1、习题课习题课函数模型的应用函数模型的应用 学习目标1.能自建确定性函数模型解决实际问题.2.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解 检验和调整的必要性 一、建立函数模型解决实际问题 例 1某地规划对一片面积为 a 的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分 比均为 x(0 x1)当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了 10 年时间 (1)求 x 的值； (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的 2 2 ，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至 多为原沙漠面积的1 4? 解(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为 x(0 x1)， 则 a(1x)101 2a，即(1x)
2、 101 2， 解得 1 10 1 =1. 2 x - (2)设从今年开始，还需治理 n 年， 则 n 年后剩余面积为 2 2 a(1x)n， 令 2 2 a(1x)n1 4a，即(1x) n 2 4 ， 3 102 11 , 22 n n 10 3 2，解得 n15， 故至少还需治理 15 年 反思感悟与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活 的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才 能将实际问题转化为数学模型进行解答 跟踪训练 1某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过 滤初期溶液含杂质为 2
3、%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为 x(xN*)时溶液杂质含量为 y， (1)分别求出 1 次过滤、2 次过滤以后的溶液杂质含量 y1，y2的值； (2)写出 y 与 x 的函数关系式(要求写出定义域)； (3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过 0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市 场要求？(参考数据：lg 20.301) 解(1)1 次过滤后，溶液杂质含量 y1 1 50 1 20.011%， 2 次过滤后，溶液杂质含量 y2 1 50 1 2 1 20.0050.5%. (2)因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半， 所以过滤次数为 x(xN*)
4、时溶液杂质含量 y2% 11 2 x1 50 1 2 x，xN*. (3)设至少应过滤 x 次才能使产品达到市场要求， 则 1 50 1 2 x0.02%， 即 1 2 x 1 100，所以 x lg 1 100 lg 1 2 2 lg 26.6， 又 xN*，所以 x7， 即至少应过滤 7 次才能使产品达到市场要求 二、实际问题中的函数模型选择问题 例 2近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才 带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实 现人生价值其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，
5、下面为三年来农产品销售量的统计表： 年份201720182019 销售量/万斤415583 结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况， 该大学生提出了 2020 年销售 115 万斤 特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2020 年实际销售 123 万斤，超额完 成预定目标 (1)将 2017,2018,2019,2020 年分别定义为第 1 年、第 2 年、第 3 年、第 4 年，现有两个函数模 型：二次函数模型为 f(x)ax2bxc(a0)；幂函数模型为 g(x)kx3mxn(k0)请你通 过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量 y 与
6、第 x 年 的关系； (2)依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在 2021 年度的农产品销售量？ 解(1)若选择二次函数模型， 依题意，将前三年数据分别代入 f(x)ax2bxc(a0)， 得 f141， f255， f383， 即 abc41， 4a2bc55， 9a3bc83， 解得 a7， b7， c41. 所以 f(x)7x27x41. 将 x4 代入 f(x)，得 f(4)7427441125， 所以此与 2020 年实际销售量误差为 1251232(万斤) 若选择幂函数模型， 依题意，将前三年数据分别代入 g(x)kx3mxn(k0)， 得 g141， g255， g383
7、， 即 kmn41， 8k2mn55， 27k3mn83， 解得 k7 6， m35 6 ， n34. 所以 g(x)7 6x 335 6 x34. 将 x4 代入 g(x)，得 g(4)7 64 335 6 434132， 所以此与 2020 年销售量的实际误差为 1321239(万斤) 显然 20，且 a1)进行拟合研究 (1)国际数据公司(IDC)预测 2022 年全球数据量将达到 80.0 ZB，你认为依据哪一个函数拟合 更为合理； (2)设我国 2022 年的数据量为 c ZB，根据拟合函数，请你估计我国的数据量达到 100c ZB 约 需要多少年？ (参考数据：1.531070.2
8、9，1.5311107.55，1.5312164.55，1.5313251.76) 解(1)设 2008,2009,2010,2011，2020 年分别对应第 1 年，第 2 年，第 3 年，第 4 年， 第 13 年，设数据量为 y，由已知列表如下： x123413 y0.490.81.21.8280.0 画出散点图如下： 由散点图知，5 个点在一条曲线上，应选择函数 g(x)max. (2)将数据(1,0.49)，(13,80.0)代入 g(x)max中得， 0.49ma1， 80.0ma13， 解得 m0.32， a1.53， 所以 g(x)0.321.53x， 由题意得 c0.321.
9、5313， 则 100c0.321.53x， 解得 x24， 所以我国的数据量达到 100c ZB 约需要 11 年 1知识清单： (1)建立函数模型解决实际问题 (2)实际问题中的函数模型选择问题 2方法归纳：转化法 3常见误区：对函数拟合效果的分析不能做出正确选择 1某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表： x123 y138 则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是() Ay2x1Byx21 Cy2x1Dy1.5x22.5x2 答案D 2 若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%， 设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y， 则 x， y 的函数关系是() A.
10、 100 0.9576 x y By0.957 6100 x Cy 0.957 6 100 x D 100 10.0424 x y 答案A 解析设镭的衰变率为 p， 则 x，y 的函数关系是 y(1p)x， 当 x100 时，y0.957 6，即 0.957 6(1p)100， 解得 1 100 0.95761p 即 100 0.9576. x y 3衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 a，经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为：Vae kt.已知新丸经过 50 天后，体积变为4 9a.若一个新丸体积变为 8 27a，则需经过的天数为( ) A125B100C
11、75D50 答案C 解析由已知，得 4 9aae 50k，ek 1 50 4 9 设经过 t1天后，一个新丸体积变为 8 27a， 则 8 27aa 1 e kt ， 1 1 50 84 =e= , 279 t kt - t1 50 3 2，即 t 175. 4一个模具厂一年中 12 月份的产量是 1 月份产量的 m 倍，那么该模具厂这一年中产量的月 平均增长率是_ 答案 11 m1 解析设每月的产量增长率为 x,1 月份产量为 a， 则 a(1x)11ma， 所以 1x 11 m，即 x 11 m1. 课时对点练课时对点练 1某种产品今年的产量是 a，如果保持 5%的年增长率，那么经过 x
12、年(xN*)，该产品的产 量 y 满足() Aya(15%x)Bya5% Cya(15%)x 1 Dya(15%)x 答案D 解析今年产量为 a，经过 1 年后产量为 ya(15%)，经过 2 年后产量为 ya(15%)2，依 此类推，经过 x 年后产量为 ya(15%)x. 2中国茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用 85 的水泡制， 再等到茶水温度降至 60 时饮用， 可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳 口感茶水所需的时间，某研究人员每隔 1 min 测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图 所示的散点图观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻
13、画茶水温度 y 随时 间 x 变化的规律() Aymx2n(m0) Bymxn(m0) Cymaxn(m0，a0，a1) Dymlogaxn(m0，a0，a1) 答案C 解析由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型 3某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调 整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反 映该超市调整后利润 y 与售出商品的数量 x 的关系，则可选用() A一次函数B二次函数 C指数型函数D对数型函数 答案D 解析由题目信息可得，初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映 y 与 x 的
14、关系 4“道高一尺，魔高一丈”出于西游记第五十回用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会 更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是(注： 1 丈10 尺)() Ay10 x，x0By 1 10 x，x0 Cyx10，x0Dyx9，x0 答案A 解析因为一丈等于十尺，所以“道高一尺，魔高一丈”更适合用 y10 x，x0 来表示 5某公司 2021 一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放) 方案 1：奖金 10 万元 方案 2：前半年的半年奖金 4.5 万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的 1.2 倍 方案 3：第一个季度奖金 2 万元，
15、以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加 5 000 元 方案 4：第 n 个月的奖金基本奖金 7 000 元200n 元 如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是() A方案 1B方案 2 C方案 3D方案 4 答案C 解析方案 2：所得奖金为 4.54.51.29.9(万元)， 方案 3：所得奖金为 2(20.5)(21)(21.5)11(万元)， 方案 4：所得奖金为(7 000200)(7 0002002)(7 00020012)99 600(元) 9.96(万元) 所以应选方案 3. 6(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 0.1%，而这种溶液最初的杂质 含量为
16、2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少1 3，则使产品达到市场要求的过滤次 数可以为(参考数据：lg 20.301，lg 30.477)() A6B9C8D7 答案BC 解析设经过 n 次过滤，产品达到市场要求，则 2 100 2 3 n 1 1 000，即 2 3 n1 20，由 nlg 2 3 lg 20， 即 n(lg 2lg 3)(1lg 2)，得 n 1lg 2 lg 3lg 27.4. 7通过市场调查知某商品每件的市场价 y(单位：元)与上市时间 x(单位：天)的数据如下： 上市时间 x 天41036 市场价 y 元905190 根据上表数据，当 a0 时，下列函数：yaxk
17、；yax2bxc；yalogmx 中能恰 当的描述该商品的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系的是_(只需写出序号即可) 答案 解析根据表格提供数据可知，y 随着 x 的增大先变小，后变大，即至少有递减和递增两个 过程，而，对应的函数为单调函数，不符合题意；为二次函数，有递减和递增两个区 间，当 a0 时，能恰当的描述该商品的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系 8据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b,2015 年产生的垃圾量为 a 吨，由此预 测该区 2021 年的垃圾量应为_吨 答案a(1b)6 解析2016 年的垃圾量为 a(1b)吨，从 2015 年开始经过 6 年到 2
18、021 年时该区的垃圾量应 为 a(1b)6吨 9芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健， 因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解 行情，进行市场调研，从 4 月 1 日起，芦荟的种植成本 Q(单位：元/10 kg)与上市时间 t(单位： 天)的数据情况如下表： t50110250 Q150108150 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最好能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关 系的函数：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt； (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及
19、最低种植成本 解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是 常函数，若用函数 Qatb，Qabt，Qalogbt 中的任意一个来反映时都应有 a0，且上 述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数 Qat2bt c 进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数 Qat2btc，可得 1502 500a50bc， 10812 100a110bc， 15062 500a250bc. 解得 a 1 200，b 3 2，c 425 2 . 所以刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间的变化关系的函数为 Q 1 200t 23 2t 42
20、5 2 . (2)由(1)可得，函数 Q 为开口向上，对称轴为 t 3 2 2 1 200 150 的抛物线， 所以当 t150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q 1 200150 23 2150 425 2 100(元/10 kg) 10某网购店从 2017 年起参与“双十一”促销活动，已知 20172019 年“双十一”期间该 网购店的销售额分别为 10 万元、12 万元、13 万元，为了估计以后每年“双十一”的销售额， 以这三年的销售额为依据，用一个函数模拟该网站的销售额 y(万元)与年份数 x 的关系(为计算 方便，2017 年用 x1 代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数 yax2b
21、xc 或函数 yabx c(其中 a，b，c 为常数)，若已知 2020 年“双十一”期间该网购店的销售额为 13.4 万元， 请问以上哪个函数作为模拟函数比较好？请说明理由，并根据以上结果预测 2021 年“双十 一”期间该网店的销售额 解若选用二次函数 yax2bxc， 则 abc10， 4a2bc12， 9a3bc13， 解得 a1 2， b7 2， c7， 即 y1 2x 27 2x7， 当 x4 时，y1 216 7 24713； 若选用函数 yabxc， 则 abc10， ab2c12， ab3c13， 解得 a8， b1 2， c14， 即 y8 1 2 x14， 当 x4 时，
22、y8 1 2 41413.5， 则可以判断 y8 1 2 x14 作为模拟函数比较好， 当 x5 时，y8 1 2 51413.75， 则预测 2021 年“双十一”期间该网店的销售额为 13.75 万元 11 已知碳 14 是一种放射性元素， 在放射过程中， 质量会不断减少 已知 1 克碳 14 经过 5730 年，质量经过放射消耗到 0.5 克，则再经过多少年，质量可放射消耗到 0.125 克() A5730B11460C17190D22920 答案B 解析由题意可得，碳 14 的半衰期为 5730 年，则再过 5730 年后，质量从 0.5 克消耗到 0.25 克，过 11460 年后，
23、质量可消耗到 0.125 克 12 根 据 统 计 ， 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 ： 分 钟 ) 为 f(x) c x，x200 时，y5 不满足公司要求； 中，函数 y1.003x，易知满足(1)，但当 x600 时，y5 不满足公司要求； 中， 函数 y1log7x， 易知满足(1)， 且当 x1 000 时， y 取最大值 1log71 0001 3 lg 75 不满足公司要求 16科学家发现某种特别物质的温度 y(单位：摄氏度)随时间 x(单位：分钟)的变化规律满足 关系式：ym2x21 x(0 x4，m0) (1)若 m2，求经过多少分钟，该物质的温度为 5 摄氏度？ (2)如果该物质温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围 解(1)由题意，得 m2， 令 y22x21 x22x2 2x5， 解得 x1(负值舍去)， 因此，经过 1 分钟，该物质的温度为 5 摄氏度 (2)由题意得 m2x21 x2 对一切 0 x4 恒成立， 则由 m2x21 x2， 得 m2 2x 2 22x， 令 t2 x， 则 1 16t1，且 m2t2t 2， 构造函数 f(t)2t2t22 t1 2 21 2， 所以当 t1 2时，函数 yf(t)取得最大值 1 2， 则 m1 2. 因此，实数 m 的取值范围是 1 2，.
