1、“任意角三角函数的概念任意角三角函数的概念”的教学设计的教学设计 齐齐哈尔市第六中学宋琼 一、一、教学内容解析教学内容解析 这是一节关于任意角的三角函数的概念课。 三角函数是高中范围内即指数函数、 对数函数和幂函数之后的最 后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于 同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际 问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角 函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入 弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与 三角形已经没有什么
2、关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集 （角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点 的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、 角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助， 这里体现了数形 结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位 圆上的点的坐标表示的锐角三角函数， 直至得到任意角的三角函数的 定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的 概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆 认识这个概念是解决教学重点的关键 二、二、教学目标设置教学目标设置 1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义：
3、（1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角 函数； （2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的 三角函数； 2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义： （3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐 角三角函数； （4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任 意角的三角函数； 3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合） 到另一个实数集 （角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合） 的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的 坐标或坐标的比值为函数值的函数。 4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数
4、学 结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。 三、学生学情分析三、学生学情分析 1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在 障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克 服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐 标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直 角三角形有过边长的比值的联系。 2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式 变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触 过单位圆，而且单位长度也很少涉及过，针对这个问题，应引导学生 利用相似三角形的知识来转换，无论点 P 在何位置，其三
5、角函数值唯 一确定，那选在终边与单位圆的交点处，表达式就更简单了。 3、学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到任意角的三角函 数时， 还可能出现障碍， 主要原因是受初中锐角三角函数定义的影响， 仍然局限在直角三角形中思考问题，要帮助学生克服这一困难，就要 让学生知道， 借助单位圆， 用终边与单位圆交点的坐标表示三角函数， 就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角三角函数的问 题。用单位圆定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的 本质，还能定义任意角的三角函数。 四、教学策略分析四、教学策略分析 为了加强学生对任意角三角函数概念的理解， 帮助学生在理解概 念过程中可能遇到的障碍，本
6、节课使用 PPT 与白板相结合。使用探究 式，提出一系列问题，通过学生的积极思考，使学生发现问题，并能 通过努力解决问题，给学生以成功的体验。 五、五、教学过程设计教学过程设计 （一）教学基本流程（一）教学基本流程 （二）（二）教学情境教学情境 1.复习锐角三角函数的定义复习锐角三角函数的定义 探究 1 ：下列四个图像中，哪些是函数的图像，哪些不是？若 复 习 锐 角 三 角 函 数 的 定义 终边上点 坐标表示 的锐角三 角函数 小 结 推 广 任 意 角 三 角 函 数 的概念 单位圆上的 点坐标表示 的锐角三角 函数 进一步理 解任意角 三角函数 的概念 x y x y x y 是函数的
7、图像，请说明理由。 设计意图：通过该问题，帮助学生回忆函数的定义，从而引出该 节课的授课内容。 问题 1.1：在初中，我们已经学习过锐角三角函数，还记得是怎 样定义的吗？ 问题 1.2:在锐角三角函数的定义中，自变量是什么，函数值是什 么？ 设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。 师生活动：教师提出问题并在白板上给出一个直角三角形，学生 思考并回答。 2、终边上点坐标表示的锐角三角函数终边上点坐标表示的锐角三角函数 探究 2:根据初中所学习的三角函数的知识，你能求出 2 , 0 以外 的角的三角函数值吗？还能用三角形边长的比值表示吗？回答是肯 定的，不能。那我们就要寻求其他的办法来解决
8、这个问题。 问题2.1 我们不妨把一个锐角放在坐标系内， 看看根据初中所学， 你能不能找到解决问题的途径？ 以此引导学生想到在终边上取一点，然后向x轴做垂线，形成 直角三角形。 学生可能还用边长的比值来表示三角函数值，那么需进一步设 x y O 问启发学生思考： 我们把角放在坐标系内来进行研究， 目的是什么呢？借助坐标系， 可以把几何问题代数化，可以用坐标表示点，表示线段的长。 这时学生能意识到用坐标表示三角函数值了。 这里渗透了数形结 合的思想。 问题 2.2：请大家思考一个问题：如果在锐角的终边上另取一 点 111 , yxP，那这个锐角的三角函数值发生变化吗？再取另外一个点 试试看，有变
9、化吗？不变的原因是什么呢? 问题 2.3：通过以上探究你有什么发现？锐角的三角函数值与 谁有关？与谁无关？ 探究 3：通过以上探究，同学们能否在角的终边上找到一个合适 的点p使三角函数的表达式更简洁呢？ 设计意图：为引入单位圆进行铺垫。 师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论，如果学生能回答出 使op=1，教师在此给出单位圆的定义，若学生想不到，教师可引导 学生分析表达式的比值形式，看怎样能更简洁。 至此学生可能说出新的表达式。 3、单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数、单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数 由上一环节得到单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数： x y xytancossin 探究
10、4：同学们想一想：这组定义式中的变量分别是什么呢？ 设计意图：引导学生分析三角函数的自变量和因变量，从而体会 函数中自变量和函数值之间的依存关系，体会函数的概念。 师生活动：教师引领学生分析对任意的锐角，其终边都会与单 位圆交于唯一的一点p，而点p的坐标yx,也是唯一的。从而让学生 体会函数中自变量和函数值的关系。 4、推广至任意角三角函数的概念推广至任意角三角函数的概念 探究5： 在之前的探究中我们已经掌握了锐角三角函数的定义了， 那么， 对任意角的三角函数还能沿用此定义吗？同学们可以大胆地去 猜想，进行开放式的讨论。 设计意图：抛出问题让学生思考，他们觉得可以，但又不能肯定 回答，这时需要
11、教师的释疑。 师生活动：在学生回答的基础上，教师给出肯定回答。给出任意 角三角函数的定义。 任意角的三角函数的定义： 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yxp,，那么 （1）y叫做的正弦,记作sin,即ysin； （2）x叫做的余弦,记作cos,即xcos； （3） x y 叫做的正切,记作tan,即0tanx x y 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐 标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 例 1已知角的终边经过点 P 2 2 , 2 2 ，求角的正弦、余弦和 正切值 设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利 用定义来解决不同的问题，加
12、深对定义的理解。 师生活动在完成本题的基础上， 通过下列变式引导学生对三角函 数概念作进一步的认识。 变式 1 求 3 2 的正弦、余弦和正切值。 变式 2 已知角的终边经过点 P3, 1， 求角的正弦、 余弦和正 切值 此处用实物投影展示学生的解题过程，并由学生进行讲解。 5、进一步理解任意角三角函数的概念进一步理解任意角三角函数的概念 以上几个习题同学们都做得不错， 那下面我们继续进行我们的探 究之旅。 探究 6：你能根据三角函数的定义，给出正弦、余弦和正切在弧 度制下的定义域吗？ 设计意图：研究一个函数，就是研究其三要素，而三要素中最本 质的则是定义域和对应法则。而三角函数的对应法则由定
13、义给出，所 以给出定义后，就要通过定义求定义域，既完善了三角函数概念的内 容，同时也帮助学生进一步理解三角函数的概念。 师生活动：学生求出定义域，教师整理。 问题 6.1：你还能根据定义确定三角函数在各个象限内的符号 吗？ 设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各个象限 的符号的变化规律，进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思 想。 师生活动：学生回答，教师进行整理。 例 2 求证： （1）当不等式组 0tan 0sin 成立时，角为第三象限角； （2）当角为第三象限角时，不等式组 0tan 0sin 成立。 探究 7：通过定义你能计算下列三角函数值吗？ 3 sin ， 3 7
14、sin ， 3 5 sin ， 3 13 sin 问题 7.1：为什么它们的值是相等的呢？ 问题 7.2：通过上面的计算你能得出一般性的结论呢？对余弦和 正切也依然适用吗？ 设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结 合的思想。 师生活动：在教师的引导下，学生讨论完成。 练习 3，求下列各角的三角函数值 （1）3cos（2） 4 9 sin （3）5tan 设计意图：让学生熟悉和记忆公式一，进一步理解三角函数的概 念。 师生活动：学生做答，教师点评。 6.小结小结 教师提问：这节课，同学们都有哪些收获？ 设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。 师生活动：学生回答，若不完整，再请其他的同学进行补充。 7.作业作业 书后练习题。 设计意图： 通过作业帮助学生进一步理解任意角三角函数的概念， 并检测学生对本节课内容的掌握程度。
