1、第3课时正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体 性质. 2.能够解决简单的函数性质的综合问题. 学 习 目 标 同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比 较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思 想能有效帮助我们解决问题，整体代换思想是我们高中数学解题中的 一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函 数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等， 尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作 用，今天，我们继续
2、体会整体代换的数学思想. 导 语 随堂演练课时对点练 一、形如yasin2xbsin xc(a0)型函数的最值(值域)问题 二、正弦函数、余弦函数的对称性 三、函数性质的综合应用 内容索引 一、形如yasin2xbsin xc(a0)型函数的最值(值域)问题 问题1求二次函数的最值，需要明确哪些方面？ 提示开口方向，对称轴，函数的定义域. 问题2同角三角函数的平方关系是什么？ 提示sin2cos21. 例1函数ycos2x2sin x2，xR的值域为_. 4,0 解析因为ycos2x2sin x2 sin2x2sin x1(sin x1)2. 又1sin x1，所以4y0， 所以函数ycos2
3、x2sin x2，xR的值域为4,0. 延伸探究 解由例题解答可知y(sin x1)2， 2.本例函数变为ysin2x2cos x2，xR，求函数的值域. 解因为ysin2x2cos x2 1cos2x2cos x2 cos2x2cos x1 (cos x1)2， 又1cos x1， 所以函数的值域为4,0. 反思感悟求yasin2xbsin xc(a0)型函数最值(值域)的方法 形如yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设tsin x，转化 为二次函数yat2btc求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x) asin2xbcos xc，还需利用同角三角函数的基本关系，
4、转化成同名 三角函数求值. 1 令cos xt，则t0,1， 二、正弦函数、余弦函数的对称性 问题3正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是 正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果 有，那么对称中心的坐标是多少？ 提示有，(k，0)(kZ). 问题4正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ 问题5类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称 轴和对称中心吗？ 反思感悟正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲 线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正 弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦
5、曲线与x轴的交点， 即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想. 三、函数性质的综合应用 解析逐一验证，由函数f(x)的周期为，故排除B； 反思感悟研究三角函数的几个方面 整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、 奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑. 1.知识清单： (1)形如yasin2xbsin xc(a0)型函数的最值(值域)问题. (2)正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心. (3)函数性质的综合运用. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：二次函数的最值问题. 课堂小结 随堂演练 1234 1234 当x时，y4cos 4，即
6、函数的最小值a4， 则ba2(4)6. 1234 1234 且f(0)1为最小值，故sin 1. 1234 4.函数ycos2xsin x的最大值为_. 解析因为ycos2xsin x1sin2xsin x， 令tsin x，t1,1， 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.函数ysin x的图象的两个相邻对称中心间的距离为 A. B.2 C.1 D.2 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.ysin
7、x B.ycos xC.ysin 2x D.ycos 2x 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析周期为，故排除A，B； 又ycos t在，2上单调递增， 所以选项D中ycos 2x符合题意. 解析由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 12345678910 1
8、1 12 13 14 15 16 (1)求f(x)； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求f(x)的单调递增区间. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)sin2xsin xa.当f(x)0有实数解时，求a的取值 范围. 解1sin x1，令tsin x，则1t1. f(x)0有实数解，即t2ta0在1,1内有实数解. at2t，t1,1， 当t1时，h(t)max2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 1234567891
9、0 11 12 13 14 15 16 解析f(x)的最小正周期为2，易知A正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.f(1)f(0)f(2) B.f(0)f(2)f(1) C.f(2)f(0)f(1) D.f(2)f(1)f(0) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为f(x)的最小正周期为， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 故可得f(0)f(2)0，kN. 的最小值为7. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求函数f(x)的单调递增区间； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以当0k2时，函数yk与函数yf(x)的图象有两个公共点， 即当0k2时，方程f(x)k恰有两个不同的实数根. 本课结束 更多精彩内容请登录：
