1、2022年北京市平谷区高考数学零模试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上。）1（4分）已知集合Ax|0x3，且AB1，则集合B可以是（）Ax|x1Bx|x1C1，0，1Dx|x1）2（4分）在复平面内，复数z=21+i，则z的虚部是（）A1B1C2D23（4分）下列函数中，定义域为R的偶函数是（）Ay2xBy|tanx|Cy=1x2Dyxsinx4（4分）已知ab0c，下列不等式正确的是（）AbaabBa2c2C2a2cDlogc（a）logc（b）5（4分）设抛物线的焦点为F，准线为l，抛物
2、线上任意一点M，则以点M为圆心，以MF为半径的圆与准线l的位置关系是（）A相切B相交C相离D都有可能6（4分）已知函数f（x）log2（x+1）|x|，则不等式f（x）0的解集是（）A（1，1）B（0，1）C（1，0）D7（4分）已知边长为2的正方形ABCD，设P为平面ABCD内任一点，则“0ABAP4”是“点P在正方形及内部”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（4分）已知公差不为零的等差数列an，首项a15，若a2，a4，a5成等比数列，记Tna1a2an（n1，2，），则数列Tn（）A有最小项，无最大项B有最大项，无最小项C无最大项，无最小项D有最
3、大项，有最小项9（4分）已知函数f（x）Asin（x+），（A0，0，|2）部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）A函数f（x）最小正周期为2Bf（1）f（2）C函数f（x）一个单调递减区间是（43，116）D若f（x1）f（x2）=3（x1x2），则|x1x2|的最小值是310（4分）生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数线性模型：lnflnk-lnW3中（其中f是脉搏率（心跳次数/min），体重为W（g），k为正的待定系数）已知一只体重为300g的豚鼠脉搏率为300/mi
4、n，如果测得一只小狗的体重5000g，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（）A130/minB120/minC110/minD100/min二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11（5分）（x2+2x）3展开式中的常数项为 12（5分）已知向量a，b，c在正方形网格中的位置，如图所示，则（a+b）c= 13（5分）双曲线C：x2a2-y21的离心率为52，则a ；焦点到渐近线的距离为 14（5分）能说明“若f（x），g（x）在定义域2，2上是增函数，则f（x）g（x）在2，2上是增函数”为假命题的一组函数：f（x） ，g（x） 15（5分）设棱长
5、为2的正方体ABCDA1B1C1D1，E是AD中点，点M、N分别是棱AB、C1D1上的动点，给出以下四个结论：存在ENMC1；存在MN平面ECC1；存在无数个等腰三角形EMN；三棱锥CMNE的体积的取值范围是23，43则所有结论正确的序号是 三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（13分）在ABC中，a23，a2+c2-3acb2（）求B；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的面积条件：b3；条件：cosA=45；条件：ABC的周长为4+2317（14分）如图，矩形ABCD和梯形ABEF，AFAB，E
6、FAB，平面ABEF平面ABCD，且ABAF2，ADEF1，过DC的平面交平面ABEF于MN（）求证：DCMN；（）当M为BE中点时，求点E到平面DCMN的距离；（）若平面ABCD与平面DCMN的夹角的余弦值为55，求EMEB的值18（14分）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（90分）的学生人数为X，求X的
7、分布列和数学期望；（）表中男生和女生成绩的方差分别记为s12，s22，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为s32，试比较s12、s22、s32的大小（只需写出结论）19（15分）设函数f（x）aln（x+1）+x2（aR）（）当a4时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；求函数f（x）的最小值（）设函数g（x）ax1，证明：当a2时，函数H（x）f（x）g（x）至多有一个零点20（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为12（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，当P不
8、与A、B重合时，直线AP，BP分别交直线x4于点M、N，证明：以MN为直径的圆过右焦点F21（14分）已知集合SnX|X（a1，a2，a3，an），ai0或1，i1，2，n（n2），对于A（a1，a2，an），B（b1，b2，bn）Sn，AB（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|），定义A与B之间的距离为d（A，B）=i=1n |ai-bi|（）若U，VS4，写出一组U，V的值，使得d（U，V）2；（）证明：对于任意的U，V，WSn，d（UW，VW）d（U，V）；（）若U（a1，a2，a3，an），若VSn，求所有d（U，V）之和2022年北京市平谷区高考数学零模试卷（3月份）参考答案与试
9、题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上。）1（4分）已知集合Ax|0x3，且AB1，则集合B可以是（）Ax|x1Bx|x1C1，0，1Dx|x1）【解答】解：集合Ax|0x3，且AB1，由交集定义得：集合B可以是1，0，1故选：C2（4分）在复平面内，复数z=21+i，则z的虚部是（）A1B1C2D2【解答】解：z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=2-2i2=1i，z的虚部是1，故选：A3（4分）下列函数中，定义域为R的偶函数是（）Ay2xBy|tanx|Cy=1x2Dyxsinx【解答】
10、解：y2x是指数函数，不为偶函数，故A错误；y|tanx|的定义域为x|xk+2，kZ，不为R，故B错误；y=1x2的定义域为x|x0，不为R，故C错误；yf（x）xsinx的定义域为R，f（x）xsin（x）xsinxf（x），可得yxsinx为偶函数，故D正确故选：D4（4分）已知ab0c，下列不等式正确的是（）AbaabBa2c2C2a2cDlogc（a）logc（b）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，a2，b1时，baab，A错误；对于B，a1，c2时，a2c2，B错误；对于C，y2x是R上的增函数，又由ac，则有2a2c，C正确；对于D，a2，b1，c2时，logc（a）l
11、ogc（b），D错误；故选：C5（4分）设抛物线的焦点为F，准线为l，抛物线上任意一点M，则以点M为圆心，以MF为半径的圆与准线l的位置关系是（）A相切B相交C相离D都有可能【解答】解：由抛物线的定义知，点M到焦点F的距离与到准线的距离相等，故以MF为半径的圆与准线l的位置关系是相切故选：A6（4分）已知函数f（x）log2（x+1）|x|，则不等式f（x）0的解集是（）A（1，1）B（0，1）C（1，0）D【解答】解：函数f（x）log2（x+1）|x|，则不等式f（x）0，即log2（x+1）|x|作出函数ylog2（x+1）和y|x|的图象，它们的图象都经过（0，0）和（1，1）点，故不
12、等式的解集为（0，1），故选：B7（4分）已知边长为2的正方形ABCD，设P为平面ABCD内任一点，则“0ABAP4”是“点P在正方形及内部”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则A（0，0），B（2，0），设P（x，y），则0ABAP402x40x2，当x1，y4时，满足0ABAP4，但P（1，4）在正方形外部，当点P在正方形及内部时，则0x2，0y2，0ABAP4是点P在正方形及内部的必要不充分条件，故选：B8（4分）已知公差不为零的等差数列an，首项a15，若a2，a4，a5成等比数列，记Tna1a2an（n1，2
13、，），则数列Tn（）A有最小项，无最大项B有最大项，无最小项C无最大项，无最小项D有最大项，有最小项【解答】解：设an的公差为d，则（5+d）（5+4d）（5+3d）2，解得d1，an5+（n1）1n6Tn（5）（4）（3）（2）（1）01当n5时，有最小值，当n4时有最大值故选：D9（4分）已知函数f（x）Asin（x+），（A0，0，|2）部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）A函数f（x）最小正周期为2Bf（1）f（2）C函数f（x）一个单调递减区间是（43，116）D若f（x1）f（x2）=3（x1x2），则|x1x2|的最小值是3【解答】解：由图像知A2，T4=3-12=4，即T
14、，故A错误，即2=，得2，则f（x）2sin（2x+），由五点对应法得23+=2，得=-6，得f（x）2sin（2x-6），由图像知函数关于x=3对称，2-33-1，2距离对称轴远，则f（1）f（2），故B错误，当x（43，116）时，2x（83，113），2x-6（52，72），此时f（x）为减函数，故C正确，由f（x）2sin（2x-6）=3，得sin（2x-6）=32，则2x-6=2k+3或2x-6=2k+23，得xk1+4或xk2+512，k1，k2Z，不妨设x1x2，由f（x1）f（x2）=3（x1x2），得则x2k2+4或x1k1+512，则x1x2（k1k2）+6，则|x1x2|
15、（k1k2）+6|，则当k1k20时，|x1x2|的最小值是6，故D错误，故选：C10（4分）生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数线性模型：lnflnk-lnW3中（其中f是脉搏率（心跳次数/min），体重为W（g），k为正的待定系数）已知一只体重为300g的豚鼠脉搏率为300/min，如果测得一只小狗的体重5000g，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（）A130/minB120/minC110/minD100/min【解答】解：由题意可知，ln300lnk-ln3003，解得
16、lnkln300+ln3003，小狗的体重500g时，lnflnk-ln50003=ln300+ln3003-ln50003，3lnf3ln300+ln300ln50004ln300ln5000ln1620000，即lnf3ln1620000，f31620000，比较选项，13032197000，12031728000，11031331000，10031000000，最接近的脉搏率f120/min，故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11（5分）（x2+2x）3展开式中的常数项为12【解答】解：通项公式Tr+1=C3r(x2)3-r(2
17、x)r=C3r2rx6-3r，令63r0，得r2，展开式的常数项为C3222=12故答案为：1212（5分）已知向量a，b，c在正方形网格中的位置，如图所示，则（a+b）c=6【解答】解：由题意向量a=（2，1），b=（2，2），c=（1，2），a+b=（4，1），则（a+b）c=4+26故答案为：613（5分）双曲线C：x2a2-y21的离心率为52，则a2；焦点到渐近线的距离为 1【解答】解：双曲线C：x2a2-y21的离心率为52，可得a2+1|a|=52，解得a2，双曲线C：x2a2-y21，所以渐近线方程为：x2y0，焦点坐标（5，0），焦点到渐近线的距离为：51+4=1故答案为：2
18、；114（5分）能说明“若f（x），g（x）在定义域2，2上是增函数，则f（x）g（x）在2，2上是增函数”为假命题的一组函数：f（x）x，g（x）x【解答】解：若f（x）g（x）x，则f（x），g（x）在定义域2，2上是增函数，但f（x）g（x）x2在2，2上不是增函数，故答案为：x；x（答案不唯一）15（5分）设棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，E是AD中点，点M、N分别是棱AB、C1D1上的动点，给出以下四个结论：存在ENMC1；存在MN平面ECC1；存在无数个等腰三角形EMN；三棱锥CMNE的体积的取值范围是23，43则所有结论正确的序号是 【解答】解：对于：取BC中点P，当点
19、N在D1C1上移动时，直线EN平面 EPC1D1，同时当点M在直线AB上移动时MC1平面ABC1D1，因为EPC1D1ABC1D1C1D1，故EN与MC1不可能平行，错误对于：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，所以E（1，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），设N（0，a，2）（0a2），M（2，b，0）（0b2），所以EC=(-1，2，0)，CC1=(0，0，2)，NM=(2，b-a，-2)，设平面ECC1 的法向量为n=（x，y，z），则nEC=0nCC1=0 即-x+2y=02z=0，令y1，得x2，z0，所以n=(2，1，0)，所以NMn=4+a-b0，故MN与平面ECC1
20、不垂直，错误对于：令|NE|=|NM|，即(1-0)2+(0-a)2+(0-2)2=(2-0)2+(b-a)2+(0-2)2，化简得b22ab+30，即2a=b+3b，2a(0，4)，b+3b23，因为234，所以该式在0a2，0b2的范围中存在无数组解，故说明有无数组a与b可使|NE|=|NM|，故正确对于：根据等体积性质可知VCNMEVNCME，所以该三棱锥高可以看作CC1，所以体积的取值范围即底面积SCME 的取值范围，根据点M位置的变化可知，当点M在A点时SCME最小，当点M在B点时SCME最大，计算得SCME1，2，VN-CME=13CC1SCME=23SCME，所以VN-CME23
21、，43，故正确故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（13分）在ABC中，a23，a2+c2-3acb2（）求B；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的面积条件：b3；条件：cosA=45；条件：ABC的周长为4+23【解答】解：（）由余弦定理知，cosB=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，因为B（0，），所以B=6（）选择条件：把a23，b3代入a2+c2-3acb2中，化简得c26c+30，解得c36，所以存在两个ABC，不符合题意；选择条件：因为cosA=45，A（0，），所
22、以sinA=35，由正弦定理知，asinA=bsinB，所以b=231235=533，因为sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB=3532+4512=33+410，所以ABC的面积S=12absinC=122353333+410=33+42选择条件：因为ABC的周长为4+23，且a23，所以b+c4，又a2+c2-3acb2，所以12+c26cb2（4c）2，解得bc2，所以ABC的面积S=12acsinB=1223212=317（14分）如图，矩形ABCD和梯形ABEF，AFAB，EFAB，平面ABEF平面ABCD，且ABAF2，ADEF1，过DC的平面交平面ABEF于M
23、N（）求证：DCMN；（）当M为BE中点时，求点E到平面DCMN的距离；（）若平面ABCD与平面DCMN的夹角的余弦值为55，求EMEB的值【解答】（）证明：因为矩形ABCD，所以DCAB，AB平面ABEF，DC平面ABEF，所以DC平面ABEF因为过DC的平面交平面ABEF于MN，由线面平行性质定理，得DCMN；（）解：由平面ABEF平面ABCD其交线为AB，AFABAF平面ABEF，所以AF平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，所以以A为原点，以AD、AB、AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系由 ABAF2，ADEF1，得B(0，2，0)，E(0，1，2)，M(0，32，1)，D（1，0，
24、0），C（1，2，0），则DC=(0，2，0)，DM=(-1，32，1)，设平面DCMN法向量n=(x，y，z)，则nDC=2y=0nDM=-x+32y+z=0，取z1得n=(1，0，1)因为CE=(-1，-1，2)，所以点E到平面DCMN的距离d=|nCE|n|=12=22；（）解：设M（x，y，z），因为EMEB=，即EM=EB，则M（0，+1，22），DM=(-1，+1，2-2)，设平面DCMN法向量n=(x，y，z)，则nDC=2y=0nDM=-x+(+1)y+(2-2)z=0，取 z1 得 n=（22，0，1）记平面 ABCD 与平面 DCMN 的夹角为 ，因为 AF平面 ABCD，
25、所以 cos=|nAF|AF|n|=|221+(2-2)2|=55，解得 0 或 2（舍去）即 EMEB=018（14分）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（90分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；（）表中男生和女生成绩的方差分别记为s12，s22，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，
26、组成新的男生样本，方差计为s32，试比较s12、s22、s32的大小（只需写出结论）【解答】解：（）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件A，由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有C61C61=36种组合，其中男生成绩高于女生（81，72），（81，80），（84，72），（84，80），（86，72），（86，80），（86，84），（86，72），（86，80），（86，84），（88，72），（88，80），（88，84），（91，72），（91，80），（91，84），（91，88），所以事件A有17种组合，因此P(A)=1736；（）由数据知，在抽取
27、的12名学生中，成结为优秀（90分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14，因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绎优秀人数X可取0，1，2，3且XB(3，14)，P（X0）=(34)3=2764，P（X1）=c3114(34)2=2764，P（X2）=c3234(14)2=964，P（X3）=(14)3=164，所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164数学期望E(X)=0+12764+2964+3164=4864=34（）男生的平均成绩为x1=81+84+86+86+88+916=86，则s12=16i=16
28、 (xi-x1)29.667；女生的平均成绩为x2=72+80+84+88+92+976=85.5，则s22=16j=16 (xi-x2)265.92；由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本，所以x3=81+84+86+86+88+86+917=86，则s32=17i=17 (xi-x3)28.286；所以s32s12s2219（15分）设函数f（x）aln（x+1）+x2（aR）（）当a4时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；求函数f（x）的最小值（）设函数g（x）ax1，证明：当a2时，函数H（x）f（x）g（x）至多有一个零点【解答】解：（）当a4时，
29、f（x）4ln（x+1）+x2，f（x）=-4x+1+2x=2(x2+x-2)x+1=2(x+2)(x-1)x+1，所以f（0）4，f（0）0，所以切线方程为yf（0）f（0）（x0），即y4x令f（x）0，得x2（舍去）或x1，当1x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0，所以f（x）在（1，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以f（x）minf（1）14ln2（）证明：H（x）aln（x+1）+x2ax+1，H（x）=ax+1+2xa=2x2+(2-a)xx+1=x(2x+2-a)x+1，令H（x）0，得x0或x=a-22，当a0时，2x+2a0恒成立，当1x1时，H（x）0；当x0
30、时，H（x）0，所以H（x）在（1，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，所以H（x）H（0）1，所以H（x）无零点，当0a2时，有x （1，a-22）a-22 （a-22，0）0（0，+） f（x）0+0 f（x） 极大值 极小值则H（a-22）alna2-a24+2，H（0）1，令（x）xlnx2-x24+2（0x2），则（x）lnx2+1-x2，令p（x）（x），则p（x）=1x-12=2-x2x0，所以（x）在（0，2）上单调递增，所以（x）（2）0，所以（x）在（0，2）上单调递减，所以（x）（2）1，即H（a-22）1，所以当xa-22时，H（x）H（0）1，无零点，当1xa-2
31、2时，H（x）单调递增，至多有一个零点，当a2时，H（x）0，H（x）在（1，+）上单调递增，所以H（x）至多有一个零点，综上所述，当a2时，H（x）至多有一个零点20（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为12（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，当P不与A、B重合时，直线AP，BP分别交直线x4于点M、N，证明：以MN为直径的圆过右焦点F【解答】解：（）由题知，a2，e=ca=12，所以c1，所以b2a2c2413，所以椭圆的方程为x24+y23=1（）证明：设P（x0，y0），M（4，y1），N（4，y2），因为
32、直线AP交直线x4于点M，所以|y0|y1|=|x0+2|6，所以|y1|=6|y0|x0+2|，同理可得|y2|=2|y0|x0-2|，由于M，N位于x轴两侧，所以y1，y2异号，所以MFNF=（3，y1）（3，y2）9+y1y29+12y02(x0+2)(x0-2)，又因为3x02+4y0212，所以MFNF=9+12y02x02-4=0，所以MFNF，所以以MN为直径的圆过右焦点F21（14分）已知集合SnX|X（a1，a2，a3，an），ai0或1，i1，2，n（n2），对于A（a1，a2，an），B（b1，b2，bn）Sn，AB（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|），定义A与B
33、之间的距离为d（A，B）=i=1n |ai-bi|（）若U，VS4，写出一组U，V的值，使得d（U，V）2；（）证明：对于任意的U，V，WSn，d（UW，VW）d（U，V）；（）若U（a1，a2，a3，an），若VSn，求所有d（U，V）之和【解答】解：（I） U（0，1，0，0），V（1，1，0，1）（答案不唯一）（II ） 证明：设U（a1，a2，a3，an），V（b1，b2，b3，bn），W（c1，c2，c3，cn）Sn，因为ai，ci0，1，所以|aici|0，1，（i1，2，n），从而UW（|a1c1|，|a2c2|，|ancn|）Sn，同理VW（|b1c1|，|b2c2|，|bnc
34、n|）Sn，UV（|a1b1|，|a2b2|，|anbn|）Sn又d(U-W，V-W)=i=1n |ai-ci|-|bi-ci|，由题意知ai，bi，ci0，1（i1，2，n），当ci0时，|aici|bici|aibi|；当ci1时，|aici|bici|ai1|bi1|（1ai）（1bi）|aibi|，所以d(U-W，V-W)=i=1n |ai-bi|=d(U，V)（III）解：易知Sn中共有2n个元素，分别记为Vk(k=1，2，2n)，对于V（b1，b2，b3bn），bi0的Vk共有2n1个，bi1的Vk共有2n1个，k=12k d(U，Vk)=(2n-1|a1-0|+2n-1|a1-1|+2n-1|a2-0|+2n-1|a2-1|+2n-1|an-0|+2n-1|an-1|)=n2n-1，k=12n d(U，Vk)=n2n-1，即所有d（U，V）之和为n2n1第21页（共21页）
