1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 江苏省苏州市江苏省苏州市 2019201920202020 学年高二下学期期中考试学年高二下学期期中考试 数学试题数学试题 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂 在答题卡相应位置上）在答题卡相应位置上） 1.复数 1 1 i i （其中 i 是虚数单位）的实部是（） A. 1B.1C.2D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数 1 1 i i 即可得答案. 【详解】 2 112 = 1112 iii
2、 i iii ， 1 1 i i 的实部是 0. 故选：D 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 2.如果一质点的运动方程为 3 2St （位移单位：米；时间单位：秒） ，则该质点在3t 秒时 的瞬时速度为（） A. 6 米/秒B. 18 米/秒C. 54 米/秒D. 81 米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】 直接求函数的导函数 S ，计算 3 S 即可得答案. 【详解】由 3 2St 得 2 6St ，则 2 36 354 S ， 所以该质点在3t 秒时的瞬时速度为 54 米/秒. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的物理意义，考查了变化的快慢与
3、变化率，是基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3. 10 1 x x 的展开式中 4 x的系数是（ ） A.210B.120C. 120D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得二项展开式的通项公式 1 110 0 2 ( 1)r rr r TC x ， 令1024r得3r ， 代入即可得 4 x 的系数. 【详解】由二项展开式，知其通项为 10 11 1 1 0 00 2 ( 1) 1 rrrr r r r x x TCC x ， 令1024r，解得3r . 所以 4 x的系数为 3 10 3 ( 1)120C . 故选：B 【点睛】本题主要
4、考查二项式展开式中指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属 于基础题 4.导数公式“ 2 f x g xgx ”中分子应为（） A. f x gxfx g x B. fx g xf x gx C. f x g xfx gx D. fx gxf x g x 【答案】B 【解析】 【分析】 由公式 2 f xfx g xf x gx g xgx 直接可出答案. 【详解】由公式 2 f xfx g xf x gx g xgx 知答案为 fx g xf x gx . 故选：B 【点睛】本题考查了商的求导公式，要求学生牢记公式，是基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3
5、 - 5.平面截球得到半径是 3 的圆面，球心到这个平面的距离是 4，则该球的表面积是（） A.100B. 416 3 3 C.20D. 500 3 【答案】A 【解析】 【分析】 作出球的轴截面图，根据条件求出球的半径，然后根据球的表面积公式计算即可. 【详解】 由题知：43dr，所以 222 25Rrd ， 故该球的表面积为 2 4100R . 故选：A 【点睛】本题主要考查了球的截面圆的性质，球的表面积计算，是基础题. 6.5 个人站成一排，甲、乙两人中间恰有 1 人的排法共有（） A. 24 种B. 36 种C. 48 种D. 72 种 【答案】B 【解析】 【分析】 先将甲乙两人中间
6、安排一人，将三者绑定，再与剩余的两人进行全排列即可. 【详解】将甲乙两人中间安排一人，则有 12 32 CA种排法；将三人绑定，看成一个元素，再与 剩余的两人组成三个元素进行全排列，共有 123 323 36CAA种排法. 故选：B 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查了用捆绑法解决实际问题. 7.已知 28 2828 xx CC ，则x的值为（） A. 6B. 8C. 12D. 8 或 12 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【答案】D 【解析】 【分析】 由 28 2828 xx CC ，可得28xx或2828xx ，即可求得答案. 【详解】 28 282
7、8 xx CC 28xx或2828xx ， 解得：8x 或12x 故选：D 【点睛】本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题. 8.若 ln2 2 a ， ln3 3 b ， ln5 5 c ，则a，b，c的大小关系为（） A.acbB.abcC.cabD. bac 【答案】D 【解析】 【分析】 由 111 352 ln2ln3ln5abc， 知， 只需比较 111 352 2 3 5， 的大小就可得a，b，c的大小关系. 【详解】由 111 352 ln2ln3ln5abc， 知，只需比较 111 352 2 3 5， 的大小， 又 66 11 32 2839
8、 ，所以 11 32 23 ， 而 1010 11 52 232525 ，所以 11 52 52 ， 综上得： 111 532 523 ，所以bac. 故选：D 【点睛】本题主要考查了指数式，对数式的大小比较，考查了对数函数与幂函数的单调性. 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添 涂在答题卡相应位置上）涂在答题卡相应位置上） 9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - A
9、.ACBD B./ /AC截面PQMN C.ACBD D. 异面直线PM与BD所成的角为45 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可. 【详解】解：因为截面PQMN是正方形 ，所以/ /,/ /PQMN PNQM， 又MN 平面DAC 所以/ /PQ平面DAC 又PQ 平面BAC,平面BAC平面DACAC / / /,PQACMN / /AC截面PQMN，故 B 正确 同理可证/ / /,PNBDMQ 因为PNNM，所以ACBD，故 A 正确 又45PMQ 所以异面直线PM与BD所成的角为45，故 D 正确 AC和BD不一定相等，故 C 错误 故选：ABD
10、 【点睛】考查线线、线面平行的判定和性质以及异面直线所成的角；基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 10.已知复数 13zi (i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数 z w z ，则下列结论正 确的有（） A.w在复平面内对应的点位于第二象限B.1w C.w的实部为 1 2 D.w的虚部为 3 2 i 【答案】ABC 【解析】 【分析】 对选项,A求出 13 = 22 wi ，再判断得解；对选项B，求出1w 再判断得解；对选项,C 复数w的实部为 1 2 ，判断得解；对选项D,w的虚部为 3 2 ,判断得解. 【详解】对选项,A由题得13 ,zi 2 1
11、3( 13 )22 313 = 42213( 13 )( 13 ) iii wi iii . 所以复数w对应的点为 13 (,) 22 ，在第二象限，所以选项A正确； 对选项B，因为 13 1 44 w ，所以选项B正确； 对选项,C复数w的实部为 1 2 ，所以选项C正确； 对选项D,w的虚部为 3 2 ,所以选项D错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义， 考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11.下列组合数公式中恒成立的有（） A. mn m nn CC 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有
12、高考资源网 - 7 - B. 1 1 mm nn mCnC C. 1 11 mmm nnn CCC D. 2222 012 2 nn nnnnn CCCCC 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据组合数的公式可证,A B正确，举特值可知C不正确，利用 2 (1)(1)(1) nnn xxx两 边展开式中 n x的系数相等可证D正确. 【详解】对于A，因为 ! !()! m n n C m nm ， ! ()!()!()! n m n nn C nmnnmm nm ，所 以 mn m nn CC ，即A正确； 对于B， !(1)! !()!(1)! ()! m n nnn mCmm m nmm
13、mnm (1)! (1)!(1)(1)! n n mnm 1 1 m n nC ， 故B正确； 对于C，当1mn时，左边 2 2 1C，右边 11 12 123CC ，等式不成立，故C不正 确； 对于D，因为 2 (1)(1)(1) nnn xxx， 等式左边 n x的系数为： 011220nnnn nnnnnnnn CCCCCCCC 001122nn nnnnnnnn CCCCCCCC 0212222 ()()()() n nnnn CCCC， 等式右边 n x的系数为： 2 n n C， 所以 2222 012 2 nn nnnnn CCCCC，故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了
14、组合数公式，考查了二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 12.已知函数 ln x f xeax的定义域是D，有下列四个命题，其中正确的有（） A. 对于a (，0)，函数 fx在D上是单调增函数 B. 对于a (0，)，函数 fx存在最小值 C. 存在a(，0)，使得对于任意xD，都有 0f x 成立 D. 存在a(0，)，使得函数 fx有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 当0a 时，( )0fx 恒成立，可得A正确；当0a 时，利用二次求导可知函数在定义域内 存在最小值，故B正确；当0a 时，根据0 x 时，(
15、 )f x 可知C不正确； 当0a 时， 根据函数的最小值小于零能成立，可知D正确. 【详解】因为 ln x f xeax，定义域为(0,)， ( ) x a fxe x x xea x ， 当0a 时，( )0fx 恒成立，所以 ( )f x在D上是单调增函数，故A正确； 当0a 时，令( )(0) x g xxea x，则( )0 xx g xexe，所以( )(0) x g xxea x 为增函数，设( )0 x g xxea的根为 0 x，即 0 0 ()0 x g xea，则当 0 0 xx时， 0 ( )()0 x g xxeag x，此时( )0fx ， ( )f x在 0 (0
16、,)x上递减；当 0 xx时， 0 ( )()0 x g xxeag x，此时( )0f x ，( )f x在 0 (,)x 上递增，所以函数( )f x在 0 xx时取得最小值，故B正确； 当0a 时， 由A知， 函数 fx在D上是单调增函数， 因为0 x 时， 1 x e ，lnax ， 所以( )f x ，所以C不正确； 当0a 时， 由B知， 函数 ( )f x在 0 xx时取得最小值 0 00 ()ln x f xeax， 要使得函数 fx 有两个零点，必须且只需函数 ( )f x的最小值小于 0 即可，即 0 00 ()ln x f xeax0， 高考资源网（）您身边的高考专家 版
17、权所有高考资源网 - 9 - 那么当 0 ln0 x 时，有 0 0 ln x e a x ， 所以存在0a ，使上式成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点、最值，属于中档题. 三、填空题（请把答案填写在答题卡相应位置上）三、填空题（请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.若复数z满足=1z（i为虚数单位） ，则|2 |zi的最小值是_. 【答案】1 【解析】 分析：复数满足1z ，设cossinzi，利用复数的模的计算公式与三角函数求值即可 求出 详解：由复数满足1z ，设cossin,0,2 zi ， 则 22 2cos(sin2)54sin1z
18、i，当且仅当sin1时等号成立， 所以2zi的最小值为1 点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数的求解，着重考查了推理与 运算能力，属于基础题 14.如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是矩形，2AB ，ADa，PD 平 面ABCD，若边AB上存在点M，使得PMCM，则实数a的取值范围是_ 【答案】01a 【解析】 【分析】 利用直线与平面垂直的判定和性质将问题转化为以DC为直径的圆与AB有交点可得答案. 【详解】连接DM，如图： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 因为PD 平面ABCD，所以PDCM。 又PMCM，且PDPMP， 所以
19、CM 平面PDM，所以CMDM， 所以以DC为直径的圆与AB有交点， 所以01a. 故答案为：01a 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，属于基础题. 15. 23420 1111xxxx中 2 x的系数为_ 【答案】1330 【解析】 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出各个展开式中 2 x的系数后，再相加，然后利用组合数的性质 化简即可得到结果. 【详解】 23420 1111xxxx中 2 x的系数为： 2222 23420 CCCC 3222 33420 CCCC 322 4420 CCC 322 5520 CCC 3 21 C 21! 3! 18! 21 20 19 3
20、2 1 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 1330. 故答案为：1330. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式、组合数的性质、组合数的计算公式，属于基础 题. 16.函数 fx在(0，)上有定义，对于给定的正数K，定义函数 , , K f xf xK fx K f xK ，取函数 22 5 3ln 2 f xxxx，若对任意x(0，)，恒有 K fxf x，则K的最小值为_ 【答案】 2 3 3 2 e 【解析】 【分析】 根据题意，利用导数求出函数 22 5 3ln 2 f xxxx的最大值即可. 【详解】由 22 5 3ln 2 f xxxx得 21 3
21、lnfxxx， 当 1 3 xe 时， 0fx ，函数 fx单调递减， 当 1 3 0 xe 时， 0fx ，函数 fx单调递增， 所以函数 yf x的最大值为： 2 3 1 3 3 2 efe ，即 2 3 3 2 f xe， 所以要想恒有 K fxf x，只需 2 3 3 2 Ke， 所以K的最小值为 2 3 3 2 e. 故答案为： 2 3 3 2 e 【点睛】本题考查了利用导数求函数最大值问题，考查了学生的数学阅读和运算求解能力. 四、解答题（请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）四、解答题（请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22、 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 17.已知函数 2 ( )lnf xxaxbx，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 220 xy （）求, a b的值； （）求函数 ( )f x的极大值 【答案】 （）1,3ab ； （） 33 3ln 24 . 【解析】 【分析】 （）将点 1,1f代入切线方程得出 10f，利用导数的几何意义得出 12 f ，于此 列方程组求解出实数a、b的值； （） 求出函数 yf x的定义域， 然后对函数 yf x求导， 利用导数求出函数 yf x 的单调区间，分析出该函数的极大值点并求出该函数的极大值 【详解】 （）
23、由 2 ( )lnf xxaxbx，得( )21(0) b fxaxx x 由曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为220 xy， 得(1)122fab ，(1)10fa ， 解得1,3ab （） 2 ( )3ln ,(0,)f xxxx x ， 3 ( )21(0)fxxx x 3 210 x x ，解得 3 0, 2 x ； 3 210 x x ，解得 3 , 2 x ； 所以函数的增区间： 3 0, 2 ；减区间： 3 , 2 ， 3 2 x 时，函数取得极大值，函数的极大值为 333 3ln 224 f 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值，求解时要熟练
24、应用导数求 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 函数极值的基本步骤，另外在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两个要点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点 18.有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件 的选法数 （1）某女生一定担任语文科代表； （2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； （3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 【答案】 （1）840 种（2）3360 种（3）360 种 【解析】 【分析】 （1）女生一
25、定要担任语文科代表,除去该女生后先取后排即可； （2）先取后排，但先安排该男生； （3）先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 3 6 C种，再安排该男生有 1 3 C种，其余 3 人全排 即可. 【详解】（1） 除去一定担任语文科代表的女生后， 先选后排， 共有不同选法 44 74 840CA（种） （2）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法 414 744 3360CCA （种） （3）先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该 女生的 6 人中选 3 人有 3 6 C种， 再安排必须担任科代表， 但不担任数学科代表的该男生有
26、 1 3 C种， 其余 3 人全排列有 3 3 A种，所以共有不同选法 313 633 360CCA（种） 【点睛】本题主要考查排列组合问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的 条件,先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件，属于中档题. 19.如图：设一正方形纸片 ABCD 边长为 2 分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形， 剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接 损耗不计） ，图中AHPQ，O 为正四棱锥底面中心 （）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高
27、考资源网 - 14 - （）设等腰三角形 APQ 的底角为 x，试把正四棱锥的侧面积 S 表示为 x 的函数，并求 S 的范 围 【答案】 （1） 24 340 3 立方分米（2）02S平方分米 【解析】 试题分析: （I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形 ABCD 中，三角形 APQ 为等边三角形， 由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可； （II）先利用等腰三角形 APQ 的底角为 x 的特点，将侧棱长和底边长分别表示为 x 的函数， 再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于 x 的函数，最后可利用均值定理求函数的 值域 试题解析： （）设正四棱锥底面边长为y
28、分米，由条件知APQ为等边三角形， 又AHPQ， 3 2 AHy 1 2 OHy， 2 2 22 32 222 y OAAHOHyy 由2AHyAC，即32 2yy得 2 2 31 y 3 23 33 2 2 112216 3326 31331 VyOAy 24 340 3 . 答：这个正四棱锥的体积是 24 340 3 立方分米 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （）设正四棱锥底面边长为y，则tan 2 y AHx 由2AHyAC，即tan2 2yxy得 2 2 tan1 y x 2 1tan 48() 242 tan1 x Sy AHx x 即为所求表达式
29、42 x ，tan1x ， 令tantx，则 2 8(1) 1 t St t ， 由 2 4 1 80 1 t S t 对1,t 恒成立知函数在1,上为减函数 （或者分子、分母同时除以t，利用“对勾函数”进行说明） 02S平方分米即为所求侧面积的范围 20.在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，2ABAC， 1 4A A ，点D是BC的中 点 （1）求异面直线 1 AB， 1 AC所成角的余弦值； （2）求直线 1 AB与平面 1 C AD所成角的正弦值； （3）求异面直线 1 AB与AD的距离 【答案】 （1） 4 5 （2） 4 5 15 （3） 4 3 【解析】 高考资源网（）您
30、身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【分析】 根据已知条件以AB ，AC ， 1 AA 为x，y，z轴建立按直角坐标系Axyz，写出相关点的 坐标，(1)由各个点的坐标写出相应向量 1 2,0, 4AB ， 1 0,2,4AC ，代入向量夹角公 式，即可求出异面直线 1 AB， 1 AC所成角的余弦值； (2)先设平面 1 C AD的法向量为, ,nx y z并求出法向量为 , ,nx y z ，再利用直线 1 AB与 平面 1 C AD所成角为的正弦值 1 sincos,AB n 即可求出； (3) 连接 1 AC交 1 AC于点M，连接DM，可得 1 /DM AB，即 1 /
31、AB平面 1 C AD，所以异面 直线 1 AB与AD的距离可转化为点 1 A到平面 1 C AD的距离，根据点到平面的距离公式 1 AA n d n 即可求出距离. 【详解】解：以AB ，AC ， 1 AA 为x，y，z轴建立按直角坐标系Axyz， 则各点的坐标为2,0,0B， 1 0,0,4A， 1 0,2,4C，1,1,0D如图： （1）所以 1 2,0, 4AB ， 1 0,2,4AC ， 所以 11 164 cos 52020 AB AC ， 故异面直线 1 AB和 1 AC所成角的余弦值为 4 5 （2） 1 2,0,4AB ，1,1,0AD ，设平面 1 C AD的法向量为 ,
32、,nx y z 则 1 0 0 n AC n AD 即 240 0 yz xy ，取1x ，得 1 1, 1, 2 n 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 设直线 1 AB与平面 1 C AD所成角为，则 1 1 1 4 5 sincos, 15 AB n AB n AB n 所以直线 1 AB与平面 1 C AD所成角的正弦值为 4 5 15 （3）连接 1 AC交 1 AC于点M，连接DM，易得 1 /DM AB， 所以 1 /AB平面 1 C AD，故点 1 A到平面 1 C AD的距离即为所求异面直线距离 记点 1 A到平面 1 C AD的距离为d，则 1
33、 2 2 2 21 0 1 014 4 32 23 1 11 2 AA n d n 所以异面直线 1 AB与AD的距离为 4 3 【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的所成角、线面角及点到平面的距离，考查了 学生的计算能力，属于一般题. 21.已知函数 2 012 1 n n nn fxxaa xa xa x，其中R （1）若2 ，2020n ，求 0242020 aaaa的值； （2）若8n ， 7 1024a ，求 i a(0i ，1，2，3，8)的最大值； （3）若1 ，求证： 1 0 n kk nn k k Cx fxx n 【答案】 （1） 2020 02420182020 31
34、 2 aaaaa （2）1792（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）令1x 和1x ，两式相加即得解； （2）先求出=2，设 t a为 i a (0,1,2,3,8)i 中的最大值，则 1 1 , t tt t aa aa 解不等式组即得 解； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - （3）先得到 1 1 kk nn k CC n ，再利用二项式定理证明. 【详解】 （1）2 ，2020n 时， 2020 22020 20200122020 1 2fxxaa xa xax， 令1x 得 2020 012320192020 1 21aaaaaa， 令1x 得 202
35、0 2020 012320192020 1 23aaaaaa， 两式相加可得 2020 02420182020 31 2 aaaaa （2） 8 28 10128 1fxxaa xa xa x， 777 78 1024,128,2aC 不妨设 t a为 i a (0,1,2,3,8)i 中的最大值，则 88 88 11 1 11 1 622 ,5 522 ttt t t t tttt tt aatCC t aatCC ，或 6， i a中最大值为 5566 5688 221792aaCC （3）若1 ， 1 n n fxx， 20 0011 0 01 111 n nn kknn nn knnn
36、 kn Cx fxCxxCxxCxx nnnn 因为 1 1 1 !1 ! !1 !1 !11 ! kk nn nnknk CC nknknknkknk ， 所以 120 01221 111 0 0111 n nn kknn nn knnn k k Cx fxCxxCxxCxx n 120 001111 111 111 nn nn nnn x CxxCxxCxx 1 1 n x xxx 故得证. 【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式的系数和差，求展开式系数的最大值，考查组合 数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -
37、 19 - 22.已知函数 ln x fx x （1）求函数 fx的单调区间； （2）设0a ，求函数 fx在区间2 ,4aa上的最小值； （3）某同学发现：总存在正实数a，b ab，使 ba ab ，试问：该同学的判断是否正确? 若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程） 【答案】 （1）单调增区间为0,e，, e ； （2）01a时， min ln2 2 2 a f xfa a ； 若1a 时， min ln4 4 4 a f xfa a （3）正确，a的取值范围为1ae 【解析】 【分析】 （1）先确定函数定义域，再利用导数，可求函数 ln x fx x 的单
38、调区间； （2）根据 fx在0,e上单调递增，在, e 上单调递减，结合函数定义域分类讨论可求 出函数 fx在区间2 ,4aa上的最小值； （3）a的取值范围为1ae，根据 fx在0,e上单调递增，在, e 上单调递减，结 合函数图象即可求得 【详解】解（1）定义域0,， 2 1 ln x fx x ， 令 2 1 ln 0 x fx x ，则xe， 当0,xe时， 0fx ，所以 fx单调增区间为0,e； 当,xe时， 0fx ，所以 fx的单调增区间为, e ； （2）由（1）知 fx在0,e上单调递增，在, e 上单调递减，所以 当4ae时，即 4 e a 时， fx在2 ,4aa上单调
39、递增， 所以 min ln2 2 2 a f xfa a 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 当24aea时，即 42 ee a时， fx在2 , a e上单调递增， fx在,4ea上单调递 减，所以 min min2,4fxfafa，由于 ln 24 4 a fafa a ， 若1 4 e a时， min ln2 2 2 a f xfa a ； 若1 2 e a时， min ln4 4 4 a f xfa a 当2ae时，即 2 e a 时， fx在2 ,4aa上单调递减， 所以 min ln4 4 4 a f xfa a ， 综上得：若01a时， min ln2 2 2 a f xfa a ； 若1a 时， min ln4 4 4 a f xfa a ； （3）正确，a的取值范围为1ae 注：理由如下，考虑几何意义，当x 时， 0f x ， 由于 fx在0,e上单调递增，在, e 上单调递减， 所以 fx的图象大致如下图所示， 所以总存在正实数a，b且1aeb，使得 f af b，即 lnlnab ab ，即 ba ab 【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是导数大于零，函数单调递增； 导数小于零，函数单调递减 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 -
