1 0.5 9 0.5 0 0.4 2 0.3 5 画出指数函数0.84xy 的图象。从图上看出0.5y 只需4x 。 答：约经过 4 年，剩留量是原来的一半。 例 2说明下列函数的图象与指数函数2xy 的图象的关系，并画出它们的示意图。 1 2xy ； 2 2xy 解：比较函数 1 2xy 与2xy 的关系： 3 1 2y 与 2 2y 相
11、等， 2 1 2y 与 1 2y 相等， 第 9页 2 1 2y 与 3 2y 相等， 由此可以知道，将指数函数2xy 的 图象向左平行移动 1 个单位长度，就得到 函数 1 2xy 的图象。 比较函数 2 2xy 与2xy 的关系： 1 2 2y 与 3 2y 相等， 0 2 2y 与 2 2y 相等， 3 2 2y 与 1 2y 相等， 由此可以知道，将指数函数2xy 的图象向右平行移动 2 个单位长度，就得到函数 2 2xy 的图象。 、知识扩展、知识扩展 一考古中的指数函数 14C 是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行衰变，变成氮，半衰期为 5730 年， 活的植物通过光合作用和呼吸
12、作用与环境交换碳元素，体内 14C 的比例与大气中的相同。 植物枯死后，遗体内的 14C 仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充。因此，根据放 射性强度减小的情况就可以算出植物死亡的时间。 测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命，它将考古学研究中得到 的相对年代转变为绝对年代，给考古学带来了质的飞跃，使研究更加科学化，促 第 10页 进了考古学研究的深入。其中测算公式是一个指数式 5730 1 ( ) 2 x y 。 二音乐中的指数函数 钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声键盘乐器。从左往右逐个试弹所有琴键，我们听到 琴声逐渐由低到高，这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关，而琴弦振
13、动的频率又与 琴弦的长度有关。粗略地说，琴弦长则振动慢，频率小，故发出的声音低；琴弦短，则振 动快，频率大，故发出的声音高。 音域宽度自大字二组的 A2至小字五组的 5 c。根据 “十二平均律”的法则，任何 两个相邻的键所发出的音相 差半音阶（100 音分） ，它们 的振动频率之比是一个常数 Q，设最低的第一个音 A2的频率是a，则第二个音 #A 2的频率是aQ，第三个音 B2的频率是 aQ 2，另外，音高每提高八度（如 A 2到 A1）频率增大为原来的 2 倍，而八度音域内包含 12 个半音（连续的 7 个白键和 5 个黑键） ，所以，第十三个音（A1）的频率是第一个音（A2） 的频率的 2
14、 倍。故 12 2aQa，即 12 2Q。 另一方面，弦振动的频率与弦长成反比。所以，从左向右，相邻两弦的长度之比是常 数 q=1/Q，从而有 q12=1/2。 设左边第一根弦的长度为l，则第二根弦的长度为l q，第三根弦的长度为 2 l q， 第 11页 如图，取第一根弦所在直线为y轴，各弦靠近键盘的端点所在直线为x轴建立坐标系，相 邻两弦间的距离为长度单位。这时，将弦的另一端点（上部）连成光滑曲线，那么曲线上 任意点的坐标( , )x y都满足函数关系 x ylq。 若令logqcl，则 x yl q ，可化为 x c yq 。 经过适当平移，就可知道光滑曲线是指数函数 x yq的图象 指
15、数曲线。 生活中到处都有数学， 我们要学会用数学的眼光观察世界， 用数学发现自然界的奥秘。 、课堂练习、课堂练习 1、求下列函数的定义域： 1 1 5)2(3) 1 ( x x yy 2、函数 y=a 2x-3+3 恒过定点 。 3、作出函数 1 2xy 和21 x y 的图象，并说明 这两个函数图象与2xy 图象的关系。 4、如图是指数函数 x ya， x yb， x yc， x yd的图象，则a,b,c,d的大小关系是（） A1abcd B1badc C1abcd D1abdc 课堂小结课堂小结 设问：本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什么？ 第 12页 本节课主要学习了指数函数的定义
16、、图象和性质。弄清楚底数1a和10 a时函数图 象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。 课后作业课后作业 课本第 73 页习题 2.61、2 收集关于指数函数应用的相关资料，通过分析整理，写一篇 800 字左右的报告。 八、课后反思八、课后反思 一在教学过程中有几个问题值得注意： 学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数，应予以及时纠正。 若学生质疑指数函数单调性结论的正确性，应先肯定质疑是正确的，因为用图象观 察归纳出来的结论，必须经过严格证明才是可靠的！但由于教材对此不作要求，因此，鼓励 学有余力的同学可自己尝试证明。 二本课设计有以下几点值得借鉴： 本课设计在注重引导学生学习书
17、本知识的同时，还进行了知识的扩展，让学生感受 到数学的实用价值。 本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况，并采用合理方式进行引导、 解决。 教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，在师生 互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突破难 点。 第 13页 附：板书设计附：板书设计 附： 教 案 设 计 说 明 此教学方案是依据新课程标准、 教材及本人的教学风格并考虑学生的学习兴趣来设计的， 下面就本课教案做以下几点说明： 一、选材：本节课选取的内容为数学发展中具有代表性的知识。指数函数既是函数的深 化，又是学习对数函数的必备，
18、通过本节内容的学习，让学生在掌握知识的同时感受到数学 第 14页 的实用价值。 二、理念：本节课的教案设计体现了“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者 和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引 导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。 三、注重知识扩展，本课设计时有意识的选取了“细胞分裂” 、 “铀核裂变” 、 “指数函数 在考古中的应用” 、 “指数函数在音乐中的应用”等知识，让学生感受到生活中到处都有数学， 要学会用数学的眼光观察世界，发现自然界的奥秘。 四、课堂教学中的例题、习题和课后作业具有代表性、实用性和可操作性，均围绕着教 学的重点、难点选取，选取题目数字简单易于操作注重知识的运用。选题时注重知识的延续 性，为以后的学习奠定了基础，同时考虑到了学生学习过程中可能出现的各种错误，预先准 备好了解决的方案。 五、课堂教学模式： “特殊引例探求一般知识探索特殊练习题求解”符合学生认知习 惯，易于学生接受。 自贡欢迎您！ 盐之都灯之城龙之乡
