1、第2课时两角和与差的正弦、余弦公式 第五章5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和 与差的正弦公式. 2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、 计算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的 正用、逆用以及角的变换的常用方法. 学 习 目 标 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面 对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人 们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止， 在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的
2、余弦公 式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题， 但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切， 两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利 用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展. 导 语 随堂演练课时对点练 一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 二、给值求值 三、给值求角 内容索引 一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 问题1请同学们写出两角差的余弦公式. 提示cos()cos cos sin sin . 问题2试比较cos()和cos()，观察两者之间的联系，你能发现 什么？ 提示我们注意到与有联系，
3、()，于是我们可以 根据已知的两角差的余弦公式进行展开. 即cos()cos()cos cos()sin sin()cos cos sin sin ，于是我们得到了两角和的余弦公式. 公式五或六实现了正弦、余弦的相互转化，你能想到如何表示两角和 与差的正弦吗？ 知识梳理 1.两角和的余弦公式 cos() ，其中，R，简记作C(). 2.两角和与差的正弦公式 sin() ，其中，R，简记作S()； sin() ，其中，R，简记作S(). 注意点注意点： (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正， 符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”； (2)公式
4、的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序. cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 解析方法一方法一原式sin 20sin 40cos 20cos 40 (cos 20cos 40sin 20sin 40) cos 60 方法二方法二原式cos 70sin 40cos 20cos 40 sin 40cos 70sin 70cos 40 sin(4070)sin(30)sin 30 反思感悟探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的 基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各
5、 局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消 的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形 使用公式. 二、给值求值 所以sin()sin cos cos sin 延伸探究 1.若本例条件不变，求sin()的值. 所以sin()sin cos cos sin 2.若本例条件不变，求cos()的值. 解由以上可知cos()cos cos sin sin 反思感悟给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当 地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角 为同角，具体做法是： 当条件中有两角
6、时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； 当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值 缩小角的范围. 所以cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 三、给值求角 cos()cos cos sin sin 又因为，均为锐角， 反思感悟解决给值(式)求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选 取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，)或(，2)时， 解因为和均为钝角，
7、由和均为钝角，得2 所以cos()cos cos sin sin ， 1.知识清单： (1)公式的推导. (2)给式求值、给值求值、给值求角. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围. 课堂小结 随堂演练 1.sin 105的值为 1234 1234 2.sin 20cos 10cos 160sin 10等于 解析sin 20cos 10cos 160sin 10 1234 1234 课时对点练 1.化简sin 21cos 81cos 21sin 81等于 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345
8、678910 11 12 13 14 15 16 A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 f(x)为奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 两式相加可得2cos cos 0，即cos cos 0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知sin cos 1，cos sin 0，则sin() . 解析sin cos 1，cos sin 0
9、， sin2cos22sin cos 1， cos2sin22cos sin 0， 两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 2sin(1545) 2sin(30)1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 求：(1)cos(2)的值； 所以cos(2)cos()cos c
10、os()sin sin() 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)的值. 解cos cos() cos cos()sin sin() 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.在ABC中，sin Asin Bcos Acos B，则这个三角形的形状为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形
11、 D.等腰三角形 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析在ABC中，sin Asin B0，cos C0， 则C为钝角，故ABC是钝角三角形. 12345678910 11 12 13 14 15 16 1,3 2m12，即1m3. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.“在ABC中，cos Acos B sin Asin B”，已知横线处是一 个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线 处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c， 这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是 . bac 解析由题意，得横线处的实数等于cos(AB)，即cos(C)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当C是锐角时，1bcos(AB)0； 当C是钝角时，0ccos(AB)1，故bac. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求sin 的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 sin sin()sin()cos cos()sin 解cos(2)cos() cos()cos sin sin() (2)求2的值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
