1、课时作业(二十四)三角函数的周期性、奇偶性与对称性 基础过关组 一、单项选择题 1函数 ytan 1 2x 3 的最小正周期为() A 4 B 2 CD2 解析函数 ytan 1 2x 3 的最小正周期为 1 2 2。故选 D。 答案D 2下列函数中，最小正周期是且在区间 2，上是增函数的是() Aysin 2xBysin x Cytan x 2 Dycos 2x 解析ysin 2x 在区间 2，上的单调性是先减后增； ysin x 的最小正周期是 T2 2； ytan x 2的最 小正周期是 T 2；ycos 2x 满足条件。故选 D。 答案D 3函数 f(x)(1cos 2x)sin2x
2、是() A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为 2的奇函数 D最小正周期为 2的偶函数 解析f(x)(1cos 2x)sin2x2cos2xsin2x1 2sin 22x1cos 4x 4 ，则 f(x)的最小正周期为 T2 4 2，且为偶 函数。 答案D 4最小正周期为，且图象关于直线 x 3对称的一个函数是( ) Aysin x 2 6Bysin 2x 6 Cysin 2x 6Dycos 2x 6 解析由于函数 ysin x 2 6 的最小正周期为2 1 2 4，故排除 A；由于函数 ysin 2x 6 的最小正周期 为2 2 ，当 x 3时，y 1 2，故函数的图
3、象不关于直线 x 3对称，故排除 B；由于函数 ysin 2x 6 的最小 正周期为2 2 ，当 x 3时，y1，故函数的图象关于直线 x 3对称，故 C 正确；由于函数 ycos 2x 6 的 最小正周期为2 2 ，当 x 3时，y0，故函数的图象不关于直线 x 3对称，故排除 D。故选 C。 答案C 5(2021东北四市一模)下列各点中，可以作为函数 ysin x 3cos x1 图象的对称中心的是() A 3，1B 6，1 C 3，0D 6，0 解析ysin x 3cos x12sin x 3 1，由 x 3k(kZ)，得 xk 3(kZ)，当 k0 时，x 3， 所以该函数图象的一个对
4、称中心可以为 3，1。故选 A。 答案A 6 (2021西安五校联考)当x 4时， 函数f(x)Asin(x)(A0， |0)取得最小值，所以 4 22k，kZ，即 3 4 2k，kZ，所以 f(x)Asin x3 4 (A0)，所以 yf 4xAsin 4x 3 4 Acos x，所以函数 yf 4x 为偶函数且图象关于点 2，0对称。故选 D。 答案D 二、多项选择题 7(2020黑龙江大庆实验中学期中)已知 f(x)sin(x)cos(x)为奇函数，则的取值可以是() A3 4 B 2 C 4 D 4 解析由题意，f(x)sin(x)cos(x) 2sin x 4 为奇函数，所以 4k，
5、kZ，即k 4，kZ。k1 时， 3 4，k0 时， 4，所以 AD 正确。 答案AD 8关于函数 f(x)xsin x，下列说法正确的是() Af(x)是奇函数 Bf(x)是周期函数 Cf(x)有零点 Df(x)在 0， 2 上单调递增 解析函数 f(x)的定义域为 R，f(x)xsin xf(x)，则 f(x)为奇函数，故 A 正确；根据周期函数的 定义， 可知函数 f(x)一定不是周期函数， 故 B 错误； 因为 f(0)0， 所以函数 f(x)有零点， 故 C 正确； 当 x 0， 2 时，函数 yx 与 ysin x 均为增函数，所以函数 f(x)也为增函数，故 D 正确。 答案AC
6、D 三、填空题 9若函数 f(x)|sin x 3 |(0)的最小正周期为，则 f 3 _。 解析由题设及周期公式得 T ，所以1，即 f(x)|sin x 3 |，所以 f 3 |sin 2 3| 3 2 。 答案 3 2 10若函数 f(x)cos 2x 3 (0)是奇函数，则_。 解析因为 f(x)为奇函数，所以 3 2k(kZ)， 5 6 k，kZ。又因为 00，00，所以2 2，得 24。因为 f(x)的图象关于点 4，0 对称，关于直线 x 4对称，所以 4k 1， 4k 2 2， k1，k2Z，两式相加得 2(k1k2) 2，k 1， k2Z。因为 0 2，02，所以 2 2，
7、4。则 4 4k 1，得4k11，k1Z，结合 20，02 3 的最小正周期为。 (1)求当 f(x)为偶函数时的值； (2)若 f(x)的图象过点 6， 3 2 ，求 f(x)的单调递增区间。 解由 f(x)的最小正周期为，得 T2 ， 所以2，所以 f(x)sin(2x)。 (1)当 f(x)为偶函数时，有 2k(kZ)。 因为 02 3 ，所以 2。 (2)因为 f 6 3 2 ，所以 sin 2 6 3 2 ， 即 3 32k或 3 2 3 2k(kZ)， 故2k或 32k(kZ)， 又因为 02 3 ，所以 3， 即 f(x)sin 2x 3 。 由 22k2x 3 22k(kZ)，
8、 得 k5 12xk 12(kZ)， 故 f(x)的单调递增区间为 k5 12，k 12 (kZ)。 素养提升组 15(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感 受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数。函数 f(x)错误错误!sin2n1x 2n1 (nN*)的图象就可以近似的 模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是() A函数 f(x)为周期函数，且最小正周期为 B函数 f(x)为奇函数 C函数 yf(x)的图象关于直线 x 2对称 D函数 f(x)的导函数 f(x)的最大值为 7 解析f(x)sin x 1 sin 3x 3 sin 5
9、x 5 sin 13x 13 。 对于 A， 因为 f(x)sinx 1 sin3x3 3 sin5x5 5 sin13x13 13 ，利用诱导公式可得 f(x)f(x)， 所以不是 f(x)的周期， 故 A 错误； 对于 B，因为 f(x) 的定义域为 R， f(x)sinx 1 sin3x 3 sin5x 5 sin13x 13 f(x)， 所以 f(x)为奇函数， 故 B 正确； 对于 C，因为 f(x)f(x)，且 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)的图象关于直线 x 2对称，故 C 正确；对于 D，因为 f(x)cos xcos 3xcos 5xcos 13x，
10、当 x2k(kZ)时，cos nx1(n1,3,5， 13)，所以 f(x)的最大值为 7，故 D 正确。 答案BCD 16已知向量 a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2 3cos x)，设函数 f(x)ab(xR) 的图象关于直线 x对称，其中，为常数，且 1 2，1。 (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)的图象经过点 4，0，求函数 f(x)在区间 0，3 5 上的取值范围。 解(1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 。 由直线 x是 f(x)图象的一条对称轴， 可得 sin 2 6 1， 所以 2 6k 2(kZ)， 即k 2 1 3(kZ)。 又 1 2，1，令 k1，得5 6。 所以 f(x)的最小正周期是6 5 。 (2)由 f(x)的图象经过点 4，0， 得 f 4 0， 即2sin 5 6 2 6 2sin 4 2， 故 f(x)2sin 5 3x 6 2。 由 0 x3 5 ，得 6 5 3x 6 5 6 ， 所以1 2sin 5 3x 6 1， 得1 22sin 5 3x 6 22 2。 故 f(x)在 0，3 5 上的取值范围为1 2，2 2。
