1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 郑州外国语学校郑州外国语学校 2019-20202019-2020 学年高二下期期中考试试卷学年高二下期期中考试试卷 理科数学理科数学 一、选择题（每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求）一、选择题（每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1.已知是i虚数单位，z是z的共轭复数，若 1 i (1 i) 1 i z ，则z的虚部为（） A. 1 2 B. 1 2 C. 1 i 2 D. 1 i 2 【答案】A 【解析】 由题意可得： 2 111111 22222 1 ii zi ii i ， 则 11 22 zi
2、，据此可得，z的虚部为 1 2 . 本题选择 A 选项. 2.设, ,a b c为任意正数则 111 ,abc bca 这三个数（） A. 都大于 2B. 都小于 2C. 至少有一个不小于 2D. 至少有一 个不大于 2 【答案】C 【解析】 【分析】 假设三个数均小于 2，利用均值不等式得到 111 6abc abc ，得出矛盾，得到答案. 【详解】 假设三个数均小于 2， 即 111 2,2,2abc bca ， 故 111 6abc abc ， 而 111111 2226abcabc abcabc ， 当1abc时等号成立，这与 111 6abc abc 矛盾， 故假设不成立，故至少有一
3、个不小于 2，C 正确； 取2abc，计算排除 BD；取1abc，计算排除 A. 故选：C. 【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生的推断能力和计算能力，均值不等式的灵活运用 是解题的关键. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3.函数 | | 4cos x yxe的图象可能是（） A.B. C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项. 【详解】解：当0 x 时，4cos x yxe，则 4sin x yxe ， 若0, 2 x ，sin0,0 x xe， 4sin0 x yxe ， 若, 2 x
4、 ，44sin4x ， 3 2 2 2.7 19.64 x ee ， 则 4sin0 x yxe 恒成立， 即当0 x 时， 4sin0 x yxe 恒成立， 则4cos x yxe在0,上单调递减， 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题. 4.在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，BC互相垂直，则有 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 222 ABACBC“，扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥ABCD的 三个侧面ABC，ACD，ABD两两互相垂直，则可得（） A. 222222 ABACADBCC
5、DBDB. 222222 ABACADBCCDBD C. 2222 ABCACDABDBCD SSSS D. 2222 ABCACDABDBCD SSSS 【答案】C 【解析】 【分析】 斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的 面积的平方和，边对应着面. 【详解】由边对应着面，边长对应着面积， 由类比可得： 2222 ABCACDADBBCD SSSS ， 故选：C. 【点睛】本题考查从平面类比到空间，属于基本类比推理，考查空间几何等基础知识，考查 运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于基础题. 5.已知 15215 01215 111xaaa
6、xaxax中0a ， 若 13 945a ， 则a 的值为（） A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 根据 15 15 (1)(1)xaax 利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及 13 945a ，即可求得a的值，得到答案 【详解】由题意，二项式 15215 01215 111xaaaxaxax， 又由 15 15 (1)(1)xaax ， 所以 215 15 01215 (1)(1)111axaaxaxax ， 其中0a ，由 13 945a ， 可得： 132 1315 (1)945aC
7、a ，即 2 105(1)945a ， 即 2 (1)9a，解得2a ， 故选 A 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于 中档试题 6.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是 1 2 ，反复这样投掷，数列 n a定义如下： 1, 1, n n a n 第 次投掷出现正面 第 次投掷出现反面 ，若 * 12 =+ nn SaaanN，则事件 28 0,2SS的 概率是（） A. 13 128 B. 1 256 C. 1 2 D. 7 32 【答案】A 【解析】 试题分析：
8、事件 S8=2 表示反复抛掷 8 次硬币，其中出现正面的次数是 5 次，利用 n 次独立重 复试验恰好出现 k 次的概率公式能够求出事件 S8=2 的概率，以及 S20，S8=2 的概率 详解：事件“S20，S8=2”表示前两次全正或全负，则概率为 88 35 66 1113 C+C= 22128 ， 故选 A 点睛：本题考查概率的性质和应用，解题时要合理地运用 n 次独立重复试验恰好出现 k 次的 概率公式，这一公式要求每件事之间互相独立，互不影响. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 7.已知X是离散型随机变量， 137 (1), (),() 444 P XP
9、XaE X，则(21)DX （） A. 1 4 B. 3 4 C. 1 5 D. 3 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由随机变量的分布列的性质可得 13 (1)()1, 44 P XP Xa则X只有两个 变量1,a，进而可得 137 1 444 E Xa ，解得2a ，又由方差公式可得D X的值， 又由方差的性质计算可得答案. 【详解】根据题意， 13 (1),() 44 P XP Xa， 则 13 (1)()1, 44 P XP Xa 则X只有两个变量1,a，则 137 1 444 E Xa ，得2a ， 即 3 2 4 P X ，则 22 17373 12 444416 D
10、X ， 则 33 (21)4 164 DX . 故选：B 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基 础题. 8.某班组织由甲、乙、丙等 5 名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学 生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为 （） A. 3 13 B. 4 13 C. 1 4 D. 1 5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【详解】设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最
11、后一个出场”；事件B为“学 生丙第一个出场” 则 4113 4333 55 55 78AC C A P A AA ， 13 33 55 55 18C A P AB AA 则 183 7813 P AB P B A P A 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部 分的概率. 9.若 322 ( )7f xxaxbxaa在 x=1 处取得极大值 10，则 b a 的值为（） A. 3 2 或 1 2 B. 3 2 或 1 2 C. 3 2 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由于 2 ( )32fxxaxb，依题意知，(1)32
12、0fab， 2 (1)1710fabaa ，于是有32ba ，代入 f（1）=10 即可求得, a b，从而可 得答案 【详解】 322 ( )7f xxaxbxaa， 2 ( )32fxxaxb， 又 322 ( )7f xxaxbxaa在 x=1 处取得极大值 10， (1)320fab， 2 (1)1710fabaa ， 2 8120aa ， 2,1ab 或6,9ab 当2,1ab 时， 3 ( )341(31)(1)fxxxxx ， 当 1 3 x1 时，( )0fx ，当 x1 时，( )0fx ， f（x）在 x=1 处取得极小值，与题意不符； 当6,9ab 时， 2 ( )312
13、93(1)(3)fxxxxx， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 当 x1 时，( )0fx ，当x3 时，( )0fx ， f（x）在 x=1 处取得极大值，符合题意；则 93 62 b a ， 故选 C 【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得 2 ( )32fxxaxb，利用(1)0f， f（1）=10 求得, a b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题 10.若 20 n axa的展开式中各项的二项式系数之和为 512，且第 6 项的系数最大，则 a的取值范围为（） A.,02,3B. 1 1 ,0, 3 2 C.2,3D. 1 1 , 3
14、2 【答案】C 【解析】 【分析】 计算9n ，计算 5 54 69 C 2Tax， 4 45 59 C 2Tax， 6 63 79 C 2Tax，根据系数的大小关 系得到 545454 99 545636 99 C 2C 2 C 2C 2 aa aa ，解得答案. 【详解】2512 n ，9n ， 5 54 69 C 2Tax， 4 45 59 C 2Tax， 6 63 79 C 2Tax， 第 6 项的系数最大， 545454 99 545636 99 C 2C 2, C 2C 2, aa aa ，则23a. 故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 1
15、1.设函数 211 22 xx f xxxee ，则不等式122fxfx的解集为 （） A.,13,B.1,3 C. 1 ,1, 3 D. 1 ,1 3 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】A 【解析】 【分析】 首 先 根 据 题 意 计 算(1)f x，(22)fx ， 构 造 2 ( )2() 1 tt g ttee ， 将 (1)(22)f xfx转化为( )(23)g xgx，利用导数求出函数( )g t的单调区间，根据单 调区间解不等式即可. 【详解】因为 211 ( )22() xx f xxxee ， 所以 22 (1)(1)2(1)2()2
16、() 1 xxxx f xxxeexee ， 2233 22233 2 (22)(22)2(22)2()(23)2() 1 xxxx fxxxeexee . 令 2 ( )2() 1 tt g ttee ，tR， 则(1)( )f xg x，(22)(23)fxgx. 所以(1)(22)f xfx等价于( )(23)g xgx. ( )22() tt g ttee 当(0,)t，0 tt ee ，所以( )0g t ，( )g t为减函数. 又因为tR， 2 ()2() 1( ) tt gtteeg t 所以( )g t为偶函数，在(,0)为增函数. 所以( )(23)g xgx23xx，即
17、22 (23)xx， 解得：3x 或1x . 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间来解不等式，同时考查了函数的奇偶性， 构造函数为解决本题的关键，属于中档题. 12.已知不等式1ln x xea xx对任意正数x恒成立，则实数a的最大值是（） A. 1 2 B.1C. 2 D. 2 e 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【解析】 【分析】 分类参数，构造新的函数( )g x，求出零点，判断( )g x的单调性，求出 ( )f x的最小值，即可 求出a 【详解】解：0 x 时，不等式(1) x xea xlnx可化为(1) x a x
18、xelnx， 所以 1 x xelnx a x ， 设( ) 1 x xelnx f x x ，其中0 x ， 则 2 2 1 (1)1 ( ) (1) x xxelnx x fx x ， 设 2 1 ( )(1)1 x g xxxelnx x ，其中0 x ， 则 2 1 ( )(1)(2)0 x g xxxe x 恒成立， 则 g x在(0,)上单调递增， 22 11 ( ) )(1)1(1)1 xxx g xxxelnxxexelnx xx ， 令()0 o g x，得 1 o x o e x ， 所以 ( )f x在(0,) o x单调递减，( o x，)单调递增， 1 ()1 11
19、o x ooo mino oo x elnxx ff x xx ， 对任意正数x恒成立，即( )1 min a f x， 故选：B 【点睛】考查导数在求参数问题中的应用，判断函数的单调性，恒成立问题，参数分离法的 应用等 二、填空题（请将答案填在答题卷的相应位置）二、填空题（请将答案填在答题卷的相应位置） 13.定积分 1 2 0 ( 1 (1)xx dx 等于_ 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【答案】 1 42 【解析】 分析：先根据定积分的几何意义求出 1 2 0 ( 1 (1) )xdx ，再根据定积分计算出 1 0 xdx 的值， 即可求解结果 详解
20、：因为 1 2 0 ( 1 (1) )xdx 表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的四分之一， 所以 1 2 0 1 ( 1 (1) ) 4 xdx ， 所以 111 222 1 0 000 1111 ( 1 (1)( 1 (1) )| 4242 xx dxxdxxdxx 点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何 意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力 14.用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位 数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答） 【答案】1080 【解析】 4134 5
21、454 AC C A1080 【考点】计数原理、排列、组合 【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法） ，组成四位数至多 有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理 计数. 15.已知函数 211fxxa x， 若 2fxx的解集包含 1 ,2 2 ， 则实数a的取值 范围是_. 【答案】3, 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 根据x的取值范围可将题意转化为13 3a xx 对 1 ,2 2 x 恒成立，分为 1 1 2 x和 12x两种情形，解出a的范围即可. 【详解】当 1 ,
22、2 2 x 时，210 x ，20 x ， 2f xx的解集包含 1 ,2 2 ， 2112xa xx ，即13 3a xx 对 1 ,2 2 x 恒成立， 当 1 1 2 x时，不等式化为133axx，即 33 3 1 x a x ； 当1x 时，a为任意实数； 当12x时，不等式化为133a xx，解得3a ； 综上知a的取值范围是3,， 故答案为：3,. 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化思想，属于中档题. 16.已知实数a，b满足 2 25ln0aab ，Rc，则 22 ()()acbc 的最小值为 _ 【答案】 3 2 2 【解析】 分 析 ： 分 别
23、设 2 23ln (0),yf xxx xyx ， 则 22 ()()acbc 表 曲 线 yf x上的点到直线y x 的距离，则 22 ()()acbc 最小值表示与直线y x 平 行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解 详解：分别设 2 23ln (0),yf xxx xyx ， 则 22 ()()acbc 表曲线 yf x上的点到直线y x 的距离， 所以 22 ()()acbc 最小值表示与直线y x 平行的切线之间的距离， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 因为 2 25lnf xxx，所以 5 4fxx x ， 令
24、 5 41faa a ，解得1a ，所以 12fb， 所以曲线过点(1,2)的切线方程为2(1)yx ，即30 xy， 所以直线30 xy与直线y x 间的距离为 33 2 22 d ， 即 22 ()()acbc 最小值 3 2 2 点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离 公式的应用，其中解答中把 22 ()()acbc 最小值转化为直线y x 平行的切线之间的 距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题 三、解答题三、解答题： （解答必须写出必要的文字说明或解答过程）（解答必须写出必要的文字说明或解答过程） 1
25、7.已知i为虚数单位，关于x的方程 2 690 xi xaiaR 有实数根b. （1）求实数a，b的值； （2）若复数z满足20zabiz，求z为何值时，z有最小值，并求出z的最小值. 【答案】 （1）3ab； （2） min 2z 【解析】 【分析】 （1）方程 2 690 xi xaiaR 有实数根 b，可得 2 690bbb ia， 根据复数相等列出式子解出 a，b 的值即可； （2） 设izxy（x，yR） ， 由3 32ziz ， 得 2 2 22 334xyxy ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再
26、结合图形，可得 z，再求出z，进 而求出最小值即可. 【详解】 （1）b是方程 2 6i90 xxaiaR 的实数根， 2 690bbab i， 2 690bb ab ，解得3ab. （2） 设izxy（x，yR） ， 由3 32ziz ， 得 2 2 22 334xyxy ， 即 22 112 2xy ，它表示复数 z 对应的点 Z 到点 1,1 的距离为2 2， 构成的图形是以 1 1,1O 为圆心，2 2为半径的圆，如图所示. 当点 Z 在 1 OO所在的直线上时，z有最大值或最小值， 1 2OO ，半径 2 2r ， 当1zi 时，z有最小值，且 min 2z. 【点睛】本题考查复数相
27、等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几 何意义，考查数形结合思想，属于中档题. 18.已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足21 nn San， * nN . （1）写出 1 a， 2 a， 3 a，并推测数列 n a的表达式； （2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论. 【答案】 （1） 1 3 2 a ， 2 7 4 a ， 3 15 8 a . 1 2 2 n n a （2）见解析 【解析】 分析： （1）利用21 nn San，代入计算，即可得到 123 ,a a a的值，猜想 1 2 2 n n a ； （2）利用数学归纳法进行证明，检验当1n 时等式成立，
28、假设nk是命题成立，证明当 1nk时，命题也成立即可 详解： （1）将1n ，2，3分别代入21 nn San， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 可得 1 3 2 a ， 2 7 4 a ， 3 15 8 a . 猜想 1 2 2 n n a . （2）由（1） ，得1n 时，命题成立； 假设nk时，命题成立，即 1 2 2 k k a ， 那么当1nk时， 1211kkk aaaaa 211k， 且 12 21 kk aaaka ， 所以 1 21221123 kk kaakk ， 所以 11 1 11 2222 22 kk kk aa ， 即当1nk时，命
29、题也成立. 根据，得对一切 * nN ， 1 2 2 n n a 都成立. 点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳 法的证明， 一般分三步： （1）验证1n 成立； （2） 假设nk是命题成立，证明当1nk时， 命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力 19.设x，y，zR，且1xyz. （1）求 222 111xyz的最小值； （2）若 2221 21 3 xyza成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （1） 4 3 ； （2）1a 或3a . 【解析】 【分析】 （1）运用柯西不等式变形为 2222 222 111
30、111111xyzxyz 求最值； （2）运用柯西不等式求 222 21xyza的最小值，由题意可知，最小值大于等 于 1 3 ，求a的取值范围. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【详解】 （1）, ,x y zR，且1xyz，由柯西不等式可得： 2222 222 1111111114xyzxyz ， 可得 2224 111 3 xyz， 即 222 111xyz的最小值为 4 3 ； （2）由柯西不等式可得 22222 222 11121212xyzaxyzaa ； 可得 2 222 2 21 3 a xyza ， 即 222 21xyza的最小值是 2 2
31、 3 a ， 若 2221 21 3 xyza成立，则 2 21 33 a ， 即21a或21a ，解得:1a 或3a . 【点睛】本题考查柯西不等式的运用，求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题 型. 20.已知函数( )e cos x f xxx （）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）求函数 ( )f x在区间 0, 2 上的最大值和最小值 【答案】()1y ； （）最大值 1；最小值 2 . 【解析】 试 题 分 析 ： （ ） 根 据 导 数 的 几 何 意 义 ， 先 求 斜 率 ， 再 代 入 切 线 方 程 公 式 ( )( )() 000yffx
32、 -=-中即可； （）设 h xfx，求 h x ，根据 0h x 确定函 数 h x的单调性，根据单调性求函数的最大值为 00h，从而可以知道 0h xfx 恒成立，所以函数 fx是单调递减函数，再根据单调性求最值. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 试题解析： （）因为 e cos x f xxx，所以 ecossin1,00 x fxxxf. 又因为 01f，所以曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为1y . （）设 ecossin1 x h xxx，则 ecossinsincos2e sin xx h xxxxxx . 当 0, 2 x 时， 0h
33、x ， 所以 h x在区间 0, 2 上单调递减. 所以对任意 0, 2 x 有 00h xh，即 0fx . 所以函数 f x在区间 0, 2 上单调递减. 因此 f x在区间 0, 2 上的最大值为 01f，最小值为 22 f . 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的 是需要两次求导数，因为通过 fx 不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数， 设 h xfx ， 再求 h x ， 一般这时就可求得函数 h x 的零点， 或是 0h x ( 0h x ) 恒成立，这样就能知道函数 h x的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断 yf x的
34、单调性，最后求得结果. 21.某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从 6 道备选题中随机抽取 3 道题.规定至少答对 其中的 2 道题才能晋级.甲选手只能答对其中的 4 道题 (1)求甲选手能晋级的概率； (2)若乙选手每题能答对的概率都是 3 4 ，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、 乙两选手的答题水平 【答案】 （1） 4 5 ； （2）乙选手比甲选手的答题水平高 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （1） 解法一： 分类讨论， 事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对2道题”和“甲选手答对3 道题”，然后利用概率加法公式求出所求事
35、件的概率； 解法二：计算出事件“甲选手能晋级”的对立事件“甲选手答对1道题”的概率，然后利用对 立事件的概率公式可计算出答案； （2）乙选手答对的题目数量为X，甲选手答对的数量为Y，根据题意知 3 3, 4 XB ，随 机变量Y服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出E X，再利用超几何分布概率公式 列出随机变量Y的分布列，并计算出 E Y，比较E X和 E Y的大小，然后可以下结论 【详解】解法一： （1）记“甲选手答对i道题”为事件 i A，1,2,3i ，“甲选手能晋级”为 事件A，则 23 AAA 213 424 2323 33 66 4 5 C CC P AP AAP AP A CC
36、 ； （2）设乙选手答对的题目数量为X，则 3 3, 4 XB ，故 39 3 44 E X ， 设甲选手答对的数量为Y，则Y的可能取值为1,2,3， 12 42 3 6 1 1 5 C C P Y C ， 21 42 3 6 3 2 5 C C P Y C ， 3 4 3 6 1 3 5 C P Y C ， 故随机变量Y的分布列为 Y123 P 1 5 3 5 1 5 所以， 131 1232 555 E Y ，则 E XE Y， 所以，乙选手比甲选手的答题水平高； 解法二： （1）记“甲选手能晋级”为事件A，则 12 42 3 6 14 11 55 C C P A C ； （2）同解法二
37、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 【点睛】本题考查概率的加法公式、对立事件的概率、古典概型的概率计算以及随机变量及 其分布列，在求随机分布列的问题，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，然后根据相 关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题 22.已知函数 f（x）= 2 x 1 1 e 2 -x 2+ef（1 2 ）x （）求 f（x）的单调区间； （）若存在 x1，x2（x1x2） ，使得 f（x1）+f（x2）=1，求证：x1+x22 【答案】 （）在 R 上单调递增； （）见解析 【解析】 【分析】 （I）f（x）=e 2（x-1）-2x+ef（1 2 ）
38、 令 x= 1 2 ，则 f（ 1 2 ）=-1+ef（ 1 2 ） ，解得 f （ 1 2 ） ，进而得出函数 f（x）的单调性 （II）由（I）可得：函数 f（x） ）= 2 x 1 1 e 2 -x 2+x 在 R 上单调递增要证明：x 1+x22x1 2-x2f（x1）f（2-x2） ，又 f（x1）+f（x2）=1，因此 f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2） ， 即 f（x2）+f（2-x2）-10，f（1）= 1 2 -1+1= 1 2 ，则 x11x2令 g（x）=f（2-x）+f（x） -1= 2 1 x 1 e 2 + 2 x 1 1 e 2 -2x 2+4x
39、-2，x1，g（1）=0利用导数研究其单调性即可证明结论 【详解】 （I）f（x）=e 2（x-1）-2x+ef（1 2 ） 令 x= 1 2 ，则 f（ 1 2 ）= 1 e -1+ef（ 1 2 ） ，解得 f（ 1 2 ）= 1 e f（x）=e 2（x-1）-2x+1f（x）=2e2（x-1）-2=2（ex-1+1） （ex-1-1） ， 1x 时0,( )fxf x（ ）单调递增；1x 时0,( )fxf x（ ）单调递减， x=1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（x）f（1）=0， 函数 f（x）在 R 上单调递增 （II）由（I）可得：函数 f（x）= 2 x 1 1
40、e 2 -x 2+x 在 R 上单调递增 要证明：x1+x22x12-x2f（x1）f（2-x2） ， 又 f（x1）+f（x2）=1，因此 f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2） ， 即 f（x2）+f（2-x2）-10，f（1）= 1 1 1 2 = 1 2 ，则 x11x2 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 令 g （x） =f （2-x） +f （x） -1= 2 1 x 1 e 2 - （2-x） 2+2-x+ 2 x 1 1 e 2 -x 2+x= 2 1 x 1 e 2 + 2 x 1 1 e 2 -2x 2+4x-2， x1，g（1）=0g（x）=-e 2（1-x）+e2（x-1）-4x+4， g （x）=2e2（1-x）+2e2（x-1）-40，g（x）在（1，+）上单调递增 g（x）g（1）=0，函数 g（x）在（1，+）上单调递增 g（x）g（1）=0，因此结论 x1+x22 成立 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转 化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 -
