1、第六节一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数图形的描绘 第三三章 2xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .例如, 双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by )(x或若
2、,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.21机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(x或)(x或( P75 题题13)例例2. 求曲线3223
3、xxxy的渐近线 .解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 312 xy二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周机动 目录 上
4、页 下页 返回 结束 例例3. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy133220机动 目录 上页 下页 返回 结束 1231例例4. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 x
5、yy3) 1(2x得令0 y;3, 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义无定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)
6、1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例例5. 描绘函数21y22xe的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐
7、点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2. 函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1. 曲线)(1122xxeey(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD机动 目录 上页 下页 返回
8、结束 拐点为 ,凸区间是 ,),(21)1,(2121e2. 曲线21xey的凹区间是 ,提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及渐近线 .1y机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox1)1 ,(2121e)1 ,(2121eP75 13 (2); P166 2 ; 5作业作业第七节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线 . 解解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :x,133ttay3213tta, 1tx时当因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1 ()1 (312limtttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线axy机动 目录 上页 下页 返回 结束 1t313tatx3213taty笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线1t参数的几何意义参数的几何意义:tant),() 1,(42t图形在第四象限,(0, 1(43t图形在第二象限),0),02t图形在第一象限点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束
