1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第第3课时课时二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变 换换,并能灵活地将公式变形运用并能灵活地将公式变形运用. 3.体会类比推理的过程体会类比推理的过程,提高逻辑推理和数学运提高逻辑推理和数
2、学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、二倍角公式的推导一、二倍角公式的推导 【问题思考】【问题思考】 1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令令=,将得到怎样的将得到怎样的 结果结果? ？ 2.根据同角三角函数的基本关系根据同角三角函数的基本关系sin2+cos2=1,能否只用能否只用sin 或或cos 表示表示cos 2? 提示提示:cos 2=cos2-sin2=cos2-(1-cos2)=2cos2-1; 或或c
3、os 2=cos2-sin2=(1-sin2)-sin2=1-2sin2. ？ 3.填空填空:倍角公式倍角公式 以上这些公式都叫做倍角公式以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了倍角公式给出了的三角函数的三角函数 与与2的三角函数之间的关系的三角函数之间的关系. ？ ？ 二、二倍角公式的变形二、二倍角公式的变形 【问题思考】【问题思考】 1.若将若将1 sin 2中的中的“1”用用sin2+cos2代换代换,则则1 sin 2可化为可化为 什么形式什么形式? 提示提示:1 sin 2=sin2 2sin cos +cos2=(sin cos )2. 2.根据二倍角的余弦公式根据二倍角的余弦公
4、式,sin ,cos 与与cos 2的关系分别如何的关系分别如何? ？ ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. ( ) (2)存在角存在角,使得使得sin 2=2sin 成立成立.( ) (3)对任意角对任意角,cos 2=2cos 都不成立都不成立.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 给给角求值角求值 分析分析:(1)逆用正弦二倍角公式求解逆用正弦二倍角公
5、式求解;(2)用余弦二倍角公式求解用余弦二倍角公式求解; (3)转化为正切二倍角公式求解转化为正切二倍角公式求解;(4)先分子、分母都先分子、分母都乘乘 , 再利用正弦二倍角公式求解再利用正弦二倍角公式求解. ？ ？ 反思感悟反思感悟 对于给角求值问题对于给角求值问题,一般有两种情况一般有两种情况: (1)直接正用、逆用二倍角公式直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函结合诱导公式和同角三角函 数的基本关系对已知式子进行转化数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用
6、二则一般逆用二 倍角的正弦公式倍角的正弦公式.在求解过程中在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用需利用互余关系配凑出应用 二倍角公式的条件二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公使得问题出现可以连用二倍角的正弦公 式的形式式的形式. ？ ？ 探究探究二二 给给值求值值求值(角角) ？ ？ 1.若本例条件不变若本例条件不变,求求sin 4的值的值. ？ ？ 反思感悟反思感悟 三角函数三角函数的条件求值问题常有两种解题途径的条件求值问题常有两种解题途径 (1)对题设条件变形对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、把条件中的角、函数名向结论中的角、 函数名靠拢函数名靠拢; (2
7、)对结论变形对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、将结论中的角、函数名向题设条件中的角、 函数名靠拢函数名靠拢,以便将题设条件代入结论以便将题设条件代入结论. ？ 答案答案:A ？ 探究探究三三 利用利用倍角公式化简、证明倍角公式化简、证明 分析分析:首先切化弦首先切化弦,然后利用二倍角公式统一角然后利用二倍角公式统一角,最后化简得结最后化简得结 果果. ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.化简的方法化简的方法 (1)弦切互化弦切互化,异名化同名异名化同名,异角化同角异角化同角; (2)降幂或升幂降幂或升幂. 2.证明恒等式证明恒等式,要观察恒等式两端的结构形式要观察恒等式两端的结构形式
8、,处理原则是从处理原则是从 复杂到简单复杂到简单,高次到低次高次到低次,复角化单角复角化单角;如果两端都比较复杂如果两端都比较复杂, 那么将两端都化简那么将两端都化简,即采用即采用“两头凑两头凑”的思想的思想. ？ ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ ？ 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ ？ 防范措施防范措施 解决与三角函数有关的问题时解决与三角函数有关的问题时,不能盲目地运用公式化简函不能盲目地运用公式化简函 数的解析式数的解析式,要注意函数的定义域要注意函数的定义域,熟练掌握角的终边所在象熟练掌握角的终边所在象 限的确定方法限的确定方法. ？ 答案答案:0 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.(多选题多选题)下列各式中下列各式中,值为值为 的是的是() A.2sin 22.5 cos 22.5 B.cos222.5 -sin222.5 C.2sin222.5 -1D.sin222.5 +cos222.5 答案答案:AB ？ 答案答案:B ？ 答案答案:A ？ 答案答案:6 ？
