1、专题层级快练专题层级快练(六十三六十三) 1(2021河南新乡一调)设 O 为坐标原点，已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ， 抛物线 C2：x2ay 的准线方程为 y1 2. (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； (2)设过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C1交于不同的两点 P，Q，若 O 在以 PQ 为直径的圆的 外部，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 答案(1)C1：x 2 4 y21，C2：x22y (2) 2， 3 2 3 2 ，2 解析(1)由题意得a 4 1 2，a2，故抛物线 C 2的方程为 x22y. 又 e 3 2 ，c 3，
2、b1，从而椭圆 C1的方程为x 2 4 y21. (2)显然直线 x0 不满足条件，故可设直线 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由 x2 4 y21， ykx2， 得(14k2)x216kx120. (16k)2412(14k2)0， k ， 3 2 3 2 ， ， x1x2 16k 14k2，x 1x2 12 14k2， 根据题意，得 0POQ0， OP OQ x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)412（1k 2） 14k2 2k 16k 14k24 164k2 14k2 0， 2kb0)的右焦点为 F 2，短轴 B1B2的 长
3、为 2 3，且B1F2B2为等边三角形 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过点 P(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，求PM PN 的取值范围 答案(1)x 2 12 y2 3 1(2) 1，13 4 解析(1)由短轴 B1B2的长为 2 3，得 2b2 3，所以 b 3. 因为B1F2B2为等边三角形， 所以 cbtan603，则 a2b2c212， 故椭圆 C 的方程为x 2 12 y2 3 1. (2)当直线 l 的斜率不存在时，易得点 M，N 的坐标，不妨设 M(0， 3)，N(0， 3)， 则PM PN (0， 32)(0， 32)1. 当直线 l 的斜率存在
4、时，设直线 l 的方程为 ykx2，M(x1，y1)，N(x2，y2) 将直线 l 的方程与椭圆方程联立并整理得，(14k2)x216kx40， 由256k244(14k2)0，得 k2 1 12， 所以 x1x2 16k 14k2，x 1x2 4 14k2， 所以 y1y2k(x1x2)4 4 14k2， y1y2k2x1x22k(x1x2)4412k 2 14k2 . 所以PM PN (x 1，y12)(x2，y22) x1x2y1y22(y1y2)4 44k 2 14k2 1 3 14k2 1，13 4 . 综上可得， PM PN 的取值范围为1，13 4 . 3(2021青海西宁检测)
5、已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点为 F 1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且PF1F2面积的最大值为 3，周长为 6. (1)求椭圆 C 的方程，并求椭圆 C 的离心率； (2)已知直线 l：ykx1(k0)与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，若在 x 轴上存在点 M(m，0)， 使得 M 与 AB 中点的连线与直线 l 垂直，求实数 m 的取值范围 答案(1)x 2 4 y 2 3 1 1 2 (2) 3 12，0 解析(1)由题意得 bc 3， 2c2a6， a2b2c2， 解之得 a2，b 3，c1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1，椭圆的
6、离心率 e1 2. (2)由 ykx1， x2 4 y 2 3 1，得(4k 23)x28kx80，192k2960， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8k 4k23，y 1y2 6 4k23，所以线段 AB 中点的坐标为 4k 4k23， 3 4k23 ，由 M 与 AB 中点的连线与直线 l 垂直，得 3 4k23 m 4k 4k23 1 k，整理得 m k 4k23 1 4k3 k ， 因为 k0，所以 4k3 k2 4k3 k4 3，当且仅当 4k 3 k，即 k 3 2 时上式取得等号， 此时 m 取得最小值 3 12，因为 k0，所以 m k 4k23b0)的
7、右焦点 F2，且交椭圆 E 于 M，N 两点椭圆 E 的左焦点为 F1，MNF1的周长为 8 3. (1)求椭圆 E 的方程； (2)若直线 l： xmy3 m24 3 交曲线 y23 4x 2于 A， B 两点， 且 S OMN|AB|(O 为坐标原点)， 试求实数的取值范围 答案(1)x 2 12 y2 3 1(2) 0，3 2 解析(1)直线 l：xmy3 交 x 轴于点(3，0)，椭圆 E 的右焦点为 F2(3，0) 由椭圆的定义可知 4a|MF1|MF2|NF2|NF1|MN|MF1|NF1|8 3， a2 3，b2a2c21293，椭圆 E 的方程为x 2 12 y2 3 1. (
8、2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线 l 与椭圆 E 的方程联立，得 x2 12 y2 3 1， xmy3， 化简并整理，得(m24)y26my30， 易知0，y1y2 6m m24，y 1y2 3 m24， SOMN1 2|OF 2|y1y2| 3 2 （y1y2）24y1y23 2 6m m24 2 4 3 m24 6 3 1m2 m24 . 设 A(x3，y3)，B(x4，y4)，由题意得 y23 4x 2， xmy3， ， 得(3m24)y218my270， m24 3，3m 240，易知0，则 y3y418m 3m24，y 3y4 27 3m24， |AB| 1m2|y3y4| 1m2 （y3y4）24y3y412 3 1m 2 3m24 ， 由 SOMN|AB|，得S OMN |AB| 6 3 1m2 m24 12 3 1m2 3m24 3m24 2（m24）， 当 m24 3时， 3m24 2（m24） 3 2 8 m24 0，3 2 ，实数的取值范围为 0，3 2 .
