1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试题（理科）数学试题（理科） 一、单选题（共一、单选题（共 1212 道小题，每题道小题，每题 5 5 分）分） 1.已知复数 4 1 z i （i为虚数单位） ，则z的虚部为（） A. 2B.2iC.2D.2i 【答案】C 【解析】 【分析】 按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部. 【详解】由题意得: 44(1)4(1) 22 1(1)(1)2 ii zi iii ， z的虚部为2. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题. 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2, 1) ，则(1i)z等于() A.3iB
2、.2iC.1 iD.1 i 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可得z，代入（1+i）z，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【详解】解：由已知得，z2i， （1+i）z（1+i） （2i）3+i 故选A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础 题 3.已知复数 2 3 z i ，则复数z的共轭复数z （） A. 31 22 i B. 13 22 i C. 31 22 i D. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 13 22 i 【答案】A 【解析】 【分析】 复数z实数化，即可求解. 【详解】因为 22( 3)3 23
3、( 3)( 3) ii z iii ，所以 31 22 zi . 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题. 4.已知复数z满足 1 3i i 1 i z ，则z （） A. 2B. 2 2 C. 5D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简 1 3i i 1 i z ，再求z 【详解】解： 1 3i11 3i i=22 1 i1 i1 i zii i 22 222 2z 故选：B 【点睛】考查复数的计算及复数模的求法，基础题. 5.在平面直角坐标系中，方程 x 2+y21 经过伸缩变换 2 3 xx yy 后，得到的方程为（） A. 22 1 23 xy
4、B. 2x 2+3y21 C. 22 1 49 xy D. 4x 2+9y2 1 【答案】C 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【解析】 【分析】 由伸缩变换 2 3 xx yy 可得 2 3 x x y y ，将其代入方程 x 2+y21，进而化简即可 【详解】根据题意，由伸缩变换 2 3 xx yy 可得 2 3 x x y y ，将其代入方程 x 2+y21 可得： （ 2 x ） 2+（ 3 y ） 21，化简可得： 22 1 49 xy 故选 C 【点睛】本题考查直角坐标系中的伸缩变化，关键是掌握伸缩变化的公式的应用，属于基础 题 6.一质点的运动方程为
5、s20 1 2 gt 2(g9.8 m/s2)，则 t3 s 时的瞬时速度为() A. 20 m/sB. 29.4 m/s C. 49.4 m/sD. 64.1 m/s 【答案】B 【解析】 vs(t)gt，当t3 时，v3g29.4. 选 B 7.若 3 个班分别从 5 个风景点中选择一处浏览，则不同选法的种数是()种. A. 3B. 15C. 5 3 D. 3 5 【答案】D 【解析】 【分析】 因为每个班级的选择可以重复出现，由分步计数既可以求得答案. 【详解】因为每个班级的选择可以重复出现，所以第一个班先选有 5 种；第二班再选有 5 种； 最后一个班最后选有 5 种，分步计数再相乘，
6、则共有 3 5种不同的选法. 故选：D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【点睛】本题考查分步乘法计数原理求事件的所有可能，属于基础题. 8.如图是函数( )yf x的导函数( )yfx的图象，给出下列命题： -2 是函数( )yf x的极值点； 1 是函数( )yf x的极值点； ( )yf x的图象在0 x 处切线的斜率小于零； 函数( )yf x在区间( 2,2) 上单调递增. 则正确命题的序号是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据导函数图像可知， -2 是导函数得零点且-2 的左右两侧导函数值符号异号， 故-2 是极值点， 1 不是极值
7、点，因为 1 的左右两侧导函数符号不一致，0 处的导函数值即为此点的切线斜率显 然为正值，导函数在2,2恒大等于零，故为函数的增区间，所以选 D 点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点 除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号 9.由曲线yx 2与直线 y2x所围成的平面图形的面积为() A. 4 3 B.2C.3D. 3 2 【答案】A 【解析】 易知直线与曲线的交点为 0,0 , 2,4.故所求面积为 2 3 222 0 0 4 2| 33 x xxx . 10.用数字2、3、4、5、6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（） A
8、.120B.72C.60D.48 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意知，个位数必为偶数，其它数位没有限制，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在2、4、6种任选一个数，有 1 3 C种选 择， 其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为 14 34 3 2472C A . 故选：B. 【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基 础题. 11.如图，一环形花坛分成ABCD， ， ，四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种
9、1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A. 96B. 84C. 60D. 48 【答案】B 【解析】 解：分三类：种两种花有 2 4 A种种法； 种三种花有 2 3 4 A种种法； 种四种花有 4 4 A种种法 共有 2 3 4 A+ 2 4 A+ 4 4 A=84 故选 B 12.若函数 f（x）= 1 3 x 3-1 2 ax 2+（a-1）x+1 在区间（1，+）上为增函数，则实数 a 的取值范 围是 A. 2，+）B. （2，+）C. （-，2D. （-，2） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【答案】C 【解析】 若函数 f（x
10、）= 1 3 x 3-1 2 ax 2+（a-1）x+1 在区间（1，+）上为增函数， 则 2 ( )(1)0fxxaxa在（1，+）上恒成立， 化简得 2 1(1)xa x ，当1x ， 2 1 1 1 x ax x ， 只需 min (1)2ax，故选 C. 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 道小题，每题道小题，每题 5 5 分）分） 13.将极坐标方程2cos化成直角坐标方程为 【答案】 【解析】 【分析】 由2cos两边乘以，利用 222, cosxyx可得结果. 【详解】将极坐标方程2cos化为 2 2 cos， 因为 222, cosxyx， 所以直角坐标方程 2 2 cos，
11、 22 2xyx， 故答案为 22 20 xyx. 【点睛】 本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程， 属于基础题.利用关系式 cos sin x y ， 222 tan xy y x 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化. 14.在极坐标系中，点 3 4, 4 A ，直线: 3 l R，则A到直线l的距离是_. 【答案】 62 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【分析】 先求得点A的直角坐标， 求得直线l的直角坐标方程， 根据点到直线的距离公式求得点A到直 线l的距离. 【详解】点 3 4, 4 A 的直角坐标为2 2,2 2， 直线 3 的直角坐标系
12、方程为3yx，即30 xy， 所以A到直线l的距离是 2 62 2 62 2 . 【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标互化，考查点到直线的距离公式，属于基础题. 15.若函数 2 ( )(3)lnf xxaxx在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a的取值范 围为_. 【答案】 15 (, 6) 2 【解析】 【分析】 求出导函数( )fx ，( )0fx 在区间(1,2)上有一个解（不是相等的实根） 【详解】 2 12(3)1 ( )2(3) xax fxxa xx ， 函数 ( )f x在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则 2 ( )2(3)10g xxax 在区间(1,2)上 有
13、一个解， (1) (2)(6)(215)0ggaa，解得 15 6 2 a 故答案为： 15 (, 6) 2 【点睛】本题考查导数与函数的极值，函数在某个区间上存在唯一极值点，则( )0fx 在此 区间上有唯一解，利用函数零点存在定理求解可得 16.已知函数 fx是定义在R上的偶函数，当0 x 时， 0f xxfx，若 20f， 则不等式 0 xf x 的解集为_ 【答案】20,2 ，. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【解析】 【分析】 由题意构造函数 g xxf x，结合函数的单调性和函数的奇偶性整理计算即可求得最终结 果. 【详解】令 g xxf x，由
14、f x是偶函数可知函数 g x为奇函数， 则当0 x 时， 0gxf xxfx，即函数 g x是区间,0上的减函数， 且 2220gf，据此绘制函数 g x的大致图象如图所示， 结合函数图象可知不等式 0 xf x 的解集为20,2 ，. 【点睛】 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问 题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么 运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、 准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当 的函数，利用它的
15、单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决， 往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 道小题，其中道小题，其中 1717 题题 1010 分，其它每题分，其它每题 1212 分）分） 17.已知复数 22 6(28)izxxxx，xR，i为虚数单位，求满足下列条件的x的 值 （1）z是实数 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - （2）z是纯虚数 【答案】 （1）2x 或4x （2）3x 【解析】 分析：(1)根据复数为实数得虚部为零，解方程得结果，(2) 根据复数为纯虚数得实部为零， 且虚部不为零，解方程
16、组得结果. 详解： 解： （1） 22 628 i2324 izxxxxxxxx， 若z是实数，则240 xx， 2x 或4x （2）若z是纯虚数，则230 xx且240 xx， 解得3x 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算， 要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ()()()() ,( , , .)abi cdiacbdadbc i a b cdR. 其次要熟悉复数相关基本概念，如 复数( ,)abi a bR的实部为a、虚部为b、模为 22 ab 、对应点为( , )a b、共轭为.abi 18.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
17、1 1 2 3 2 xt yt （t为参数） ，椭圆C的 参数方程为 cos 2sin x y （为参数） （1）将直线l的参数方程化为极坐标方程； （2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. 【答案】 （1）3 cossin30（2） 16 7 AB 【解析】 【详解】 （1）直线l的参数方程化为普通方程为330 xy， 代入互化公式 cos sin x y 可得直线l的极坐标方程3 cossin30 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - （2）椭圆C的普通方程为 2 2 1 4 y x ，将直线l的参数方程 1 1 2 3 2 xt yt ，代入
18、2 2 1 4 y x ， 得 2 2 3 () 1 2 (1)1 24 t t ，即 2 7160tt ，解得 1 0t ， 2 16 7 t ， 所以 12 16 7 ABtt 考点：极坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长 19.7 人排成一排，按以下要求分别有多少种排法？ (1)甲、乙两人排在一起； (2)甲不在左端、乙不在右端； (3)甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起.（答题要求：先列式，后计算） 【答案】 267652242 267652345 (1)1440;(2)23720;(3)2880.AAAAAACAA 【解析】 【分析】 (1)用捆绑法，先将甲乙捆绑在
19、一起，与其他 5 人全排列；(2)用间接法，先 7 人全排列，再 减去甲在最左端和乙在最右端的排法，其中甲在最左端和乙在最右端的排法中都有甲在最左 端且乙在最右端的排法，所以多减了一次甲在最左端且乙在最右端的排法应再加上即可；(3) 先从甲、乙、丙三人中选两人捆绑一起，这样甲、乙、丙三人就可看作两个部分，将剩下的 4 人全排列，这 4 个人之间和两端有 5 个位置，用插空法在这 5 个位置中选 2 个位置插入分好 甲乙丙. 【详解】(1) 由于甲、乙两人排在一起，可以看成一个整体，这样同其他 5 个人合在一起有 6 个元素，有 6 6 A种排法，而其中每一种排法中，甲、乙两人又有 2 2 A种
20、排法，因此共有 26 26 1440AA种不同排法 (2) 7 个人全排，共 7 7 A种，其中，不合条件的有甲在最左端时，有 6 6 A种，乙在最右端时，有 6 6 A种，其中都包含了甲在最左端，同时乙在最右端的情形，有 5 5 A种，因此共有 765 765 23720AAA种不同排法. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - (3) 由于甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起，所以先选 2 人看成一个整体，有 2 3 C种选法， 排法有 22 23 AC种.剩下的 4 人，共 4 4 A种排法，这 4 个人之间和两端有 5 个位置，从中选取 2 个位置排甲、乙、丙，
21、有 2 5 A种排法，因此共有 2242 2345 2880ACAA种排法. 【点睛】求解排列应用题的主要方法：(1)直接法；(2)优先法；(3)捆绑法；(4)插空法；(5) 先整体后局部；(6)定序问题除法处理；(7)间接法 20.已知曲线C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数） ，以直角坐标系的原点o为极点，x轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程是： 12cossin 6 （）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程： （）点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值与最小值. 【答案】 （） 22 1 49 xy ，2 60 xy.（）最大值11 5 5
22、 ；最小值 5 5 . 【解析】 【分析】 （）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；直线l的极坐标方程化为 2cossin6，利用cos ,sinxy求出直线l的直角坐标方程. （）设2cos ,3sinP，则P到直线l的距离： 5sin6 5 d ，由此能求出点P 到直线l距离的最大值与最小值. 【详解】 （）曲线C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数） ， 曲线C的普通方程为 22 1 49 xy ， 直线l的极坐标方程是： 12cossin 6 ， 2 cossin6， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 直线l的直角坐标方程为2
23、60 xy. （）点P是曲线C上的动点， 设2cos ,3sinP，则P到直线l的距离： 5sin64cos3sin6 4 15 d ， 当sin1 时，点P到直线l距离取最大值 max 5611 5 55 d ； 当sin1时，点P到直线l距离取最小值 min 15 55 d. 【点睛】本题主要考查考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及曲线上的点到 直线的距离的最值的求法，还考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数 32 1 ( )( ,) 3 f xxaxbx a bR在3x 处取得极大值为 9. （1）求a，b的值； （2）求函数 ( )f x在区间 4,4 上的最大值
24、与最小值. 【答案】 （1） 1 3 a b （2）最大值为 76 3 ，最小值为 5 3 【解析】 【分析】 （1）根据极值点的定义和极值可构造方程组求得结果； （2）根据导函数的正负可求得 fx单调性，进而得到极值和区间端点值，从而得到最值. 【详解】 （1）由题意得： 2 2fxxaxb， 3960 39939 fab fab ，解得： 1 3 a b . 当 1 3 a b 时， 32 1 3 3 f xxxx， 2 2331fxxxxx， 当, 3x 和1,时， 0fx；当3,1x 时， 0fx， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - f x在, 3 ，
25、1,上单调递增，在3,1 上单调递减， f x的极大值为 39f ，满足题意. （2）由（1）得： fx的极大值为39f ，极小值为 15 11 3 33 f ， 又 20 4 3 f ， 76 4 3 f， f x在区间4,4上的最大值为 76 3 ，最小值为 5 3 . 【点睛】本题考查根据极值点和极值求解参数值、利用导数求解函数的最值的问题；需明确 函数在区间内的最值必在极值点或区间端点处取得. 22.设函数( )sinf xaxx （1）若1a ，求曲线( )yf x在点( ,( )f处的切线方程； （2）当1a，0,)x时，证明： 3 1 ( ) 6 f xx 【答案】 （1）2yx
26、； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据导数的几何意义求解切线方程； （2）构造函数 3 1 ( )sin 6 h xxxx，证明 0h x 恒成立即可，分析函数 h x的单调性 从而可证明. 【详解】 （1） sinxxxf， 1 cosfxx ， 2f，f， 切线方程为2yx，即2yx （2）设 3 1 ( )sin 6 g xaxxx，当1a时， 3 1 ( )sin 6 g xxxx， 设 3 1 ( )sin 6 h xxxx，0,)x，则只要证明 0h x 即可， 设 2 1 1cos 2 hxxxm x ，则 sinm xx x在0,)上递减， 00m xm， 00h xh， 00h xh， 3 1 ( ) 6 f xx 【点睛】本题考查利用导数求解切线方程以及利用导数证明不等式，难度一般.利用导数证明 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 不等式时，可选择将未知数转移至不等号一边，从而构造新函数，利用新函数的单调性分析 其最值，从而证明不等式. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 -
