1、4.2.2指数函数的图象与性质(二) 第四章4.2指数函数 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式. 2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、利用单调性比较大小 二、简单的指数不等式的解法 三、定区间上的值域问题 内容索引 四、指数函数图象和性质的综合运用 一、利用单调性比较大小 例1(1)1.11.1，1.10.9； 解因为y1.1x是增函数，1.10.9，故1.11.11.10.9. (2)0.10.2，0.10.9； 解因为y0.1x是减函数，0.20.10.9. (3)30.1，0.1； 解因为yx0.1在(0，)上单调
2、递增，3，故30.11.701，0.91.10.91.1. (5)0.70.8，0.80.7. 解取中间值0.70.7，因为0.70.80.70.70.80.7， 故0.70.80.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.80.80.80.80.7). 反思感悟一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性 来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来 判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 跟踪训练1(1)下列大小关系正确的是 A.0.4330.40 B.0.43030.4 C.
3、30.40.430 D.030.40.43 解析0.430.40103030.4. (2)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是 A.abc B.acb C.bac D.bc1.501,0.60.60.60.6， 又函数y0.6x在R上是减函数，且1.50.6， 0.61.50.60.6，故0.61.50.60.61.50.6. 即bac. 二、简单的指数不等式的解法 3x11，x0， 故原不等式的解集是x|x0. (2)已知 0，a1)，求x的取值范围. 2 31xx a 解分情况讨论：当0a0，a1)在R上是减函数， x23x1x6， x24x50， 解
4、得x5； 当a1时，函数f(x)ax(a0，a1)在R上是增函数， x23x1x6， x24x50，解得1x5， 综上所述，当0a1时， x的取值范围是x|x5； 当a1时，x的取值范围是x|1xag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养 成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即 af(x)ag(x)f(x)g(x)(a1)或f(x)g(x)(0a1). 跟踪训练2(1)求下列函数的定义域. 解由2x10解得x0， (2)不等式232x0.53x4的解集为_. 解析原不等式可化为232x243x， 因为函数y2x是R上的增函数， 所以32x43x，解得x1，
5、则不等式的解集为x|x1. x|x1,0a1两种情况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可. (2)特别地，如果是最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单 调递增还是递减，最值总在端点处取到. 2 1 2 x 2 1 2 x x2142x，解得3x1， 所以232x2， 四、指数函数图象和性质的综合运用 (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性； 该函数是减函数，证明如下： 任取x1，x2R，x1x2， f(x2)f(x1) 21 21 1 21 2 1212 xx xx 12 12 2 22 . 1212 xx xx 因为x1x2，所以0 ， 12 22 xx 所以 0， 12 22
6、 xx 1 2 x 2 2 x 所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1). 所以该函数在定义域R上是减函数. (2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取 值范围. 解由f(t22t)f(2t2k)0， 得f(t22t)f(2t2k). 因为f(x)是奇函数，所以f(t22t)k2t2， 即3t22tk0对任意tR恒成立， 反思感悟函数性质的综合应用 (1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导 致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以 将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题. (2)一元二次不等式的恒成立问
7、题，可以结合相应的一元二次函数的图 象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化 为最值问题等方法求解. (1)求实数a的值； 又a0，所以a1. (2)求f(x)在1,3上的值域. 设任意的x1，x2(0，)，且x1x2， 因为0 x1x2，所以 ， 则f(x1)f(x2) 12 12 11 44 44 xx xx 12 12 1 441. 4 xx xx 12 44 xx 所以 0，所以 1， 12 4 xx 所以1 0， 12 1 4 xx 所以f(x1)f(x2)0， 即f(x1)1还是0a0.3n，所以m0.3n，则m，n的大小关系为 A.mn B.mn C.mn D
8、.不能确定 1234 2.f(x) ，xR，那么f(x)是 A.奇函数且在(0，)上是增函数 B.偶函数且在(0，)上是增函数 C.奇函数且在(0，)上是减函数 D.偶函数且在(0，)上是减函数 解析由xR且f(x)f(x)知f(x)是偶函数， 1234 3.函数f(x) 的定义域为 A.(3,0 B.(3,1 C.(，3)(3,0 D.(，3)(3,1 所以函数f(x)的定义域为(3,0. 1234 且 ， 4.不等式 的解集为_. (1,2) 2 224 11 22 xxx 2 224 11 22 xxx 所以x22x2x4， 即x23x20， 解得1x2. 课时对点练 基础巩固 1234
9、5678910 11 12 13 14 15 16 1.方程42x116的解是 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(多选)已知实数a，b满足等式2 021a2 022b，下列等式可以成立的是 A.ab0 B.ab0 C.0ab D.0ba 解析如图，观察易知，ab0或0b0)为增函数，所以ac. 2 5 3 5 3 5 2 5 2 5 2 5 A.acb B.abc C.cab D.bca 2 5 x 所以acb. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 解析因为f(x)为定义在R
10、上的奇函数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.函数y 的定义域是_. 解析由题意得2x180，即2x1823， x13，解得x4. 4，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； 解函数y1.5x在R上是增函数，2.53.2， 1.52.51.5， 0.61.21.501， 又0.81.20.81.2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象 关于y轴对称，又g(2x1)0
11、且a1)， 因为f(3)8，所以a38，即a2，所以f(x)2x， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 因此由g(2x1)3x，解得x1. 所以x的取值范围为(，1). 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是 A.1.72.51.73 B.0.80.10.80.2 C.1.50.40.82.6 D. 11 34 11 34 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析函数y1.7x在R上为增函数，2.53， 1.72.50.2， 0.80.11.501,0.82.60.82.6，C错误；
12、 12 1 3 1 3 12 1 4 1 4 11 34 11 34 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)ax(a0，且a1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，则函数y f(x)的大致图象是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为函数f(x)ax(a0， 且a1)在(0,2)内的值域是(1，a2)， 又指数函数是单调函数，所以a1. 由底数大于1的指数函数的图象上升， 且在x轴上方，可知B正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，
13、若f(x2)0，则x 的取值范围是 A.(，0) B.(0,4) C.(4，) D.(，0)(4，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当x0时，令f(x)2x40，解得x2. 又f(x)是定义在R上的偶函数， 其图象关于y轴对称， 不等式f(x)0在R上的解集为(，2)(2，). 不等式f(x2)0等价为x2(，2)(2，)， 解得x(，0)(4，). 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意知f(x)是R上的减函数， 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.定义运算：a b 则函数f(x)3x
14、3x的值域为_. (0,1 函数f(x)的图象如图， 由图可知f(x)的值域为(0,1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)2x. (1)求f(0) 22的值； 3 2 2 解由题意知f(0) 2220 221 1200. 3 2 2 3 2 2 1 2 2 3 1 2 2 2 2 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若函数h(x)f(x)g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件： h(x)为偶函数； h(x)2且xR使得h(x)2； g(x)0且g(x)恒过(0,1)点. 写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解满足题意的函数g(x)2x. 证明如下：因为h(x)2x2x， 所以h(x)2x2(x)2x2xh(x)， 所以h(x)2x2x为偶函数. 当且仅当2x2x， 即x0时等号成立， g(x)2x0，g(x)恒过(0,1)点. 本课结束 更多精彩内容请登录：
