1、高一年级 数学平面向量的减法运算北京市第五十四中学一、复习引入1.平面向量加法的运算法则.1.平面向量加法的运算法则.三角形法则，平行四边形法则.BDACaba b+baABaCba + b +a b ab 已知向量 ， ，求作向量.ab在平面内任取一点O ， O+a b ab 已知向量 ， ，求作向量.ab在平面内任取一点O ，作 ， OAa+a b ab 已知向量 ， ，求作向量.aba OA在平面内任取一点O ，作 ， . OABab+a b ab 已知向量 ， ，求作向量.aba OAb AB在平面内任取一点O ，作 ， . 则 即为所求 .OABaba ba OAb ABab OB+
2、a b ab 已知向量 ， ，求作向量.abab+a b ab 已知向量 ， ，求作向量.在平面内任取一点O ，Oab在平面内任取一点O ，作 ， . abOABaba OAb OB在平面内任取一点O ，作 ， . 以OA，OB 为邻边作 ，abOABabCOACBa OAb OB在平面内任取一点O ，作 ， . 以OA，OB 为邻边作 ，连接OC ， abOABabCOACBa OAb OB在平面内任取一点O ，作 ， . 以OA，OB 为邻边作 ，连接OC ，则 即为所求. OABaba bCa OAb OBa+bOC abOACB1.平面向量加法的运算法则.2.a + bab 之间的关系
3、.，ababab.1.平面向量加法的运算法则.2.a + bab 之间的关系.，二、探究新知逆运算数加法减法()c a ca 逆运算数加法减法()c a ca 相反数类比类比逆运算向量加法减法？逆运算数加法减法()c a ca 相反数a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 a.(1)(a)a ，a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 a.(1)(a)a ，a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 a.ABBA .(1)(a)a ，(2)00.a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向
4、相反的向量，叫做a的相反向量，记作 a.ABBA .(1)(a)a ，(2)00.(3)a( (a) )( (a) )a0.a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 a.ABBA .(1)(a)a ，(2)00.(3)a( (a) )( (a) )a0.(4)若a，b互为相反向量，则ab，ba，ab0 0.a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 a.ABBA .向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即 aba(b).求两个向量差的运算叫做向量的减法.已知非零向量a，b，求作ab.已知非零向量a，b，ab
5、的几何意义是什么？作 ， ，OABabaOA bOB 不共线向量作 ， ，作 ，OABabbDaOA bOB bODOB 不共线向量作 ， ，作 ，由向量减法的定义知， aba(b)， aOA bOB OABabbDbODOB 不共线向量作 ， ，作 ，由向量减法的定义知， aba(b) OABabCbDaOA .OAODOCbOB bODOB 不共线向量作 ， ，作 ，由向量减法的定义知， aba(b) OABabC()ab bDaOA .OAODOCbOB bODOB 不共线向量作 ， ，作 ，由向量减法的定义知， aba(b) 在四边形OCAB中，因为， 且 ，aOA .OAODOCbO
6、B =OB CAOBCA不共线向量bODOB OABabbC()ab bD作 ， ，作 ，由向量减法的定义知， aba(b) 在四边形OCAB中，因为， 且 ，所以OCAB是平行四边形.aOA .OAODOCbOB =OB CAOBCA不共线向量bODOB OABabbC()ab bD作 ， ，作 ，由向量减法的定义知， aba(b) 在四边形OCAB中，因为， 且 ，所以OCAB是平行四边形.所以OABaba bbC()ab bDaOA .OAODOCabBAOC .bOB =OB CAOBCA不共线向量bODOB 作 ， ，作 ，由向量减法的定义知， aba(b) 在四边形OCAB中，因为
7、， 且 ，所以OCAB是平行四边形.所以因此，我们得到ab的作图方法. OABaba bbC()ab bDaOA .OAODOCabBAOC .bOB =OB CAOBCA不共线向量bODOB ba向量减法的几何意义如图，已知向量a ， b， baO. .向量减法的几何意义如图，已知向量a ， b，第一步，在平面内任取一点O， baOABab. .向量减法的几何意义如图，已知向量a ， b，第一步，在平面内任取一点O，第二步，作 ， ，aOAOB b baOABaa bb. .向量减法的几何意义如图，已知向量a ， b，第一步，在平面内任取一点O，则 ，abBA第二步，作 ， ，aOAOB b
8、 baOABaa bb. .向量减法的几何意义如图，已知向量a ， b，第一步，在平面内任取一点O，则 ，abBA第二步，作 ， ，aOAOB b即 .OAOBBA baOABaa bb. .向量减法的几何意义如图，已知向量a ， b，第一步，在平面内任取一点O，则 ，abBA第二步，作 ， ，aOAOB b即ab可以表示为从向量 的终点指向向量a的终点的向量.即 .OAOBBA baOABaa bb. .向量减法的几何意义如图，已知向量a ， b，第一步，在平面内任取一点O，第二步，作 ， ，aOAOB b即ab可以表示为从向量 的终点指向向量a的终点的向量. 共起点，连终点，指向被减共起点
9、，连终点，指向被减. .即 .OAOBBA则 ，abBA向量减法的几何意义OABba向量减法的几何意义OABa bOABba向量减法的几何意义 (b) + aOABOABba ba向量减法的几何意义OABOABba baa +(b) 向量减法的几何意义 abOABOABba ba向量减法的几何意义OABOAB ab abba baOABab1向量减法的几何意义OABabbC1向量减法的几何意义OABabbC()ab 1向量减法的几何意义OABabbC()ab 1向量减法的几何意义OABaba bbC()ab 1向量减法的几何意义思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所
10、得向量是什么？OABab. .思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？OABab. .思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？OABab ab. .答：向量 .ba思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？OABab ab. .答：向量 .ba+=abab（）从数的角度看 .思考：(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与与向量向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作出向量 a b？(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量与向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作
11、出向量 a b？同向同向abOAa(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量与向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作出向量 a b？同向同向abOABba(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量与向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作出向量 a b？同向同向abab = BA OABba(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量与向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作出向量 a b？同向同向反向反向abbaab = BA OABba(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量与向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作出向量 a b？同向同向反向反向abba
12、OAaab = BA OABba(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量与向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作出向量 a b？同向同向反向反向abbaOAaBbab = BA OABba(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量与向量 b 是是共线向量共线向量，怎样作出向量 a b？同向同向反向反向abbaOAaBbab = BA ab = BA OABbaabdc例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.abdcO. .例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.作法：在平面内任取一点O，abdcaAOaOA 作，作法：在平面内任取一点O
13、，例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.abdcabAOBaOA 作，bOB ，例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.作法：在平面内任取一点O，abdccabACOBaOA 作，bOB ，cOC ，例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.作法：在平面内任取一点O，abdccdabACODBaOA 作，bOB ，cOC ，dOD .例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.作法：在平面内任取一点O，abdccdabACODBa bBA .aOA 作，bOB ，cOC ，dOD .作法：在平面内任取一点O，例 如下图，已知向
14、量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量ab，cd.abdccdabACODBc dDC .aOA 作，bOB ，cOC ，dOD .作法：在平面内任取一点O，a bBA .a + bab 之间有的关系如下：，ababab.abab之间的关系.，abab之间有什么关系呢？，分析：abab之间的关系.，a b a b之间的关系，分析：abab之间的关系.，a b a b之间的关系，)abab( 之间的关系，转化分析：abab之间的关系.，a b a b之间的关系，aba bab .分析：abab之间的关系.，)abab( 之间的关系，a b a b之
15、间的关系，aba bab .分析：abab之间的关系.，) abab( 之间的关系，a b a b之间的关系，把b换成 baba bab .+()aaabbb 分析：abab之间的关系.，bbaa之间的关系，a b a b之间的关系，aba bab .bbbaaa把b换成 b分析：abab之间的关系.，a b a b之间的关系，转化ababab) abab( 之间的关系，a b a b之间的关系，把b换成 babab之间的关系.，ABaCbab不共线向量ABaCba+ b不共线向量作 则 =abCB .= =a b ABAC ，ABaCbab| |BCABAC ，可得三角形三边关系：任意两边之
16、和大于第三边，不共线向量作 则 =abCB .= =a b ABAC ，ABaCbab不共线向量abab.所以三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，作 则 =abCB .= =a b ABAC ，| |BCABAC ，可得ABaCbab不共线向量三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，作 则 =abCB .= =a b ABAC ，ABaCbab| |ABACBC ，可得不共线向量abab.所以三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，ABaCbab| |ABACBC ，可得作 则 =abCB .= =a b ABAC ，不共线向量ababab.所以三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，AB
17、aCbab| |ABACBC ，可得abab.所以作 则 =abCB .= =a b ABAC ，共线向量同向同向abOABbaabababab之间的关系.，共线向量同向同向反向反向abOABbbaaOAaBbabababababab之间的关系.，ababa + babab之间的关系.，例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2.ab，ab例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2ab，.ababab例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2ab，.abababab例 已知 求 的
18、最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2ab，.ab=1+2=3ab.ababab例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2ab，.abababab=1+2=3ab.例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2ab，.ababab例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2ab，.abababab例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.=1=2ab，.ab=1ab .ababab例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最
19、小值时a与b的关系.=1=2ab，.ababab=1ab .ab三、向量加、减法的应用例 如下图，在 中， ， 你能用a，b 表示向量 ， 吗？a,bABAD ABCDabACBDACDB 例 如下图，在 中， ， 你能用a，b 表示向量 ， 吗？a,bABAD ABCDACDB abACBD解：例 如下图，在 中， ， 你能用a，b 表示向量 ， 吗？a,bABAD ACDB ABCDabACBD解：由向量加法的平行四边形法则，得例 如下图，在 中， ， 你能用a，b 表示向量 ， 吗？a,bABAD ACDB ABCDabACBDab= abACABAD .解：由向量加法的平行四边形法则，
20、得例 如下图，在 中， ， 你能用a，b 表示向量 ， 吗？a,bABAD ACDB ABCD= abACABAD .解：由向量加法的平行四边形法则，得abACBDab例 如下图，在 中， ， 你能用a，b 表示向量 ， 吗？a,bABAD ACDB ABCD= abACABAD .解：由向量加法的平行四边形法则，得同样，由向量的减法，知abACBDab例 如下图，在 中， ， 你能用a，b 表示向量 ， 吗？a,bABAD ACDB ABCD= abACABAD .解：由向量加法的平行四边形法则，得同样，由向量的减法，知abACBDabDBABAD .例 如下图，在 中， ， 你能用a，b
21、表示向量 ， 吗？a,bABAD ACDB ABCD= abACABAD .解：由向量加法的平行四边形法则，得= abDBABAD . 同样，由向量的减法，知abACBDabababab成立吗？ 追问：abab成立吗？ 追问：abACBDabab分析：abab成立吗？ 追问：分析：DBAabCabab成立吗？ 追问：= abACABAD .分析：DBAabCababab成立吗？ 追问：= abACABAD .分析：DBAabC= abDBABAD . abababab成立吗？ 追问：= abACABAD .分析：DBAabC= abDBABAD . 不成立.abababab成立吗？ 追问：=
22、abDBABAD . = abACABAD .分析：abACBDabababab成立吗？ 追问：不成立.= abDBABAD . = abACABAD .分析：abACBDabab追问：如下图，在 中， ， ，你能判断这个平行四边形是什么形状吗？a,bABAD ABCDabab 若追问：如下图，在 中， ， ，你能判断这个平行四边形是什么形状吗？答：矩形a,bABAD ABCDabab 若四、课堂回顾1. 向量减法的几何意义是什么？1. 向量减法的几何意义是什么？ab 表示从向量 的终点指向向量a的终点的向量.OABaa bb. .1. 向量减法的几何意义是什么？2. abab之间有什么关系？，1. 向量减法的几何意义是什么？2. ababa + babab之间有什么关系？，1. 向量减法的几何意义是什么？2. 3. 如何研究向量的减法运算？abab之间有什么关系？，1. 向量减法的几何意义是什么？2. 3. 如何研究向量的减法运算？我们通过类比数的减法，把减去一个向量转化成加上这个向量的相反向量.abab之间有什么关系？，五、课后作业1. 如图，已知向量a，b，求作向量ab.2化简： （1） ；（2） .3.（1）已知向量a，b求作向量c，使a b + c0.（2）（1）中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗？ ABACBDCD OAODADab谢谢观看，同学们再见!
