1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第第2课时课时单调性与最值单调性与最值 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解正弦函数和余弦函数的单调性了解正弦函数和余弦函数的单调性,并能利用并能利用 单调性比较大小单调性比较大小. 2.了解正弦函数和余弦函数的最大值与最小值了解正弦函数和余弦函数的最大值与最小值, 并会求简单三角函数的值域和最值并会求简单三角函数的值域和最值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2上的性质上的性质. 4.体会数学抽象的过程体会数学抽
2、象的过程,提高逻辑推理和数学运提高逻辑推理和数学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、正弦函数、余弦函数的单调性一、正弦函数、余弦函数的单调性 【问题思考】【问题思考】 ？ ？ 2.观察余弦函数观察余弦函数y=cos x,x-,的图象的图象,余弦函数在余弦函数在区间区间 -,上函数值的变化有什么特点上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢推广到整个定义域呢? ？ 提示提示:观察图象可知观察图象可知,当当x-,0时时,曲线逐渐上升曲线逐渐上升,函数函
3、数y=cos x 在区间在区间-,0上单调递增上单调递增,cos x的值由的值由-1增大到增大到1; 当当x0,时时,曲线逐渐下降曲线逐渐下降,函数函数y=cos x在区间在区间0,上单调递上单调递 减减,cos x的值由的值由1减小到减小到-1. 推广到整个定义域可得推广到整个定义域可得: 当当x(2k-1),2k,kZ时时,余弦函数余弦函数y=cos x单调递增单调递增,函数值函数值 由由-1增大到增大到1; 当当x2k,(2k+1),kZ时时,余弦函数余弦函数y=cos x单调递减单调递减,函数函数 值由值由1减小到减小到-1. ？ ？ 答案答案:C ？ 二、正弦函数、余弦函数的最值二、
4、正弦函数、余弦函数的最值 【问题思考】【问题思考】 1.观察下图中的正弦曲线和余弦曲线观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线正弦曲线: ？ 余弦曲线余弦曲线: ？ (1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函 数的定义域都是实数集数的定义域都是实数集R,值域是什么值域是什么? 提示提示:-1,1. (2)当当x取何值时取何值时,正弦函数正弦函数y=sin x,xR分别取得最大值分别取得最大值1和最和最 小值小值-1? ？ 3.做一做做一做:函数函数y=2-sin x取得最大值时取得最大值时x的值为的值为. ？ 【思考辨析】【思考辨析
5、】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)在区间在区间0,3上上,函数函数y=cos x仅在仅在x=0时取得最大值时取得最大值1.( ) (3)余弦函数余弦函数y=cos x在区间在区间0,上单调递减上单调递减.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 求正求正弦函数、余弦函数的单调区间弦函数、余弦函数的单调区间 ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟 用用整体替换法求函数整体替换法求函数y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)的单调区的单调区 间时间时,如果式子中如果式子中x的系数为负数的
6、系数为负数,那么先利用诱导公式将那么先利用诱导公式将x的的 系数变为正数系数变为正数,再求其单调区间再求其单调区间.求单调区间时求单调区间时,需将最终结果需将最终结果 写成区间形式写成区间形式. ？ ？ ？ 探究探究二二 正弦正弦函数、余弦函数单调性的应用函数、余弦函数单调性的应用 ？ ？ 反思感悟反思感悟 用用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化应先将异名化 同名同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单 调区间调区间,再利用单调性来比较大小再利用单调性来比较大小. ？ 【变式训练【变式
7、训练2】 cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是的大小关系是. (用用“”连接连接) 解析解析:因为因为0123cos 2cos 3. 答案答案:cos 1cos 2cos 3 ？ 探究探究三三 正弦正弦函数、余弦函数的值域或最值函数、余弦函数的值域或最值 ？ ？ 反思感悟反思感悟 常见的与三角函数有关的求值域或最值的类型有以下几种常见的与三角函数有关的求值域或最值的类型有以下几种: (1)形如形如y=sin(x+)或或y=cos(x+)的函数的函数,令令t=x+,先根据先根据 题中题中x的取值范围的取值范围,求出求出t的取值范围的取值范围,再利用三角函数的单调再利用三角函数的单调 性
8、求出性求出y=sin t或或y=cos t的最值的最值(值域值域). (2)形如形如y=asin2x+bsin x+c(a0)的函数的函数,可先设可先设t=sin x,将函数将函数 y=asin2x+bsin x+c(a0)转化为关于转化为关于t的二次函数的二次函数 y=at2+bt+c(a0),再根据二次函数的单调性求值域再根据二次函数的单调性求值域(最值最值). (3)形如形如y=asin x或或y=acos x的函数的最值还要注意对的函数的最值还要注意对a的讨论的讨论. ？ 答案答案:C ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 求三角函数最值时忽视分类讨论致错求三角函数最值时忽视分类讨论致错 ？
9、 提示提示:错解中默认错解中默认a0,忽视了对忽视了对a0和和A0 两种情况进行讨论两种情况进行讨论. ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列不等式正确的是下列不等式正确的是() A.sin 11 cos 10 sin 168 B.sin 168 sin 11 cos 10 C.sin 11 sin 168 cos 10 D.sin 168 cos 10 sin 11 解析解析:由诱导公式由诱导公式,得得cos 10 =sin 80 , sin 168 =sin(180 -12 )=sin 12 . 因为因为当当0 x90 时时,y=sin x单调递增单调递增, 所以所以sin 11 sin 12 sin 80 , 即即sin 11 sin 168 cos 10 .故故选选C. 答案答案:C ？ 2.y=sin x-|sin x|的值域是的值域是() A.-1,0B.0,1 C.-1,1D.-2,0 答案答案:D ？ 答案答案:D ？ 4.若函数若函数y=cos x在区间在区间-,a上单调递增上单调递增,则则a的取值范围的取值范围是是 . 解析解析:因为因为y=cos x在区间在区间-,0上单调递增上单调递增,在区间在区间0,上单调上单调 递减递减,所以只有所以只有-a0时满足条件时满足条件,故故a(-,0. 答案答案:(-,0 ？
